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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:44 Fr 19.09.2008 | | Autor: | TTaylor |
| Aufgabe | | [mm]f(z)=\bruch{1-cos z}{z^2}[/mm] |
Hallo erstmal,
ich weiß, dass f(z) in ganz C holomorph ist außer bei z=0
Wie bilde ich hier die Laurentreihe?
Die Potenzreihe des [mm] cos z= \sum_{k=0}^{N} \bruch{(-1)^k}{(2k)!}z^{2k}[/mm]
Wie muss ich an dieser Stelle weiterrechnen, um die Laurentreihe zu bekommen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:54 Fr 19.09.2008 | | Autor: | fred97 |
> [mm]f(z)=\bruch{1-cos z}{z^2}[/mm]
> Hallo erstmal,
>
> ich weiß, dass f(z) in ganz C holomorph ist außer bei z=0
>
> Wie bilde ich hier die Laurentreihe?
>
> Die Potenzreihe des [mm]cos z= \sum_{k=0}^{N} \bruch{(-1)^k}{(2k)!}z^{2k}[/mm]
Obige Reihe geht bis [mm] \infty
[/mm]
>
> Wie muss ich an dieser Stelle weiterrechnen, um die
> Laurentreihe zu bekommen?
Dividiere 1 - [mm] \sum_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{(2k)!}z^{2k} [/mm] gliedweise durch [mm] z^2 [/mm] , dann siehst Du , dass die Funktion in 0 eine hebbare Singilarität hat. Die Laurentreihe (um 0) ist eine Potenzreihe
FRED
[mm] 1/z^2 [/mm] -1
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:17 Fr 19.09.2008 | | Autor: | TTaylor |
> > [mm]f(z)=\bruch{1-cos z}{z^2}[/mm]
> > Hallo erstmal,
> >
> > ich weiß, dass f(z) in ganz C holomorph ist außer bei z=0
> >
> > Wie bilde ich hier die Laurentreihe?
> >
> > Die Potenzreihe des [mm]cos z= \sum_{k=0}^{N} \bruch{(-1)^k}{(2k)!}z^{2k}[/mm]
>
>
> Obige Reihe geht bis [mm]\infty[/mm]
> >
> > Wie muss ich an dieser Stelle weiterrechnen, um die
> > Laurentreihe zu bekommen?
>
>
>
>
> Dividiere 1 - [mm]\sum_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{(2k)!}z^{2k}[/mm]
> gliedweise durch [mm]z^2[/mm] , dann siehst Du , dass die Funktion
> in 0 eine hebbare Singilarität hat. Die Laurentreihe (um 0)
> ist eine Potenzreihe
>
Wenn ich also hierfür:[mm]\sum_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{(2k)!}z^{2k}[/mm]
für k=0
ergibt die Reihe 1
für k=1
[mm]\bruch {-1}{2!}z^2[/mm]
für k=2
[mm]\bruch {1}{4!}z^4[/mm]
....
Also ich sehe, dass ich für k>0 [mm] z^2 [/mm] kürzen kann. Aber was ist mit k=0?
Also wenn ich eine hebbare Singularität habe, dann ist der Hauptteil der Laurentreihe =0. Es müßte in diesem Fall also nur einen Nebenteil geben der eine Potenzreihe ist. Aber wie lautet diese Potenreihe? das kapier ich noch nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:24 Fr 19.09.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> > Dividiere 1 - [mm]\sum_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{(2k)!}z^{2k}[/mm]
> > gliedweise durch [mm]z^2[/mm], dann siehst Du, dass die Funktion
> > in 0 eine hebbare Singularität hat. Die Laurentreihe (um 0)
> > ist eine Potenzreihe
> >
> Wenn ich also hierfür:[mm]\sum_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{(2k)!}z^{2k}[/mm]
Wie heißt es bei Loriot? "Sie müssen schon ganz genau hinsehen!"
Es geht um dieses Ding:
1 - [mm]\sum_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{(2k)!}z^{2k}[/mm]
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:58 Fr 19.09.2008 | | Autor: | TTaylor |
Vielen Dank, ich habe es jetzt endlich kapiert.
wenn ich jetzt eine [mm]f(z)=e^{\bruch{1}{z}}+\bruch{1}{z}[/mm]
Für z=0 liegt eine wesentliche Singularität vor:
Dies sollte aus der Laurentreihenentwicklung um z=0 erkennbar sein:
[mm] e^z= \sum_{k=0}^{N}\bruch{z^k}{k!}
[/mm]
[mm] e^{\bruch{1}{z}}= \sum_{k=0}^{N}\bruch{1}{k!}\bruch{1}{z^k}
[/mm]
ist das soweit richtig, wie entickle ich jetzt hieraus die Laurentreihe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:17 Fr 19.09.2008 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank, ich habe es jetzt endlich kapiert.
>
> wenn ich jetzt eine [mm]f(z)=e^{\bruch{1}{z}}+\bruch{1}{z}[/mm]
>
> Für z=0 liegt eine wesentliche Singularität vor:
>
> Dies sollte aus der Laurentreihenentwicklung um z=0
> erkennbar sein:
>
> [mm]e^z= \sum_{k=0}^{N}\bruch{z^k}{k!}[/mm]
>
> [mm]e^{\bruch{1}{z}}= \sum_{k=0}^{N}\bruch{1}{k!}\bruch{1}{z^k}[/mm]
>
> ist das soweit richtig, wie entickle ich jetzt hieraus die
> Laurentreihe?
>
Schreibe doch bitte oben jeweils [mm] \infty [/mm] statt N (es handelt sich um unendliche Reihen)
Die laurentreihe ist:
[mm] \sum_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}\bruch{1}{z^k} [/mm] +1/z
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:28 Fr 19.09.2008 | | Autor: | TTaylor |
> > Vielen Dank, ich habe es jetzt endlich kapiert.
> >
> > wenn ich jetzt eine [mm]f(z)=e^{\bruch{1}{z}}+\bruch{1}{z}[/mm]
> >
> > Für z=0 liegt eine wesentliche Singularität vor:
> >
> > Dies sollte aus der Laurentreihenentwicklung um z=0
> > erkennbar sein:
> >
> > [mm]e^z= \sum_{k=0}^{N}\bruch{z^k}{k!}[/mm]
> >
> > [mm]e^{\bruch{1}{z}}= \sum_{k=0}^{N}\bruch{1}{k!}\bruch{1}{z^k}[/mm]
>
> >
> > ist das soweit richtig, wie entickle ich jetzt hieraus die
> > Laurentreihe?
> >
>
> Schreibe doch bitte oben jeweils [mm]\infty[/mm] statt N (es handelt
> sich um unendliche Reihen)
>
> Die laurentreihe ist:
> [mm]\sum_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}\bruch{1}{z^k}[/mm] +1/z
>
Wenn ich zeigen möchte dass es eine wesentliche Singularität bei z=0 gibt, dann darf der Hauptteil der Laurentreihe nicht abbrechen. Hier habe ich aber nur den Nebenteil der Laurentreihe oder?
Also der Nebenteil der Laurentreihe ist mir klar.
[mm]\sum_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}\bruch{1}{z^k}[/mm] +1/z
Aber wie lautet dann der Hauptteil?
[mm]\sum_{-\infty}^{-1}[/mm]....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:51 Fr 19.09.2008 | | Autor: | fred97 |
> > > Vielen Dank, ich habe es jetzt endlich kapiert.
> > >
> > > wenn ich jetzt eine [mm]f(z)=e^{\bruch{1}{z}}+\bruch{1}{z}[/mm]
> > >
> > > Für z=0 liegt eine wesentliche Singularität vor:
> > >
> > > Dies sollte aus der Laurentreihenentwicklung um z=0
> > > erkennbar sein:
> > >
> > > [mm]e^z= \sum_{k=0}^{N}\bruch{z^k}{k!}[/mm]
> > >
> > > [mm]e^{\bruch{1}{z}}= \sum_{k=0}^{N}\bruch{1}{k!}\bruch{1}{z^k}[/mm]
>
> >
> > >
> > > ist das soweit richtig, wie entickle ich jetzt hieraus die
> > > Laurentreihe?
> > >
> >
> > Schreibe doch bitte oben jeweils [mm]\infty[/mm] statt N (es handelt
> > sich um unendliche Reihen)
> >
> > Die laurentreihe ist:
> > [mm]\sum_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}\bruch{1}{z^k}[/mm] +1/z
> >
> Wenn ich zeigen möchte dass es eine wesentliche
> Singularität bei z=0 gibt, dann darf der Hauptteil der
> Laurentreihe nicht abbrechen.
>Hier habe ich aber nur den
> Nebenteil der Laurentreihe oder?
Nein.
> Also der Nebenteil der Laurentreihe ist mir klar.
Das glaube ich nicht
Das: [mm]\sum_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}\bruch{1}{z^k}[/mm] +1/z ist der Hauptteil !!
> Aber wie lautet dann der Hauptteil?
> [mm]\sum_{-\infty}^{-1}[/mm]....
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