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größtes Volumen errechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:59 Mo 05.03.2012
Autor: Metis

Aufgabe
Eine Firma möchte sogenannte "Wundereier" herstellen. Dazu fertigt sie rotationssymmetrische Körper einer eiähnlichen Form, die durch Rotation eines Modells des Graphen der Funktion f mit [mm] f(x)=\wurzel{(4-(4/9)x^2)} [/mm] zwischen den Nullstellen von f um die x-Achse entstehen. Die Längeneinheit entspricht dabei einen Zentimeter in der Natur.

a)Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f und skizzieren Sie den Graphen von f in einem Koordinatensystem
Bestimmen Sie das Volumen des "Wundereies".

b) In den "Wundereiern" sollen zylindrische Gefäße enthalten sein, deren Symmetrieachse die x-Achse ist. Berechnen Sie das größtmögliche Volumen eines solchen Zylinders.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

a)
Nullstellen: x1=-3 , x2=3
Volumen: [mm] 16\pi [/mm]

zu b)
Hier liegt mein Problem. Ich denke, es ist eine Extremalproblem. Es muss also eine Haupt- und eine Nebenbedingung aufgestellt werden, um auf die Zielfunktion zu kommen

Ansatz:
Das Volumen eines Zylinders ist [mm] \pi*r^2*h [/mm] und muss kleiner sein als das Volumen des Wundereies [mm] 16\pi [/mm] (Hauptbedingung?)
Desweiteren muss das Ei kürzer sein als 6cm (von einer Nullstelle zur anderen) und die kleiner als 4cm (Radius kleiner 2).

--> Wie schreibt man das in eine Rechnung, um daraus die Zielfunktion machen zu können?

Die Lösung ist V(x)= [mm] 8\pi*x-(8/9)\pi*x^3. [/mm]


        
Bezug
größtes Volumen errechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:18 Mo 05.03.2012
Autor: fred97


> Eine Firma möchte sogenannte "Wundereier" herstellen. Dazu
> fertigt sie rotationssymmetrische Körper einer
> eiähnlichen Form, die durch Rotation eines Modells des
> Graphen der Funktion f mit [mm]f(x)=\wurzel{(4-(4/9)x^2)}[/mm]
> zwischen den Nullstellen von f um die x-Achse entstehen.
> Die Längeneinheit entspricht dabei einen Zentimeter in der
> Natur.
>  
> a)Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f und
> skizzieren Sie den Graphen von f in einem
> Koordinatensystem
>  Bestimmen Sie das Volumen des "Wundereies".
>  
> b) In den "Wundereiern" sollen zylindrische Gefäße
> enthalten sein, deren Symmetrieachse die x-Achse ist.
> Berechnen Sie das größtmögliche Volumen eines solchen
> Zylinders.
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> a)
>  Nullstellen: x1=-3 , x2=3
>  Volumen: [mm]16\pi[/mm]

Beides stimmt.


>  
> zu b)
>  Hier liegt mein Problem. Ich denke, es ist eine
> Extremalproblem. Es muss also eine Haupt- und eine
> Nebenbedingung aufgestellt werden, um auf die Zielfunktion
> zu kommen
>  
> Ansatz:
>  Das Volumen eines Zylinders ist [mm]\pi*r^2*h[/mm] und muss kleiner
> sein als das Volumen des Wundereies [mm]16\pi[/mm]
> (Hauptbedingung?)
>  Desweiteren muss das Ei kürzer sein als 6cm (von einer
> Nullstelle zur anderen) und die kleiner als 4cm (Radius
> kleiner 2).
>  
> --> Wie schreibt man das in eine Rechnung, um daraus die
> Zielfunktion machen zu können?


Mal Dir ein Bild !  Dann siehst Du einen "liegenden" Zylinder, bei dem die Symmetrieachse die x -Achse ist.

Den Punkt auf der x - Achse, in dem die positive x _achse den rechten "Deckel" des Zylinders durchstößt , bezeichnen wir mit x.

Dann hat der liegende Zylinder schon mal die "Höhe" h=2x, der Radius der beiden D"Deckel ist jeweils r=f(x)

Setze das mal ein in die Formel  [mm]\pi*r^2*h[/mm]

FRED

>  
> Die Lösung ist V(x)= [mm]8\pi*x-(8/9)\pi*x^3.[/mm]
>  


Bezug
                
Bezug
größtes Volumen errechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:40 Mo 05.03.2012
Autor: Metis

Vielen Dank schonmal!

Ich steh irgendwie grad auf dem Schlauch: Wieso ist r=f(x)

Ansonsten kommt nun das richtige raus:
[mm] 2\pix(4-(4/9)x^2) [/mm] = [mm] 8\pi*x [/mm] - [mm] 8/9\pi*x^3 [/mm]

Bezug
                        
Bezug
größtes Volumen errechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:11 Mo 05.03.2012
Autor: Steffi21

Hallo

[Dateianhang nicht öffentlich]

ich habe (nur als Beispiel) die Stelle x=2 gewählt, die Höhe ist (im Beispiel) 4, der Radius, rot gezeichnet, ist f(2), allgemein:

Höhe: 2x
Radius: f(x)

Steffi

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
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