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Forum "Algebra" - homöomorphe Quotientenräume
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homöomorphe Quotientenräume: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:17 Di 28.04.2015
Autor: Herbart

Hallo,

meine Frage:
Sind [mm] \IC/N [/mm] und [mm] \IC/N' [/mm] i.A. homöomorph, wenn $ N $ und $ N' $ (Teilmengen von [mm] \IC) [/mm] homöomorph sind?
Könnte man diese Aussage auch weiter verallgemeinern?
Die Frage kam auf, als ich mich mit Quotientenräumen und Homöomorpie näher beschäftigt habe.

Liebe Grüße
Herbart

        
Bezug
homöomorphe Quotientenräume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:35 Di 28.04.2015
Autor: UniversellesObjekt

Hallo,

verrätst du uns, was [mm] $\IC/N$ [/mm] sein soll? Ich vermute, du betrachtest [mm] $\IC$ [/mm] als topologischen Raum - zumindest das Wort "homöomorph" deutet darauf hin. Für gewöhnlich betrachtet man Quotientenräume bezüglich einer (Äquivalenz)relation, nicht bezüglich einer Teilmenge.

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
                
Bezug
homöomorphe Quotientenräume: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:49 Di 28.04.2015
Autor: Ladon

Man betrachte [mm] \IC [/mm] in der Tat als topologischen Raum. [mm] $\IC/N:=\{Nx|x\in \IC\} [/mm] $ ist der Orbitalraum mit der Quotiententopologie. Die Orbits sind durch [mm] $Nx:=\{nx|n\in N\} [/mm] $ gegeben. $N $ sollte also eine topologische Gruppe sein, die eine stetige Aktion auf [mm] \IC [/mm] ausübt (mittels Addition).

Viele Grüße
Ladon

Bezug
        
Bezug
homöomorphe Quotientenräume: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 18:54 Di 28.04.2015
Autor: Herbart

Siehe Mitteilung (oben).
Meine Frage von oben ist also weiterhin, ob man im Allgemeinen von einem Homöomorphismus zwischen N und N' auf einen zwischen den zugehörigen Orbitalräumen von [mm] \IC [/mm] schließen kann.

Bezug
                
Bezug
homöomorphe Quotientenräume: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:07 Di 28.04.2015
Autor: UniversellesObjekt

Meinst du wirklich überall Homöomorphismen, oder sollen die vielleicht auch noch mit der Gruppenstruktur vertraglich sein?

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
                        
Bezug
homöomorphe Quotientenräume: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:07 Di 28.04.2015
Autor: Herbart

Ich meine wirklich einen Homöomorphismus zwischen den beiden Quotientenräumen bzw. zwischen N und N'.
Ich meine keinen Isomorphismus topologischer Gruppen, der ein Gruppenhomomorphismus und gleichzeitig ein Homöomorphismus der zu Grunde liegenden topologischen Räume ist, wenn du auf etwas dergleichen abspielen solltest.

Grüße
Herbart

Bezug
                
Bezug
homöomorphe Quotientenräume: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:21 Mi 06.05.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
homöomorphe Quotientenräume: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:48 Mi 29.04.2015
Autor: tobit09

Hallo zusammen!


Ich bin nicht sicher, ob ich alles richtig verstanden habe, daher überprüft das Folgende bitte kritisch:


> meine Frage:
> Sind [mm]\IC/N[/mm] und [mm]\IC/N'[/mm] i.A. homöomorph, wenn [mm]N[/mm] und [mm]N'[/mm]
> (Teilmengen von [mm]\IC)[/mm] homöomorph sind?

Ich vermute, die Idee für ein Gegenbeispiel zu haben:

     [mm] $N:=\IZ$ [/mm]
     [mm] $N':=\IZ+i\IZ$. [/mm]

$N$ und $N'$ sind als abzählbar unendliche diskrete topologische Räume homöomorph.

Nun vermute ich, dass [mm] $\IC/N$ [/mm] homöomorph zu [mm] $S^1\times\IR$ [/mm] (mit der Produkttopologie) ist.
Weiter vermute ich, dass [mm] $\IC/N'$ [/mm] homöomorph zu [mm] $S^1\times S^1$ [/mm] (ebenfalls mit der Produkttopologie) ist.

Wenn meine Vermutungen stimmen, ist [mm] $\IC/N$ [/mm] somit nicht kompakt, aber [mm] $\IC/N'$ [/mm] kompakt.
Also können [mm] $\IC/N$ [/mm] und [mm] $\IC/N'$ [/mm] nicht homöomorph sein.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
homöomorphe Quotientenräume: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:07 Mi 29.04.2015
Autor: Herbart

Also mich überzeugt das ;-)
Vielen Dank!

LG
Herbart

Bezug
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