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Forum "Integrationstheorie" - integral/ableitung
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integral/ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:33 So 01.02.2015
Autor: mimo1

Aufgabe
Zeige, dass für t>0 gilt

[mm] \integral_\IR{x^2e^{-tx^2}dx}=-\bruch{d}{dt}\integral_\IR{e^{-tx^2}dx} [/mm]

Benutze dies zur Berechnung von [mm] \integral_\IR{x^2e^{-x^2}dx}, [/mm] wobei [mm] \integral_\IR{e^{-tx^2}dx}=\wurzel{\pi} [/mm]

hallo

also ich bin folgend herangegangen, indem ich es von hinten gezeigt habe d.h. ich muss zeigen dass ich die ableitung in das Integral ziehen kann, oder?

[mm] -\bruch{d}{dt}\integral_\IR{e^{-tx^2}dx}=\bruch{d}{dt}\integral_\IR{-e^{-tx^2}dx}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{1}{h}(\integral_\IR{-e^{-(t+h)x^2}dx}-\integral_\IR{-e^{-tx^2}dx})=\limes_{h\rightarrow 0}(\integral_\IR{\bruch{e^{-tx^2}-e^{-(t+h)x^2}}{h}dx}) [/mm]

wir hatten eine mal eine ähnlich aufgaben bei dem wir vom Integral

[mm] \integral{e^{tx}\bruch{sinx}{x}dx} [/mm]        
die Ableitung bestimmen.
ich habe mich daran orieniertiert.

aber dann steht in der Lösung [mm] \limes_{h\rightarrow0}(\bruch{e^{-(t+h)x}-e^{-tx}}{h})=e^{-tx}=-xe^{-tx} [/mm]

in meinem fall würde es gegen [mm] e^{-tx^2} [/mm] konvergieren für h gegen 0.

meine frage jetzt:warum ist es so? ich hätte gesagt dass es gegen 0 konvergiert.

ich bin für jede hilfe dankbar und hoffe ihr könnt mir bei der Aufgabe weiterhelfen.



        
Bezug
integral/ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:45 So 01.02.2015
Autor: MathePower

Hallo mimo1,

> Zeige, dass für t>0 gilt
>  
> [mm]\integral_\IR{x^2e^{-tx^2}dx}=-\bruch{d}{dt}\integral_\IR{e^{-tx^2}dx}[/mm]
>  
> Benutze dies zur Berechnung von
> [mm]\integral_\IR{x^2e^{-x^2}dx},[/mm] wobei
> [mm]\integral_\IR{e^{-tx^2}dx}=\wurzel{\pi}[/mm]
>  hallo
>  
> also ich bin folgend herangegangen, indem ich es von hinten
> gezeigt habe d.h. ich muss zeigen dass ich die ableitung in
> das Integral ziehen kann, oder?
>  
> [mm]-\bruch{d}{dt}\integral_\IR{e^{-tx^2}dx}=\bruch{d}{dt}\integral_\IR{-e^{-tx^2}dx}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{1}{h}(\integral_\IR{-e^{-(t+h)x^2}dx}-\integral_\IR{-e^{-tx^2}dx})=\limes_{h\rightarrow 0}(\integral_\IR{\bruch{e^{-tx^2}-e^{-(t+h)x^2}}{h}dx})[/mm]
>  
> wir hatten eine mal eine ähnlich aufgaben bei dem wir vom
> Integral
>  
> [mm]\integral{e^{tx}\bruch{sinx}{x}dx}[/mm]        
> die Ableitung bestimmen.
> ich habe mich daran orieniertiert.
>  
> aber dann steht in der Lösung
> [mm]\limes_{h\rightarrow0}(\bruch{e^{-(t+h)x}-e^{-tx}}{h})=e^{-tx}=-xe^{-tx}[/mm]
>  
> in meinem fall würde es gegen [mm]e^{-tx^2}[/mm] konvergieren für
> h gegen 0.
>  
> meine frage jetzt:warum ist es so? ich hätte gesagt dass
> es gegen 0 konvergiert.
>


Betrachte Zähler und Nenner des Ausdruckes:

[mm]\bruch{e^{-tx^2}-e^{-(t+h)x^2}}{h}[/mm]

Zähler und Nenner gehem hier für h gegen 0 ebenfalls gegen 0.
Somit liegt hier ein unbestimmter Ausdruck der Form "[mm]\bruch{0}{0}[/mm]" vor.
Das  ist somit ein Fall für L'hospital.


> ich bin für jede hilfe dankbar und hoffe ihr könnt mir
> bei der Aufgabe weiterhelfen.
>  


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
integral/ableitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:47 So 01.02.2015
Autor: mimo1

dankeschön, darauf müsste ich eigenlich auch selber kommen :)

Bezug
        
Bezug
integral/ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:45 Mo 02.02.2015
Autor: fred97

  
> aber dann steht in der Lösung
> [mm]\limes_{h\rightarrow0}(\bruch{e^{-(t+h)x}-e^{-tx}}{h})=e^{-tx}=-xe^{-tx}[/mm]

Das erste "=" ist falsch !

Die Sache mit l'Hospital zu bearbeiten , halte ich für überzogen.

Sei x fest und setze [mm] f(t):=e^{-tx} [/mm]

Dann gilt

     [mm] $\bruch{e^{-(t+h)x}-e^{-tx}}{h}=\bruch{f(t+h)-f(t)}{h} \to f'(t)=-xe^{-tx}$ [/mm]  für $h [mm] \to [/mm] 0$.

FRED

>  
> in meinem fall würde es gegen [mm]e^{-tx^2}[/mm] konvergieren für
> h gegen 0.
>  
> meine frage jetzt:warum ist es so? ich hätte gesagt dass
> es gegen 0 konvergiert.
>
> ich bin für jede hilfe dankbar und hoffe ihr könnt mir
> bei der Aufgabe weiterhelfen.
>  
>  


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