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Forum "Funktionalanalysis" - hermitesche Operatoren
hermitesche Operatoren < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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hermitesche Operatoren: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:01 So 15.11.2015
Autor: Boson

Aufgabe
[mm] \hat{A} [/mm] und [mm] \hat{B} [/mm] sind lineare hermitesche Operatoren, d.h. [mm] \hat{A}=\hat{A}^{\*} [/mm] und [mm] \hat{B}=\hat{B}^{\*} [/mm] (1). Sind die folgenden Operatoren auch hermitesch? (kurze Begründung)

a) [mm] \hat{A}\hat{B} [/mm]
b) [mm] \hat{A}+i\hat{B} [/mm]
c) [mm] i[\hat{A},\hat{B}] [/mm]
d) [mm] (\hat{A}+\hat{B})^n [/mm]



a) [mm] <\phi|(\hat{A}\hat{B})^{\*}\psi>=<(\hat{A}\hat{B})\phi|\psi>=<\hat{A}(\hat{B}\phi)|\psi>=<\hat{B}\phi|\hat{A}^\*\psi>=<\phi|\hat{B}^\*\hat{A}^\*\psi> [/mm]

[mm] \Rightarrow (\hat{A}\hat{B})^\*=\hat{B}^\*\hat{A}^\* [/mm]

mit (1) folgt: [mm] (\hat{A}\hat{B})^\*=\hat{B}^\*\hat{A}^\*=\hat{A}\hat{B}\not=\hat{A}\hat{B} [/mm]

Im Allgemeinen ist [mm] \hat{A}\hat{B} [/mm] nicht hermitesch, nur für vertauschbare hermitesche Operatoren [mm] \hat{A},\hat{B} [/mm]



b) [mm] (\hat{A}+i\hat{B})^\*=(\hat{A})^\*+(i\hat{B})^\*=\hat{A}^\*-i\hat{B}^\* [/mm]

mit (1) folgt: [mm] \hat{A}^\*-i\hat{B}^\*=\hat{A}-i\hat{B}\not=\hat{A}+i\hat{B} [/mm]

[mm] \hat{A}+i\hat{B} [/mm] ist nicht hermitesch



c) [mm] i[\hat{A},\hat{B}]^\*=-i([\hat{A},\hat{B}]^\*)=-i((\hat{A}\hat{B})^\*-(\hat{B}\hat{A}^\*)=-i([\hat{B}^\*,\hat{A}^\*])=-i(-[\hat{A}^\*,\hat{B}]^\*)=^{(1)}i[\hat{A},\hat{B}] [/mm]

[mm] i[\hat{A},\hat{B}] [/mm] ist hermitesch



d) [mm] (\hat{A}+\hat{B})^n [/mm]

n=1: [mm] (\hat{A}+\hat{B})^\*=\hat{A}^\*+\hat{B}^\*=^{(1)}\hat{A}+\hat{B} [/mm] hermitesch

n=2: [mm] (\hat{A}\hat{A}+2\hat{A}\hat{B}+\hat{B}\hat{B})^\*=(\hat{A}\hat{A})^\*+(2\hat{A}\hat{B})^\*+(\hat{B}\hat{B})^\*=\hat{A}^\*\hat{A}^\*+2\hat{B}^\*\hat{A}^\*+\hat{B}^\*\hat{B}^\*=^{(1)}\hat{A}\hat{A}+2\hat{B}\hat{A}+\hat{B}\hat{B}\not=(\hat{A}+\hat{B})^2 [/mm]

der gemischte Term ist im allgemeinen nicht hermitesch, nur für vertauschbare hermitesche Operatoren [mm] \hat{A},\hat{B} [/mm]

dies gilt auch für die gemischten Terme mit n>2


Hallo, ich würde mich freuen, wenn das jemand auf Fehler überprüfen könnte und ob die Begründungen so ausreichend sind, besonders für die Teilaufgabe d)

Vielen Dank für eure Hilfe!

PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
hermitesche Operatoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:36 Mo 16.11.2015
Autor: hippias


> [mm]\hat{A}[/mm] und [mm]\hat{B}[/mm] sind lineare hermitesche Operatoren,
> d.h. [mm]\hat{A}=\hat{A}^{\*}[/mm] und [mm]\hat{B}=\hat{B}^{\*}[/mm] (1).
> Sind die folgenden Operatoren auch hermitesch? (kurze
> Begründung)
>  
> a) [mm]\hat{A}\hat{B}[/mm]
>  b) [mm]\hat{A}+i\hat{B}[/mm]
>  c) [mm]i[\hat{A},\hat{B}][/mm]
>  d) [mm](\hat{A}+\hat{B})^n[/mm]
>  
>
> a)
> [mm]<\phi|(\hat{A}\hat{B})^{\*}\psi>=<(\hat{A}\hat{B})\phi|\psi>=<\hat{A}(\hat{B}\phi)|\psi>=<\hat{B}\phi|\hat{A}^\*\psi>=<\phi|\hat{B}^\*\hat{A}^\*\psi>[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow (\hat{A}\hat{B})^\*=\hat{B}^\*\hat{A}^\*[/mm]

Gut.

>  
> mit (1) folgt:
> [mm](\hat{A}\hat{B})^\*=\hat{B}^\*\hat{A}^\*=\hat{A}\hat{B}\not=\hat{A}\hat{B}[/mm]

Hier hast Du Dich verschrieben.

>  
> Im Allgemeinen ist [mm]\hat{A}\hat{B}[/mm] nicht hermitesch, nur
> für vertauschbare hermitesche Operatoren [mm]\hat{A},\hat{B}[/mm]

Richtig.

>  
>
>
> b)
> [mm](\hat{A}+i\hat{B})^\*=(\hat{A})^\*+(i\hat{B})^\*=\hat{A}^\*-i\hat{B}^\*[/mm]
>  
> mit (1) folgt:
> [mm]\hat{A}^\*-i\hat{B}^\*=\hat{A}-i\hat{B}\not=\hat{A}+i\hat{B}[/mm]

Mit $(1)$ hast das nichts zu tun.

>  
> [mm]\hat{A}+i\hat{B}[/mm] ist nicht hermitesch

Besser: ... ist i.a. nicht hermitisch.

>  
>
>
> c)
> [mm]i[\hat{A},\hat{B}]^\*=-i([\hat{A},\hat{B}]^\*)=-i((\hat{A}\hat{B})^\*-(\hat{B}\hat{A}^\*)=-i([\hat{B}^\*,\hat{A}^\*])=-i(-[\hat{A}^\*,\hat{B}]^\*)=^{(1)}i[\hat{A},\hat{B}][/mm]
>  

In der Rechnung ist ein Klammerfehler.

> [mm]i[\hat{A},\hat{B}][/mm] ist hermitesch

Richtig.

>  
>
>
> d) [mm](\hat{A}+\hat{B})^n[/mm]
>  
> n=1:
> [mm](\hat{A}+\hat{B})^\*=\hat{A}^\*+\hat{B}^\*=^{(1)}\hat{A}+\hat{B}[/mm]
> hermitesch
>  
> n=2:
> [mm](\hat{A}\hat{A}+2\hat{A}\hat{B}+\hat{B}\hat{B})^\*=(\hat{A}\hat{A})^\*+(2\hat{A}\hat{B})^\*+(\hat{B}\hat{B})^\*=\hat{A}^\*\hat{A}^\*+2\hat{B}^\*\hat{A}^\*+\hat{B}^\*\hat{B}^\*=^{(1)}\hat{A}\hat{A}+2\hat{B}\hat{A}+\hat{B}\hat{B}\not=(\hat{A}+\hat{B})^2[/mm]
>  

Die binomische ist schon i.a. nicht anwendbar. Tip: Du weisst, dass $C:= A+B$ hermitisch ist. Was ist mit [mm] $C^{n}$? [/mm]

> der gemischte Term ist im allgemeinen nicht hermitesch, nur
> für vertauschbare hermitesche Operatoren [mm]\hat{A},\hat{B}[/mm]
>  
> dies gilt auch für die gemischten Terme mit n>2
>  
>
> Hallo, ich würde mich freuen, wenn das jemand auf Fehler
> überprüfen könnte und ob die Begründungen so
> ausreichend sind, besonders für die Teilaufgabe d)
>  
> Vielen Dank für eure Hilfe!
>  
> PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
                
Bezug
hermitesche Operatoren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:15 Di 24.11.2015
Autor: Boson

Vielen Dank,

Ja bei der letzte Teilaufgabe hatte ich schon so ein Gefühl, dass da etwas nicht stimmt.

Wenn [mm] \hat{C}=\hat{A}+\hat{B} [/mm] hermitesch, dann ist auch [mm] \hat{C}^n [/mm] hermitesch, weil [mm] \hat{C} [/mm] mit sich selbst vertauschbar ist.

Bezug
                        
Bezug
hermitesche Operatoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:06 Di 24.11.2015
Autor: fred97


> Vielen Dank,
>  
> Ja bei der letzte Teilaufgabe hatte ich schon so ein
> Gefühl, dass da etwas nicht stimmt.
>  
> Wenn [mm]\hat{C}=\hat{A}+\hat{B}[/mm] hermitesch, dann ist auch
> [mm]\hat{C}^n[/mm] hermitesch, weil [mm]\hat{C}[/mm] mit sich selbst
> vertauschbar ist.


So ist es

FRED

Bezug
        
Bezug
hermitesche Operatoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:41 Mo 16.11.2015
Autor: fred97


> [mm]\hat{A}[/mm] und [mm]\hat{B}[/mm] sind lineare hermitesche Operatoren,
> d.h. [mm]\hat{A}=\hat{A}^{\*}[/mm] und [mm]\hat{B}=\hat{B}^{\*}[/mm] (1).
> Sind die folgenden Operatoren auch hermitesch? (kurze
> Begründung)
>  
> a) [mm]\hat{A}\hat{B}[/mm]
>  b) [mm]\hat{A}+i\hat{B}[/mm]
>  c) [mm]i[\hat{A},\hat{B}][/mm]
>  d) [mm](\hat{A}+\hat{B})^n[/mm]
>  
>
> a)
> [mm]<\phi|(\hat{A}\hat{B})^{\*}\psi>=<(\hat{A}\hat{B})\phi|\psi>=<\hat{A}(\hat{B}\phi)|\psi>=<\hat{B}\phi|\hat{A}^\*\psi>=<\phi|\hat{B}^\*\hat{A}^\*\psi>[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow (\hat{A}\hat{B})^\*=\hat{B}^\*\hat{A}^\*[/mm]
>  
> mit (1) folgt:
> [mm](\hat{A}\hat{B})^\*=\hat{B}^\*\hat{A}^\*=\hat{A}\hat{B}\not=\hat{A}\hat{B}[/mm]
>  
> Im Allgemeinen ist [mm]\hat{A}\hat{B}[/mm] nicht hermitesch, nur
> für vertauschbare hermitesche Operatoren [mm]\hat{A},\hat{B}[/mm]
>  
>
>
> b)
> [mm](\hat{A}+i\hat{B})^\*=(\hat{A})^\*+(i\hat{B})^\*=\hat{A}^\*-i\hat{B}^\*[/mm]
>  
> mit (1) folgt:
> [mm]\hat{A}^\*-i\hat{B}^\*=\hat{A}-i\hat{B}\not=\hat{A}+i\hat{B}[/mm]
>  
> [mm]\hat{A}+i\hat{B}[/mm] ist nicht hermitesch
>  
>
>
> c)
> [mm]i[\hat{A},\hat{B}]^\*=-i([\hat{A},\hat{B}]^\*)=-i((\hat{A}\hat{B})^\*-(\hat{B}\hat{A}^\*)=-i([\hat{B}^\*,\hat{A}^\*])=-i(-[\hat{A}^\*,\hat{B}]^\*)=^{(1)}i[\hat{A},\hat{B}][/mm]
>  
> [mm]i[\hat{A},\hat{B}][/mm] ist hermitesch
>  
>
>
> d) [mm](\hat{A}+\hat{B})^n[/mm]
>  
> n=1:
> [mm](\hat{A}+\hat{B})^\*=\hat{A}^\*+\hat{B}^\*=^{(1)}\hat{A}+\hat{B}[/mm]
> hermitesch
>  
> n=2:
> [mm](\hat{A}\hat{A}+2\hat{A}\hat{B}+\hat{B}\hat{B})^\*=(\hat{A}\hat{A})^\*+(2\hat{A}\hat{B})^\*+(\hat{B}\hat{B})^\*=\hat{A}^\*\hat{A}^\*+2\hat{B}^\*\hat{A}^\*+\hat{B}^\*\hat{B}^\*=^{(1)}\hat{A}\hat{A}+2\hat{B}\hat{A}+\hat{B}\hat{B}\not=(\hat{A}+\hat{B})^2[/mm]
>  
> der gemischte Term ist im allgemeinen nicht hermitesch, nur
> für vertauschbare hermitesche Operatoren [mm]\hat{A},\hat{B}[/mm]
>  
> dies gilt auch für die gemischten Terme mit n>2
>  
>
> Hallo, ich würde mich freuen, wenn das jemand auf Fehler
> überprüfen könnte und ob die Begründungen so
> ausreichend sind, besonders für die Teilaufgabe d)
>  
> Vielen Dank für eure Hilfe!
>  
> PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Ergänzend: für hermitesche Operatoren  $ [mm] \hat{A}$ [/mm] und [mm] $\hat{B} [/mm] $  gilt:

    $ [mm] \hat{A}\hat{B} [/mm] $ ist hermitesch  [mm] \gdw [/mm]  $ [mm] \hat{A}\hat{B}= \hat{B}\hat{A}$. [/mm]

FRED



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