injektiv? surjektiv? bijektiv? < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:07 So 26.11.2006 | | Autor: | Manabago |
| Aufgabe | Welche der folgenden lin. Abb. sind injektiv? surjektiv? bijektiv?
a) f: [mm] R^2 \to R^2 [/mm] mit f( [mm] x_{1}, x_{2} [/mm] ) = (0, [mm] 2x_{1} [/mm] + [mm] 3x_{2}).
[/mm]
b) f: [mm] R^2 \to R^3 [/mm] mit f( [mm] x_{1}, x_{2} [/mm] ) = [mm] (x_{2}, x_{1}, x_{1} [/mm] + [mm] x_{2}).
[/mm]
c)f: [mm] R^3 \to R^2 [/mm] mit [mm] f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) [/mm] = [mm] (x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] + [mm] x_{3}, x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] - [mm] x_{3}). [/mm] |
Hallo Freunde der Linearen Algebra.
Ich hab zwar einige Ansätze, bin aber nicht sicher, wie sinnvoll, die hier sind. Hab für diese Aufgabe einige Theoreme verwendet:
1) f injektiv [mm] \gdw [/mm] Ker(f) = [mm] \{0\} [/mm] (f: V [mm] \to [/mm] W linear)
2) f injektiv [mm] \gdw [/mm] f surjektiv [mm] \gdw [/mm] f bijektiv (f: V [mm] \to [/mm] W linear und dimV = dimW und V bzw. W sind endlichdimensionale Vektorräume)
3) dim(Ker(f)) + dim(Im(f)) = dimV (mit f: V [mm] \to [/mm] W linear)
ad a): Ker(f) [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] f nicht injektiv
[mm] \Rightarrow [/mm] f nicht surjektiv [mm] \Rightarrow [/mm] f nicht bijektiv (hab also Theorem 2 quasi in die andere Richtung verwendet, was ich ja darf, oder??)
ad b): Ker(f) = [mm] \{0\} \Rightarrow [/mm] f ist injektiv (mit Theorem 1). Wegen Theorem 3 muss dann dim(Im(f)) = 2 sein, weswegen f nicht surjektiv sein kann (Der [mm] R^3 [/mm] hat ja Dimension 3!!) ==> f nicht bijektiv
ad c) Ker(f) = [mm] \{0\} \Rightarrow [/mm] f ist injektiv (mit Theorem 1). Wegen Theorem 3 muss dim(Im(f)) = 3 sein, weswegen f surjektiv ist und daher auch bijektiv ist.
Ich bin mir sehr unsicher, ob diese Schlussfolgerungen richtig bzw. sinnvoll sind. Hoffe, es kann mir wer weiterhelfen. Danke!
Lg Manuel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:30 So 26.11.2006 | | Autor: | g_hub |
ad a)
Alles ok. Theorem 2 ist eine Äquivalenz, dh beide Richtungen sind gültig
ad b)
Auch korrekt. Im Übrigen kriegst du über [mm] f(e_1)=(0,1,1) [/mm] und [mm] f(e_2)=(1,0,1) [/mm] eine Basis des Bildes, und kannst leicht einen Vektor finden, der nicht im Bild von f liegt (ist sozusagen ein freiwilliger Zusatz).
ad c)
Das stimmt leider nicht: du behauptest dim(im f)=3, womit du einen 3-dim. Unterraum im 2-dim [mm] \IR^2 [/mm] gefunden hättest... das kann wohl nicht sein. Schau dir nochmal die Dimension des Kerns an, dann findet sich der Fehler leicht (-> wegen Theorem 3 hat der Kern min. Dimension 1)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 So 26.11.2006 | | Autor: | Manabago |
Danke erstmals für deine schnelle Antwort.
Ad c) Du meinst also, dim(Im(f)) kann maximal 2 sein, da die Dimension des [mm] R^2 [/mm] 2 ist, daher ist dim(Ker(f)) = 1. Ups, da hab ich mich verrechnet. Der Kern ist ja: Ker(f) = [mm] \{t(0,-1,1), t \in R\}, [/mm] deswegen auch 1dimensional. Daher ist f nicht injektiv. Soweit müsste das eigentlich stimmen.
Wie kann ich dann aber bestimmen, ob f surjektiv ist oder nicht?
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:51 So 26.11.2006 | | Autor: | g_hub |
betrachte [mm] (a,b)\in\IR^2 [/mm] und löse das Gleichungssystem
[mm] f(x_1,x_2,x_3)=(a,b)
[/mm]
Ist es immer lösbar, dann ist f surjektiv; wenn nicht, dann nicht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:04 So 26.11.2006 | | Autor: | Manabago |
Ja und genau bei diesem GLS hab ich so meine Probleme. Es lautet also:
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] = a
[mm] x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] - [mm] x_{3} [/mm] = b
wenn man beide Gleichungen addiert, folgt ja, dass a + b = [mm] 2x_{1} [/mm] ist. Aber was muss ich dann machen. Irgendwie bin ich mir des Ziels dieses GLS nicht so ganz bewusst. Bitte nochmals um deine Hilfe. Lg Manuel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:18 So 26.11.2006 | | Autor: | g_hub |
vorrechnen will ich's dir nicht (hat keinen Lerneffekt).
Hier die Idee:
f surjektiv [mm] \gdw \forall (a,b)\in \IR^2 \exists (x_1,x_2,_3)\in \IR^3: f(x_1,x_2,_3)=(a,b)
[/mm]
Sei also [mm] (a,b)\in \IR^2: [/mm] Aufgabe finde die passenden [mm] x_1, x_2, x_3 [/mm] (die im Allgemeinen von a und b abhängig sind)
Dh. in deinem GLS sind die [mm] x_i [/mm] Unbekannte, und a, b gegebene Zahlen.
Du hast sogar schon [mm] x_1 [/mm] berechnet:
[mm] x_1=(a+b)/2
[/mm]
Wie sieht's mir den anderen beiden aus? Findest du eine Lösung des Systems (es gibt sogar mehrere - es reicht aber aus eine einzige anzugeben)?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 So 26.11.2006 | | Autor: | Manabago |
Ja, jetzt is mir glaub ich ein Licht aufgegangen.
Wenn ich also für [mm] x_{1} [/mm] = (a+b)/2 einsetzte, Bekomm ich ein GLS, das immer richtig ist, ich setz dann einfach [mm] x_{3} [/mm] = t (t [mm] \in [/mm] R) und bekomm für [mm] x_{2} [/mm] = - [mm] \bruch{2x_{3}-a+b}{2}. [/mm] Daher hab ich insgesamt die Lösungen:
[mm] x_{1} [/mm] = (a+b)/2
[mm] x_{2} [/mm] = - [mm] \bruch{2x_{3}-a+b}{2}
[/mm]
[mm] x_{3} [/mm] = t (t [mm] \in [/mm] R)
Und daher weiß ich jetzt, dass alle Vektoren (a,b) [mm] \in R^2 [/mm] von f getroffen werden, weswegen f surjektiv ist. (aber nicht injektiv, da Ker(f) [mm] \not= \{0\} [/mm] ist). Passt es so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:38 So 26.11.2006 | | Autor: | g_hub |
ja, das ist korrekt.
Ein Tipp noch zum Abschluss, wenn man etwas frei wählen darf, sollte man sich das Leben möglichst einfach machen: [mm] x_3:=0 [/mm] ist etwas schöner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:43 So 26.11.2006 | | Autor: | Manabago |
Vielen dank für deine Hilfe ;)
Lg
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