matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenAlgebrairreduzibel richtig?
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Algebra" - irreduzibel richtig?
irreduzibel richtig? < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

irreduzibel richtig?: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:44 Di 28.03.2006
Autor: cycilia

Aufgabe
f = [mm] 3x^5-15x^4+30x^2-105x+255 [/mm] irreduzibel in  [mm] \IZ[X] [/mm] bzw.  [mm] \IQ[X] [/mm] ?

also ich würde das Polynom so schreiben:

f = [mm] 3(x^5-5x^4+10x^2-35x+75) [/mm]

mit Eisenstein ist das in der Klammer ireduzibel in beiden Ringen - bleibt also nur die 3 zu betrachten. In  [mm] \IZ[X] [/mm] ist 3 keine Einheit, das Polynom auch nicht, also ist es in  [mm] \IZ[X] [/mm] nicht irreduzibel.

In  [mm] \IQ[X] [/mm] hingegen ist 3 eine Einheit, also irreduzibel.
Richtig?

        
Bezug
irreduzibel richtig?: 5...!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:12 Di 28.03.2006
Autor: mathmetzsch

Hallo,

wir wäre es denn, mal die 5 zu betrachten?

Also

5 ist nicht Teiler von 3
5 ist Teiler von 15,30,105,255
25 ist nicht Teiler von 255

Damit ist das irreduzibel in [mm] \IQ[x] [/mm] und zwar nach Eisenstein.
Damit ist es aber auch in [mm] \IZ[x] [/mm] irreduzibel!

Viele Grüße
Daniel

Bezug
                
Bezug
irreduzibel richtig?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:16 Di 28.03.2006
Autor: cycilia

Nein, da würdest du das Eisensteinkriterium anwenden. Dieses ist aber nur für primitive Polynome formuliert. Hier ist der ggT aber = 3, also darf ich Eisenstein nicht anwenden.

Bezug
                        
Bezug
irreduzibel richtig?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:24 Di 28.03.2006
Autor: mathmetzsch

Hallo,

ich habe gerade noch mal nachgelesen und als Voraussetzung braucht man kein primitives Polynom. Ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten ist in [mm] \IQ[x] [/mm] irredduzibel, wenn folg. Teilbarkeitsbedingungen erfüllt sind:...!

VG Daniel

Bezug
                                
Bezug
irreduzibel richtig?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:30 Di 28.03.2006
Autor: cycilia

ist mir unverständlich.... bei uns in der Vorlesung und in dem Buch Algebra (Bosch) ist es ausdrücklich über primitive Polynome formuliert. Und der Begriff irreduzibel ist folgendermassen definiert:

p heißt irreduzibel, wenn für jede Zerlegung p = xy folgt dass entweder x oder y eine Einheit ist.

Wie ich geschrieben hatte, ist 3 aber in  [mm] \IZ [/mm] keine Einheit und das restliche Polynom ja eh nicht.

WEnn es insgesamt irreduzibel wäre, dann wäre das doch ein Widerspruch zu dieser Definition?

Bezug
                                        
Bezug
irreduzibel richtig?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:34 Di 28.03.2006
Autor: cycilia

Ich glaube, es ist so: wenn es ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizieten ist, dann kann man das Eisensteinsche Kriterium anwenden, um zu schauen, ob es irreduzibel in  [mm] \IQ[X] [/mm] ist.

wenn es zusätzlich noch ein primitives Polynom ist, dann ist es auch irreduzibel in  [mm] \IZ[X].. [/mm]

war dann mein erster Ansatz richtig?

Bezug
                                                
Bezug
irreduzibel richtig?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:44 Di 28.03.2006
Autor: mathmetzsch

Hallo,

das hört sich zumindest schon besser an. Wir hatten aber damals den Satz, dass, wenn f irreduzibel in [mm] \IZ[x]\gdw [/mm] f irreduzibel in [mm] \IQ[x]. [/mm]

Also ist das völlig egal. Dein Ansatz greift dann aber.

VG Daniel

Bezug
                                                        
Bezug
irreduzibel richtig?: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 15:01 Di 28.03.2006
Autor: cycilia

Diese Folgerung versteh ich nun aber mal gar nicht....

angenommen ich habe das Polynom [mm] 4x^2-1 [/mm]

in  [mm] \IQ[X] [/mm] ist dieses reduzibel = 4(x-0,5)(x+0,5)
in  [mm] \IZ[X] [/mm] ist es irreduzibel, da die beiden Nullstellen ja nicht in [mm] \IZ [/mm] liegen.

??????

Bezug
                                                                
Bezug
irreduzibel richtig?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:37 Di 28.03.2006
Autor: cycilia

Sorry das ist natürlich auch in  [mm] \IZ [/mm] zerlegbar (2x+1)(2x-1)

Bezug
                                                        
Bezug
irreduzibel richtig?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:37 Fr 31.03.2006
Autor: felixf

Hallo!

> das hört sich zumindest schon besser an. Wir hatten aber
> damals den Satz, dass, wenn f irreduzibel in [mm]\IZ[x]\gdw[/mm] f
> irreduzibel in [mm]\IQ[x].[/mm]

Das gilt nur, wenn $f$ primitiv ist.

LG Felix


Bezug
                                        
Bezug
irreduzibel richtig?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:41 Di 28.03.2006
Autor: mathmetzsch

Hallo,
ich kenne folg. Definition von irreduzibel:

f heißt irreduzibel [mm] \gdw [/mm] f ist nicht darstellbar als Produkt zweier nichtkonstanter Polynome.

Da 3 aber ein konstantes Polynom ist, ist genau diese Bedingung erfüllt. Man könnte jetzt noch versuchen andere Teiler zu finden. Wenn man keine findet, ist es irreduzibel nach Definition.

Und für das Eisensteinkriterium habe ich gerade noch 2 weitere Bücher und das Internet befragt, es steht nirgends etwas von primitiv als Voraussetzung. Das wäre mir auch völlig neu!

Es ist ja nicht falsch das so zu setzen, aber ich denke, dass Eisenstein mehr Polynome, als nur die primitiven, greift!

Viele Grüße
Daniel

Bezug
                                                
Bezug
irreduzibel richtig?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:47 Di 28.03.2006
Autor: cycilia

klar, mit der von dir genannten def. von irreduzibel ist das logisch. Es geht ja nur um diese 3 *g* ....

ich hab mittlerweile auch n 3 Büchern nachgeschaut, 2 setzen primitiv voraus, das dritte sagt dass man bei ganzzahligen Koeff. nur irreduziebel in   [mm] \IQ[X] [/mm] folgern kann.

was ich mich frage ist, warum gibt es zwei offensichtlich unterschiedliche Definitionen von irreduzibel?

Bezug
                                                
Bezug
irreduzibel richtig?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:43 Fr 31.03.2006
Autor: felixf

Hallo!

>  ich kenne folg. Definition von irreduzibel:
>  
> f heißt irreduzibel [mm]\gdw[/mm] f ist nicht darstellbar als
> Produkt zweier nichtkonstanter Polynome.

Das ist aber eine sehr ungewoehnliche Definition. Fuer Polynome ueber Koerpern passt sie, aber fuer alle anderen Polynomringe halt nicht... Und vor allen Dingen vertraegt sie sich nicht mit der gewoehnlichen Definition von irreduziblen Elementen in Integritaetsringen...

> Und für das Eisensteinkriterium habe ich gerade noch 2
> weitere Bücher und das Internet befragt, es steht nirgends
> etwas von primitiv als Voraussetzung. Das wäre mir auch
> völlig neu!

Ich hab grad mal in meiner Vorlesungsmitschrift nachtgeschaut, und da steht: ``Satz (Kriterium von Eisenstein). Sei $f [mm] \in [/mm] R[x]$ ein primitives Polynom und ...''

> Es ist ja nicht falsch das so zu setzen, aber ich denke,
> dass Eisenstein mehr Polynome, als nur die primitiven,
> greift!

Bei deiner (nicht-standard) Definition von unzerlegbar ja...

LG Felix


Bezug
        
Bezug
irreduzibel richtig?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:22 Fr 31.03.2006
Autor: felixf

Hallo!

> f = [mm]3x^5-15x^4+30x^2-105x+255[/mm] irreduzibel in  [mm]\IZ[X][/mm] bzw.  
> [mm]\IQ[X][/mm] ?
>  also ich würde das Polynom so schreiben:
>  
> f = [mm]3(x^5-5x^4+10x^2-35x+75)[/mm]
>  
> mit Eisenstein ist das in der Klammer ireduzibel in beiden
> Ringen - bleibt also nur die 3 zu betrachten. In  [mm]\IZ[X][/mm]
> ist 3 keine Einheit, das Polynom auch nicht, also ist es in
>  [mm]\IZ[X][/mm] nicht irreduzibel.
>
> In  [mm]\IQ[X][/mm] hingegen ist 3 eine Einheit, also irreduzibel.
>  Richtig?

Ja, das ist richtig!

LG Felix



Bezug
                
Bezug
irreduzibel richtig?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:24 Fr 31.03.2006
Autor: topotyp

denke ich auch...bis auf die (unwichtige?) tatsache dass 3*75 nicht 255 ist!
Ich fasse es noch mal für mich zusammen und hier gibt's noch das
Eisensteinsche Kriterium in seiner Allgemeinheit:

Eisenstein:
Sei R ein Hauptidealring und K sein Quotientenkörper.  Hat
dann [mm] f(x)=a_nX^n+...+a_0 \in [/mm] R[X] einen Grad [mm] n\geq [/mm] 1, und gibt es ein
Primelement p [mm] \in [/mm] R mit
p | [mm] a_0,...,a_{n-1} [/mm]
p teilt nicht [mm] a_n [/mm]
[mm] p^2 [/mm] teilt nicht [mm] a_0 [/mm]
dann ist f irreduzibel in K[X]. (Nicht aber notw. in R[X]!)

In unserem Fall R=Z und K=Q. Nehme p=5. (wenn 255 die richtige Zahl ist!)
Daher ist nach Eisenstein das Polynom über Q[X] irreduzibel.
Aber wie ihr schon gesagt habt, ist natürlich
3 * (Rest) eine nichttriviale Zerlegung in Z[X], denn 3 ist keine Einheit des Ringes Z[X].
Also polynom über Z[X] reduzibel. Eigentlich ne coole Aufgabe!!!


Bezug
                
Bezug
irreduzibel richtig?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:42 Fr 31.03.2006
Autor: cycilia

:) Danke :) Dann ist das klar: 3*75 = 225.... *g*

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]