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inhom. DGL System 1.Ordnung: Aufgabe + Ansatz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:30 Mi 22.06.2005
Autor: wolverine2040

Hi, Leute, stecke mal wieder von in der Krise. Habe schon alles versucht, aber komme an einer Stelle einfach nicht weiter:

Ich habe versucht mit dem Einsetzungsverfahren daran zugehen.

Habe folgendes inhomogenes DGL System gegeben:

y' =  [mm] \pmat{ 3 & -4 \\ 1 & -1 }*y [/mm] +  [mm] \pmat{ 1 \\ 1 }*e^{x} [/mm]

Habe mir dann die Hilfsmatrix gebildet:

[mm] B=\pmat{ e^{x} & -4 \\ e^{x} & -1 } [/mm]

Die Koeffizienten a und b habe ich folgendermaßen gebildet:

a=-SP(A)= -2
b=det A =  1

Dann habe ich mir die Störfunktion gebildet:


[mm] g_{1}(x)=e^{x};g_{1}'(X)=e^{x} [/mm]

g [mm] \sim(x)=g_{1}'(X)-det [/mm] B = [mm] -2e^{x} [/mm]


Die DGL für [mm] y_{1} [/mm] besitzt somit folgende Gestalt:

[mm] y_{1}''-2y_{1}'+y_{1} [/mm] = [mm] -2e^{x} [/mm]

Habe mir eine charakteristische Lösung der homogenen Gleichung geformt und kam auf [mm] \lambda= [/mm] 1 (doppelt) !!

Ab dann ist bei mir allerdings Schicht.

Wie bekomme ich hier die partielle Lösung heraus?

Mein Ansatz war [mm] y_{1(p)}=Ax^{2}*e^{x} [/mm]
Habe davon die erste und zweite ABleitung gebildet und das in die inhom. DGL eingesetzt, aber da kam immer wieder Schwachsinn bei heraus.

Jemand ne Idee?

Wäre sehr sehr hilfreich.

        
Bezug
inhom. DGL System 1.Ordnung: Nachrechnen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:04 Do 23.06.2005
Autor: MathePower

Hallo wolverine,


> Die DGL für [mm]y_{1}[/mm] besitzt somit folgende Gestalt:
>  
> [mm]y_{1}''-2y_{1}'+y_{1}[/mm] = [mm]-2e^{x}[/mm]
>  
> Habe mir eine charakteristische Lösung der homogenen
> Gleichung geformt und kam auf [mm]\lambda=[/mm] 1 (doppelt) !!
>  
> Ab dann ist bei mir allerdings Schicht.
>  
> Wie bekomme ich hier die partielle Lösung heraus?
>  
> Mein Ansatz war [mm]y_{1(p)}=Ax^{2}*e^{x}[/mm]
>  Habe davon die erste und zweite ABleitung gebildet und das
> in die inhom. DGL eingesetzt, aber da kam immer wieder
> Schwachsinn bei heraus.

Da muss Dir ein Fehler unterlaufen sein:

[mm]\begin{gathered} y\; = \;p(x)\;e^x \hfill \\ y'\; = \;p'\;e^x \; + \;p\;e^x \hfill \\ y''\; = \;p''\;e^x \; + \;2\;p'\;e^x \; + \;p\;e^x \hfill \\ \end{gathered} [/mm]

eingesetzt in die DGL:

[mm] p''\;e^x \; + \;2\;p'\;e^x \; + \;p\;e^x \; - \;2\;\left( {p'\;e^x \; + \;p\;e^x } \right)\; + \;p\;e^x \; = \; - 2\;e^x [/mm]

liefert

[mm]\begin{gathered} 2A\;e^x \; = \; - \;2\;e^x \hfill \\ \Rightarrow \;A\; = \; - 1 \hfill \\ \end{gathered} [/mm]

Gruß
MathePower


Bezug
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