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irreduzibele Polynome: Aufgabe
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 11:34 Di 10.01.2017
Autor: astol

Aufgabe
Zeigen sie, dass die folgenden Polynome irreduzibel sind.
a) [mm] 4X^3-15C^2+60X+180 \in \IQ[X] [/mm]
b) [mm] X^3+X^2+X+3 \in \IZ[X] [/mm]
c) [mm] X^5-36X^4+6X^3+30X^2+25 \in \IQ[X] [/mm]

Moin, ich bin mir etwas unsicher, ob ich die Aufgaben so lösen kann wie ich es gemacht habe und wäre für ein kleines Feedback dankbar :-)

Ich weiß, dass ein Polynom f über K vom Grad 2 oder 3 genau dann irreduzibel ist, wenn f keine Nullstelle in K hat. Diesen Satz kann ich bei a) und b) benutzen, oder?
Ich habe mir die Nullstellen berechnen lassen und stelle fest:
Bei a)  [mm] x\approx-1,8005 [/mm] also [mm] \notin \IQ [/mm] und b) [mm] x\approx-1,5747 [/mm] also [mm] \notin \IZ [/mm] also haben die Polynome keine Nullstellen in dem zugehörigen K also sind sie irredzibel. Muss ich das noch genauer zeigen?

Da der obige Satz nur für Polynome vom Grad 2 und 3 gilt, kann ich dies bei c) nicht anwenden. Wie kann ich dass den alternativ angehen?

Vielen Dank!

        
Bezug
irreduzibele Polynome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:21 Mi 11.01.2017
Autor: leduart

Hallo
allgemein: Nullstellen mit einem Programm ausrechnen zu lassen ist kein Beweis für nicht rational, es könnte ja eine Zahl mit recht großem Nenner sein.
du solltest Eisenstein und Gauss anwenden, wenn du es nicht mehr weisst siehe wikipedia.
a) Eisenstein
b) einzige mögliche Nullstelle Ist zwischen -1 und -2 < -2 bleibt die fkt negativ >-1 positiv
c seh ch keinen schnellen Weg.
Gruß leduart

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irreduzibele Polynome: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:32 Mi 11.01.2017
Autor: astol

Guten Morgen und vielen Dank für den Tipp der mir sehr geholfen hat. Insbesondere Eisenstein hab ich ganz vergessen ;-)

zu a)
Ich habe p=5 gewählt und dann gezeigt, dass
(i)   5|180; 5|60; 5|-15
(ii)  5 teilt nicht 4
(iii) [mm] 5^2=25 [/mm] teilt nicht 180
gilt, mit Eisenstein weiß ich dann das das Polynom irreduzibel ist.

zu b)
um zu zeigen, dass das [mm] X^3+X^2+X+3 \in \IZ [/mm] keine Nullstelle hat, habe ich gezeigt, dass
[mm] X^3+X^2+X+3 [/mm] < 0 für alle [mm] x\le-2 [/mm] und [mm] X^3+X^2+X+3 [/mm] > 0 für alle [mm] x\ge-1. [/mm]
Da das Polynom stetig ist muss es eine Nullstelle zwischen -2 und -1 haben, aber hier gibt es keine ganzen Zahlen mehr, also keine Nullstelle in [mm] \IZ, [/mm] also irreduzibel.

c) hat hier jemand anders vielleicht einen Tipp für mich? DANKE

Viele Grüße


Bezug
                        
Bezug
irreduzibele Polynome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:58 Fr 13.01.2017
Autor: Ladon

> zu a)
> Ich habe p=5 gewählt und dann gezeigt, dass
> (i)   5|180; 5|60; 5|-15
>  (ii)  5 teilt nicht 4
>  (iii) [mm]5^2=25[/mm] teilt nicht 180
>  gilt, mit Eisenstein weiß ich dann das das Polynom
> irreduzibel ist.

Sieht gut aus. ;-)

> zu b)
>  um zu zeigen, dass das [mm]X^3+X^2+X+3 \in \IZ[/mm] keine
> Nullstelle hat, habe ich gezeigt, dass
>  [mm]X^3+X^2+X+3[/mm] < 0 für alle [mm]x\le-2[/mm] und [mm]X^3+X^2+X+3[/mm] > 0 für

> alle [mm]x\ge-1.[/mm]
> Da das Polynom stetig ist muss es eine Nullstelle zwischen
> -2 und -1 haben, aber hier gibt es keine ganzen Zahlen
> mehr, also keine Nullstelle in [mm]\IZ,[/mm] also irreduzibel.

So kann man das machen. Du hast einen eher analytischen Weg über Abschätzung genutzt. Ich fände einen rein algebraischen Weg schöner. ;-)
Untersuche das Polynom mal über [mm] $\mathbb{F}_5$ [/mm] auf Nullstellen! Du wirst Irreduzibilität feststellen.

> c) hat hier jemand anders vielleicht einen Tipp für mich?

Hier habe ich keine schnelle algebraische Möglichkeit gefunden. Argumentiere analytisch. Lass dir den Graphen plotten. Dann siehst du, dass zwischen -2 und -1 bzw. 1 und 2 bzw. 35 und 36  eine Nullstelle existiert. Argumentiere, dass dies die einzigen Nullstellen sein müssen, z.B. durch entsprechende Abschätzungen. Nutze, dass für primitive $f$ Irreduzibilität über [mm] $\IQ=Quot(\IZ)$ [/mm] genau Irreduzibilität über [mm] $\IZ$ [/mm] bedeutet.
Es kann also keine Zerlegung in Faktoren mit Grad $1$ und Grad $4$ geben. Bleibt z.z., dass es keine Zerlegung in Faktoren vom Grad $2$ und $3$ geben kann (Gradformel). Betrachte dazu $f$ über [mm] $\IZ$ [/mm] und löse
   [mm] $$f(X)=X^5-36X^4+6X^3+30X^2+25=(X^3+aX^2+bX+c)(X^2+dX+e)$$ [/mm]
über ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich.
Wenn $f$ reduzibel ist, existieren [mm] $a,b,c,d,e\in \IZ$, [/mm] s.d. die Gleichung gilt. Wenn $f$ irreduzibel ist, führt man obige Gleichung zu einem Widerspruch.

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