isolierte Randpunkte < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:30 Mo 30.05.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo [mm] Mathe-$\IR^3$!
[/mm]
Seit einiger Zeit hänge an folgendem Problem fest:
Es sei [mm] $D\subset\IC$ [/mm] offen und [mm] $\lambda\in\IC$ [/mm] ein isolierter Randpunkt (*) von D.
Nun würde ich gerne zeigen, dass [mm] $\lambda$ [/mm] ein innerer Punkt von [mm] $\widehat{D}:=D\cup\{\lambda\}$ [/mm] ist.
(*) [mm] $\lambda\in\IC$ [/mm] isolierter Randpunkt von [mm] $D\subseteq\IC$, [/mm] $D$ offen [mm] $:\gdw$ [/mm] Es existiert eine Umgebung [mm] $U\subseteq\IC$ [/mm] von [mm] $\lambda$, [/mm] so dass [mm] $U\cap(\overline{D}\setminus D)=\{\lambda\}$
[/mm]
Mein bisheriger Versuch:
Ich nehme oBdA an, dass die Umgebung U eine Kreisscheibe [mm] $D_r(\lambda)$ [/mm] ist.
Nun würde ich gerne zeigen, dass ich [mm] $D_r(\lambda)$ [/mm] so verkleinern kann, dass [mm] $D_{r'}(\lambda)\subseteq \widehat{D}$.
[/mm]
Annahme: Es gibt kein solches $r'$. Dann gilt für alle [mm] $r'\in\IR$: $D_{r'}(\lambda)\cap (\IC\setminus\widehat{D})\not=\emptyset$
[/mm]
Jetzt mein Problem: Wieso liegen in [mm] $D_{r'}(\lambda)\cap (\IC\setminus\widehat{D})$ [/mm] immer auch (weitere) Randpunkte von D (nur so komme ich ja zu einem Widerspruch)?
Hat jemand eine erlösende Idee?
Viele Grüße,
Marc
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:47 Mo 30.05.2005 | | Autor: | SEcki |
> nehme oBdA an, dass die Umgebung U eine Kreisscheibe
> [mm]D_r(\lambda)[/mm] ist.
> Nun würde ich gerne zeigen, dass ich [mm]D_r(\lambda)[/mm] so
> verkleinern kann, dass [mm]D_{r'}(\lambda)\subseteq \widehat{D}[/mm].
Das scheint fast schon trivial  . Annahme: es gibt keine solches r. D.h. insbesondere dass in jeder Umgebung von [m]\lambda[/m] sowohl Punkte vom Aüßeren als auch vom Ineeren vorhanden sind. Die Bälle sind knovex, d.h. die Verbindungslinie liegt drinnen - jetzt kannst du einer der beiden Punkte zB wg. Offenheit leicht verchieben und mit dem andren verbinden - die Gerade schneidet die andere aber genau (und nur!) in diesem Punkt. Also gibt es auch einen weiteren Randpunkt in der Umgebung.
Gibt bestimmt noch andere schöne Beweise, die ich gerade nicht sehe (zB topologischer als der hier.)
SEcki
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:32 Mo 30.05.2005 | | Autor: | SEcki |
> > Annahme: es gibt keine
> > solches r. D.h. insbesondere dass in jeder Umgebung von
> > [m]\lambda[/m] sowohl Punkte vom Aüßeren als auch vom Ineeren
> > vorhanden sind. Die Bälle sind knovex, d.h. die
> > Verbindungslinie liegt drinnen - jetzt kannst du einer der
> > beiden Punkte zB wg. Offenheit leicht verchieben und mit
> > dem andren verbinden
>
> Warum verschiebst du einen der Punkte? Verbinden konntest
> du sie doch vorher schon?
Einen der Punkte evrschiebe ich - aber so, daß er seine Eigenschaft - im inneren bzw. im Aüßeren zu sein, behält.
> Welche andere Gerade?
Durch verschobener Punkt und festgehaltener Punkt.
> Welchen Punkt meinst du hier? [mm]\lambda[/mm]?
Nein, ganz sicher nicht.
> Ich sehe leider überhaupt nicht die Idee, die du hier zu
> haben scheinst.
Naja: alle Geraden vom Äußeren ins Innere überschreiten irgendwo min. einen Randpunkt - tja, und nach obiger Bemrkung gibt es dann sogar immer überabzählbar viele Randpunkte in einer Umgebung, falls nicht irgendwannmal das Äußere - oder das Innere, ganz aus der Umgebung verschwindet - und eins tut es nach Vorr. ja nicht.
> Darf ich dich bitten, das vielleicht noch etwas deutlicher
> für mich zu machen? 
Ich hoffe, das war deutlich. War das eigentlich eine Übungsaufgabe?
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:58 Mo 30.05.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo SEcki,
> > > Annahme: es gibt keine
> > > solches r. D.h. insbesondere dass in jeder Umgebung von
> > > [m]\lambda[/m] sowohl Punkte vom Aüßeren als auch vom Ineeren
> > > vorhanden sind. Die Bälle sind knovex, d.h. die
> > > Verbindungslinie liegt drinnen - jetzt kannst du einer der
> > > beiden Punkte zB wg. Offenheit leicht verchieben und mit
> > > dem andren verbinden
> >
> > Warum verschiebst du einen der Punkte? Verbinden konntest
> > du sie doch vorher schon?
>
> Einen der Punkte evrschiebe ich - aber so, daß er seine
> Eigenschaft - im inneren bzw. im Aüßeren zu sein, behält.
>
> > Welche andere Gerade?
>
> Durch verschobener Punkt und festgehaltener Punkt.
>
> > Welchen Punkt meinst du hier? [mm]\lambda[/mm]?
>
> Nein, ganz sicher nicht.
Ach so, dieser Satz klärt natürlich jetzt alles auf.
> > Ich sehe leider überhaupt nicht die Idee, die du hier zu
> > haben scheinst.
>
> Naja: alle Geraden vom Äußeren ins Innere überschreiten
> irgendwo min. einen Randpunkt - tja, und nach obiger
> Bemrkung gibt es dann sogar immer überabzählbar viele
> Randpunkte in einer Umgebung, falls nicht irgendwannmal das
> Äußere - oder das Innere, ganz aus der Umgebung
> verschwindet - und eins tut es nach Vorr. ja nicht.
>
> > Darf ich dich bitten, das vielleicht noch etwas deutlicher
> > für mich zu machen?
>
> Ich hoffe, das war deutlich.
Nein, leider nicht. Diese vage Vorstellung hatte ich vorher auch schon, ich würde nur gerne zwingend einsehen, dass es so ist. Deine Antworten verwirren mich dagegen leider vom Aufbau her ziemlich, obwohl deine inhaltliche Beweisidee vielleicht richtig sein mag. Deswegen habe ich die Urpsrungsfrage auch wieder "geöffnet".
> War das eigentlich eine
> Übungsaufgabe?
Nein, das war eine Behauptung in meinem Skript, wozu ich aber den Beweis nicht rekonstruieren konnte.
Vielen Dank jedenfalls, dass du dich damit beschäftigt hast.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:32 Mo 30.05.2005 | | Autor: | SEcki |
> Ach so, dieser Satz klärt natürlich jetzt alles auf.
Dir ist es aber (tortzdem) nicht klar, oder wie?
> Nein, leider nicht. Diese vage Vorstellung hatte ich vorher
> auch schon, ich würde nur gerne zwingend einsehen, dass es
> so ist.
Dann formulier meine Gedanken aus.
Ich versuch mal zusammenzufassen, dann kannst du ja stringend ausformulieren:
- Nach Vorr. gibt es eine Umgebung um [m]\lambda[/m], die keine weiteren Randpunkte etnhält. Jetzt reicht zu zeigen: würde der Schnitt mit dem Äüßeren, das offen (!) ist, mit dieser Umgebung nicht leer sein, enthielte die Umgebung weitere Randpunkt.
- es gbit seinen stetigen Weg eines äußeren Punktes in einen inneren Punkt - der müsste ja als einzigen Randpunkt, der dabei von dem Weg berührt wird, [m]\lambda[/m] haben
- jetzt wackel an einen inneren Punkt - das darfst du, weil ja die Umgebung offen ist. Nun verbinde den verwackelten mit dem anderen, zB nimmst du dem alten äußeren Punkt und verbindest ihn mit dem neuen inneren, den du vorher gewählt hast. Dabei musst du einen Punkt nehmen, der nicht schon auf der Geraden liegt - das geht aber aus Dimensionsgründen. (Und hier sieht man auch, dass es in [m]\IR[/m] nicht geht und die Behauptung da falsch ist.)
- die beiden Wege, bzw. zu Geraden erweiterte, schneiden sich in genau einen Punkt, der im Inneren von D liegt - aber [m]\lambda[/m] muss nach Vorr. auf beiden Geraden liegen. Widerspruch.
Sag doch bitte, was du genau nciht verstehst, dann kann ich noch lernen, besser zu formulieren.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:41 Mo 30.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo SEcki!
Ich hätte argumentiert, dass man zwei verschiedene Punkte in [mm] $D_{r'}(\lambda) \cap [/mm] D$ findet und damit sozusagen im Inneren "wackelt". Wieso geht das im Äußeren auch?
> der Schnitt mit dem Äüßeren, das offen (!) ist,
Das ist mir gerade unklar. Warum ist [mm] $D_{r'}(\lambda) \cap (\IC \setminus \hat{D})$ [/mm] offen? (Genauer: Warum enthält es mehr als einen Punkt?)
Sorry, wenn ich hier auf der Leitung stehe... ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
(Man braucht es aber eh nicht für den Beweis...)
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:50 Mo 30.05.2005 | | Autor: | SEcki |
> Ich hätte argumentiert, dass man zwei verschiedene Punkte
> in [mm]D_r'(\lambda) \cap D[/mm] findet und damit sozusagen im
> Inneren "wackelt". Wieso geht das im Äußeren auch?
Naja gut - wenn das Äußere leer ist, dann nicht, dann war aber die Behauptung schon richtig. Warum das geht? Vielleicht eine Begrifflichkietsverwechslung: das Äußere ist das Komplement des Abschlußes, also offen. (Bzw. bilde ich mir ein, das dies das Äußere sein soll.)
> Das ist mir gerade unklar. Warum ist [mm]D_r'(\lambda) \cap (\IC \setminus \hat{D})[/mm]
> offen? (Genauer: Warum enthält es mehr als einen Punkt?)
Hmm, wo ich da gerade getext lese: [mm]\hat{D})[/mm] heisst? Ich habe das als geraden Strich für Abschluss gelesen.
> (Man braucht es aber eh nicht für den Beweis...)
Ja, ist wahr.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:00 Mo 30.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo SEcki!
> Naja gut - wenn das Äußere leer ist, dann nicht, dann war
> aber die Behauptung schon richtig.
Das meinte ich nicht.
> Warum das geht?
> Vielleicht eine Begrifflichkietsverwechslung: das Äußere
> ist das Komplement des Abschlußes, also offen. (Bzw. bilde
> ich mir ein, das dies das Äußere sein soll.)
Ich dachte du meintest mit "das Äußere" das Komplement von [mm] $\hat{D}$... [/mm] denn was bringt es das Komplement von [mm] $\bar{D}$ [/mm] zu betrachten? Davon wissen wir dann in der Tat nicht, dass es mit allen [mm] $D_{r'}(\lambda)$ [/mm] nichtleeren Schnitt hat.
> > Das ist mir gerade unklar. Warum ist [mm]D_r'(\lambda) \cap (\IC \setminus \hat{D})[/mm]
> > offen? (Genauer: Warum enthält es mehr als einen Punkt?)
>
> Hmm, wo ich da gerade getext lese: [mm]\hat{D})[/mm] heisst? Ich
> habe das als geraden Strich für Abschluss gelesen.
Es war [mm] $\hat{D} [/mm] = D [mm] \cup\{\lambda\}$.
[/mm]
> > (Man braucht es aber eh nicht für den Beweis...)
>
> Ja, ist wahr.
Vielleicht solltest du den Beweis dann an der Stelle modifizieren (editieren). Würdest du das gerade machen? Danke!
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:12 Mo 30.05.2005 | | Autor: | SEcki |
> Vielleicht solltest du den Beweis dann an der Stelle
> modifizieren (editieren). Würdest du das gerade machen?
Hab ich, aber mein Beweis wäre auch mit dem Wackeln am echten Äußeren durchgegangen.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:09 Mo 30.05.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo zusammen,
> > Ich hätte argumentiert, dass man zwei verschiedene Punkte
> > in [mm]D_r'(\lambda) \cap D[/mm] findet und damit sozusagen im
> > Inneren "wackelt". Wieso geht das im Äußeren auch?
>
> Naja gut - wenn das Äußere leer ist, dann nicht, dann war
> aber die Behauptung schon richtig. Warum das geht?
> Vielleicht eine Begrifflichkietsverwechslung: das Äußere
> ist das Komplement des Abschlußes, also offen. (Bzw. bilde
> ich mir ein, das dies das Äußere sein soll.)
>
> > Das ist mir gerade unklar. Warum ist [mm]D_r'(\lambda) \cap (\IC \setminus \hat{D})[/mm]
> > offen? (Genauer: Warum enthält es mehr als einen Punkt?)
>
> Hmm, wo ich da gerade getext lese: [mm]\hat{D})[/mm] heisst? Ich
> habe das als geraden Strich für Abschluss gelesen.
Das hatte ich ganz zu Anfang definiert, das war D, erweitert um den isolierten Punkt.
Ich hatte irgendwie auf ein rein topologisches Argument gehofft. Mir ist das in [mm] $\IC$ [/mm] alles klar (danke an Euch beide, dass Ihr es noch ausführlicher beschrieben habt), jedenfalls anschaulich.
Allerdings bn ich noch nicht so überzeugt, dass man durch das "Wackeln" der Verbindungstrecke bzw. -weges tatsächlich einen weiteren Randpunkt trifft. Anschaulich ist mir klar, dass es so etwas wie eine Grenze zwischen Innerem und Äußerem gibt, aber ich frage mich halt, ob nur einfach meine Phantasie nicht ausreicht, mir eine andere offene Menge inkl. Rand vorzustellen (wie man an den isolierten Randpunkten sieht, muss die Menge der Randpunkte ja nicht zusammenhängend sein), oder ob es tatsächlich keine gibt.
Aber bestimmt habe ich mich heute schon zu sehr daran verbissen, ich gehe morgen lieber mit frischem Mut nochmal an die Sache.
Sehr vielen Dank jedenfalls, dass Ihr mir beigestanden habt
Liebe Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:17 Mo 30.05.2005 | | Autor: | SEcki |
> Ich hatte irgendwie auf ein rein topologisches Argument
> gehofft.
Das wird schwer - jedenfalls gilt die Aussage in [m]\IR[/m] nicht. Rein toplogisch könnte das in Homotopie, Homologie und Cohomologie und was es da sonst noch gibt abdriften.
> Allerdings bn ich noch nicht so überzeugt, dass man durch
> das "Wackeln" der Verbindungstrecke bzw. -weges tatsächlich
> einen weiteren Randpunkt trifft.
Dann beweis es! Du hast einen stetigen Weg vom Inneren ins Äußere. Beweise: auf dem Weg liegt ein Randpunkt. Wenn du das hast: der Schnitt der beiden Geraden besteht aus einen Punkt, wenn du richtig "gewackelt" hast (dazubraucht man blos lin. Alg.), nämlich einen Inneren. Da ist dcoh schon der Widerspruch ...
> Anschaulich ist mir klar,
> dass es so etwas wie eine Grenze zwischen Innerem und
> Äußerem gibt, aber ich frage mich halt, ob nur einfach
> meine Phantasie nicht ausreicht, mir eine andere offene
> Menge inkl. Rand vorzustellen (wie man an den isolierten
> Randpunkten sieht, muss die Menge der Randpunkte ja nicht
> zusammenhängend sein), oder ob es tatsächlich keine gibt.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Mo 30.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Lieber Marc!
Ich möchte das Argument vielleicht noch einmal deutlicher ausführen.
In [mm] $D_{r'}(\lambda) \cap (\IC \setminus \hat{D})$ [/mm] findest du ja nach Voraussetzung mindestens einen Punkt, nennen wir ihn [mm] $z_1$. $z_1$ [/mm] muss im Komplement von [mm] $\bar{D}$ [/mm] liegen, denn sonst wäre es ein von [mm] $\lambda$ [/mm] verschiedenen Randpunkt von $D$, im Gegensatz zur Wahl von $U$ (und es gilt ja [mm] $D_{r'}(\lambda) \subset [/mm] U$).
Weiterhin gibt es in der offenen, nichtleeren Menge [mm] $D_{r'}(\lambda) \cap [/mm] D$ zwei Punkte [mm] $z_2$, $z_3$, [/mm] so dass die Strecken [mm] $\overline{z_1z_2}$ [/mm] und [mm] $\overline{z_1z_3}$ [/mm] nicht parallel sind. Dies geht, weil es um [mm] $z_2 \in D_{r'}(\lambda)\cap [/mm] D$ eine ganze Kugel gibt, die noch in [mm] $D_{r'}(\lambda)\cap [/mm] D$ liegt und man hier in der Tat Argumente der linearen Algebra gelten lassen kann.
Da [mm] $D_{r'}(\lambda)$ [/mm] konvex ist, liegen die Verbindungsstrecken ganz in [mm] $D_{r'}(\lambda)$.
[/mm]
Behauptung: Dann liegen zwei Punkte [mm] $w_2 \ne w_3 \in \bar{D}\setminus [/mm] D$ in [mm] $D_{r'}(\lambda)$.
[/mm]
Beweis:
Wir betrachten für $i=2,3$ die Geraden
[mm] $\gamma_i [/mm] :[0,1] [mm] \to \IC$
[/mm]
mit [mm] $\gamma_i(0)=z_i$ [/mm] und [mm] $\gamma_i(1)=z_1$.
[/mm]
Finden wir auf beiden Geraden je einen solchen Punkt [mm] $w_2$ [/mm] und [mm] $w_3$ [/mm] auf dem Rand, dann sind sie auf jeden Fall verschieden, da die beiden Geraden nicht parallel sind und sich in einem Punkt aus [mm] $\IC \setminus \bar{D}$ [/mm] schneiden.
Definiere:
[mm] $t_i:=\inf\{t \in [0,1] \, : \, \gamma_i(t) \notin D\}$.
[/mm]
Dann gilt:
[mm] $w_i:=\gamma_i(t_i) \notin [/mm] D$, denn ansonsten müsste wegen der Offenheit von $D$ auch eine ganze Umgebung von [mm] $w_i=\gamma_i(t_i)$ [/mm] in $D$ liegen, im Widerspruch zur Wahl von [mm] $t_i$. [/mm] Weiterhin gilt nach Definition von [mm] $t_i$:
[/mm]
[mm] $\gamma_i(t) \in [/mm] D$ für alle [mm] $t\in [0,t_i)$.
[/mm]
Demnach liegen in jeder Umgebung von [mm] $w_i=\gamma_i(t_i) \in \IC \setminus [/mm] D$ Punkte aus $D$, so dass [mm] $w_i=\gamma_i(t_i) \in \bar{D}\setminus [/mm] D$ gelten muss.
Ich hoffe ich habe jetzt vor Müdigkeit nicht zu viele Fehler gemacht...
Viele Grüße
Stefan
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