integrieren e^{x} < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:02 Fr 25.03.2005 | | Autor: | sophyyy |
hallo
ich habe
f: x --> = [mm] 2e^{x} [/mm] - [mm] e^{2x}
[/mm]
wie integriere ich denn das? muß ich da irgendwie "rückwärts nachdifferenzieren", also den umgekehrten weg von der ableitung gehen? wie geht denn das nochmal???
vielen dank!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:23 Fr 25.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo sophyyy!
> [mm] f: x \to 2e^{x} - e^{2x}[/mm]
>
> wie integriere ich denn das? muß ich da irgendwie
> "rückwärts nachdifferenzieren", also den umgekehrten weg
> von der ableitung gehen? wie geht denn das nochmal???
Verbal formuliert ist das richtig.
Dahinter steckt das Verfahren mit der Substitution beim Integrieren.
Wir suchen: [mm] $\integral_{}^{} {2*e^{x} - e^{2x} \ dx}$
[/mm]
[mm] $\integral_{}^{} {2*e^{x} - e^{2x} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{}^{} {2*e^{x} \ dx} [/mm] - [mm] \integral_{}^{} {e^{2x} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] 2*\integral_{}^{} {e^{x} \ dx} [/mm] - [mm] \integral_{}^{} {e^{2x} \ dx}$
[/mm]
Die Stammfunktion zur e-Funktion ist ja ziemlich einfach:
[mm] $\integral_{}^{} {e^{x} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] e^x [/mm] \ + \ C$
Nun müssen wir uns noch um den Ausdruck [mm] $\integral_{}^{} {e^{2x} \ dx}$ [/mm] kümmern.
Und da verwenden wir - wie oben angedeutet - eine Substitution:
$z \ := \ [mm] \red{2x}$ $\Rightarrow$ [/mm] $z' \ = \ [mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] \ = \ 2$ [mm] $\gdw$ [/mm] $dx \ = \ [mm] \blue{\bruch{dz}{2}}$
[/mm]
Wenn wir das nun einsetzen, erhalten wir:
[mm] $\integral_{}^{} {e^{\red{2x}} \ \blue{dx}} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{}^{} {e^{\red{z}} \ \blue{\bruch{dz}{2}}} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{}^{} {\bruch{1}{2} * e^z \ dz} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \integral_{}^{} {e^z \ dz}$
[/mm]
Und von dem Ausdruck [mm] $\integral_{}^{} {e^z \ dz}$ [/mm] kennen wir ja die Stammfunktion wieder (siehe oben).
Kommst Du nun alleine weiter?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:40 Sa 26.03.2005 | | Autor: | sophyyy |
vielen dank!!
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Hi, sophy,
dass loddar Recht hat, weiß inzwischen jeder im Mathe-Forum!
Für "einfache" Exponentialfunktionen mit Funktionstermen der Art
f(x) = [mm] e^{k*x} [/mm] (also mit LINEAREM Exponenten!) lohnt es sich aber, sich das Ergebnis zu MERKEN:
[mm] \integral{e^{k*x}dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{k}*e^{k*x} [/mm] + c.
Beispiele (mathematisch ungenau, aber Du weißt was ich meine!)
[mm] e^{x} [/mm] gibt integriert: [mm] e^{x}
[/mm]
[mm] e^{2x} [/mm] gibt integriert: [mm] \bruch{1}{2}*e^{2x}
[/mm]
[mm] e^{3x} [/mm] gibt integriert: [mm] \bruch{1}{3}*e^{3x}
[/mm]
[mm] e^{4x} [/mm] gibt integriert: [mm] \bruch{1}{4}*e^{4x}
[/mm]
usw.
Hüte Dich aber davor, diese Formel bei andern Exponentialfunktionen zu verwenden: Das kann grausam schiefgehen!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:42 Sa 26.03.2005 | | Autor: | sophyyy |
danke, ud bist je ne allrounderin!
gibt es noch weitere tricks für nicht [mm] e^{k*x} [/mm] ??
LG
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Hi, sophy,
> danke, ud bist je ne allrounderin!
Dieses hilfreiche Zwerglein ist männlich!
Macht nix: Woher solltest Du's wissen?!
> gibt es noch weitere tricks für nicht [mm]e^{k*x}[/mm] ??
Höchstens noch die Verallgemeinerung auf
[mm] \integral{e^{ax+b}dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{a}*e^{ax+b} [/mm] + c.
Aber schon bei Termen mit [mm] e^{x^{2}} [/mm] wird's schwieriger:
Manchmal musst Du substituieren,
manchmal partiell integrieren,
und wenn Du Pech hast, gibt's sogar mal überhaupt keinen "üblichen" Funktionsterm für die Stammfunktion.
Doch malen wir den Teufel nicht an die Wand! Im Mathe-Grundkurs wird's schon bei den "einfacheren" Exponentialfunktionen bleiben!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:52 Sa 26.03.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, sophy,
Zwerglein sind fleißige Wesen, und die sieben Zwerge waren ganz angetan, als plötzlich ein hübsches Mägdlein bei ihnen wohnte!
Aber lassen wir das!
Du schreibst:
> [mm]e^{x²}[/mm] gab's schhon mal im abi, aber
> mut zur lücke 
Gib' uns doch mal den genauen Funktionsterm, dann werden wir versuchen, die Lücke zu schließen!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Sa 26.03.2005 | | Autor: | sophyyy |
hallöchen
[mm] e^{1-0,5x²} [/mm] war irgendwie mal darn udn [mm] 4xe^{-0,5x²}. x²e^{x²} [/mm] hab ich auch schon gesehen... und [mm] xe^{-x²}
[/mm]
such dir eine aus [mm] 4xe^{-0,5x²} [/mm] fänd ich persönlich nett...
danke & schöne ostern!
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Hi, sophy,
na also dann, wenn Du sie nett findest!
[mm] f(x)=4xe^{-0,5x²}
[/mm]
Nullstelle: x=0 [mm] (e^{(...)} [/mm] immer [mm] \not= [/mm] 0 !!)
Grenzwerte: f(x) [mm] \to [/mm] 0 für x [mm] \to \pm \infty; [/mm]
daher: x-Achse ist waagrechte Asymptote.
Ableitungen: f'(x) = [mm] 4e^{-0,5x²} [/mm] + [mm] 4x*e^{-0,5x²}*(-x) [/mm] = [mm] (-4x^{2}+4)*e^{-0,5x^{2}} [/mm] (Produktregel und Kettenregel!)
f''(x) = [mm] -8x*e^{-0,5x²} [/mm] + [mm] (-4x^{2}+4)*e^{-0,5x^{2}}*(-x)
[/mm]
= [mm] (4x^{3}-12x)*e^{-0,5x²}
[/mm]
Extrempunkte: f'(x) = 0 <=> [mm] x_{1/2}=\pm1.
[/mm]
f''(1)<0 => Hochpunkt H(1; [mm] 4*e^{-0,5}) [/mm] gerundet: H(1; 2,43)
Tiefpunkt T(-1; [mm] -4*e^{-0,5})
[/mm]
Wendepunkte: f''(x) = 0 <=> [mm] x_{3}=0; x_{4/5}= \pm\wurzel{3}
[/mm]
Alle drei sind einfache Nullstellen von f'', daher Wendestellen.
(y-Koordinaten überlass' ich jetzt mal Dir!)
Und nun zum Integral (könnte z.B. die Fläche zwischen dem Graphen, der positiven x-Achse und der Geraden mit der Gleichung x=4 gefragt sein!):
[mm] \integral{4xe^{-0,5x²}dx} [/mm] = (***)
Vorschlag: Substitution [mm] z=-0,5x^{2}
[/mm]
Daraus: z' = [mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] = -x bzw.: dx = [mm] \bruch{dz}{-x}
[/mm]
Weiter mit dem Integral:
(***) = [mm] \integral{4xe^{z}*\bruch{dz}{-x}} [/mm]
= [mm] \integral{(-4e^{z})*dz} [/mm] (gekürzt durch x)
= [mm] -4e^{z} [/mm] + c = [mm] -4*e^{-0,5x^{2}} [/mm] + c (sog. "Rücksubstitution")
Noja: Das könnt's so ungefähr gewesen sein, stimmt's?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:24 So 27.03.2005 | | Autor: | sophyyy |
wunderbar!
vielen dank - ich werde es nachvollziehen, die anderen beispiele genauso nachrechnen, und im falle der unverständlichkeit dich einfach wieder belästigen!
ok?
schöne Ostern!
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