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Forum "Lineare Abbildungen" - kern und rang einer Abbildung
kern und rang einer Abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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kern und rang einer Abbildung: Konkrete Hilfe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:23 Di 11.04.2017
Autor: Chrizzldi

Aufgabe
Sei [mm] $\pmat{1 & 3 & 2 & 4 \\ 2 & 4 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 2 & 2}\in M_{3,4}(\mathbb{Z}_5)$ [/mm] und [mm] $\varphi [/mm] : [mm] \mathbb{Z}_5^4 \to \mathbb{Z}_5^3 [/mm] : v [mm] \mapsto [/mm] Av$.

Bestimmen Sie [mm] ker$(\varphi), \varphi(\mathbb{Z}_5^4)$ [/mm] und $ [mm] rg$(\varphi)$ [/mm]


Hallo lieber Matheraum,

ich bitte euch um Hilfe zur obigen Aufgabe. Ich verstehe nicht ganz, wie ich vorgehen soll:

Ich weiß zwar wie wie ich den Kern und den Rang einer Matrix berechne, aber ich weiß im Moment nicht, wie ich auf die Abbildungsmatrix, also [mm] $\varphi$, [/mm] komme. Auch ist mir nicht klar, was mit [mm] $\varphi(\mathbb{Z}_5^4)$ [/mm] gemeint ist.


Ist [mm] $\varphi$ [/mm] evtl.:

[mm] $\pmat{ 1 & 3 & 2 & 4 \\ 2 & 4 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 2 & 2} \pmat{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4} [/mm] = [mm] \pmat{x_1 + 3x_2 + 2x_3 + 4x_4 \\ 2x_1 + 4x_2 + x_4 \\ 2x_1 +2x_3 + 2x_4 & } [/mm] = [mm] \varphi$ [/mm] ?

Wenn dem so waehre, dann koennte ich doch den Kern von $A$ berechnen und danach mit [mm] $\varphi$ [/mm] multiplizieren und haette den Kern von [mm] $\varphi$, [/mm] selbes gilt auch fuer den Rang, was mit [mm] $\varphi(\mathbb{Z}_5^4)$ [/mm] gemeint ist, weiß ich nicht.

Danke fuer Eure Hilfe!

Liebe Gruesse,
Chris

        
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kern und rang einer Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:34 Di 11.04.2017
Autor: Diophant

Hallo,

eine Teilantwort:

> Auch ist mir
> nicht klar, was mit [mm]\varphi(\mathbb{Z}_5^4)[/mm] gemeint ist.

Es geht um zwei Vektorräume über dem Körper [mm] \IF_5, [/mm] der Urbildraum mit Dimension 4, der Bildraum mit Dimension 3.


Gruß, Diophant

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kern und rang einer Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:50 Di 11.04.2017
Autor: Chrizzldi

Hallo Diophant,

> Es geht um zwei Vektorräume über dem Körper $ [mm] \IF_5, [/mm] $ der Urbildraum mit Dimension 4, der Bildraum mit Dimension 3.

Danke fuer den Hinweis, ich weiß zwar was der Urbild und der Bildraum ist, aber es hilft mir noch nicht weiter. Also ich stelle mir das wie immer als Abbildung vor, aus dem Urbildraum mit vier Dimensionen, also zb.

[mm] $\pmat{a & b & c & d \\ e & f & g & h \\ i & j & k & l }$ [/mm] wird in das Bild [mm] $\pmat{a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i}$ [/mm] abgebildet. Und gesucht ist dann eben die Matrix, welche das macht?

Kann ich da nicht einfach z.b. die Standartbasis vom [mm] $\mathbb{Z}^3$ [/mm] nehmen?

Gruss,
Chris

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kern und rang einer Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:59 Di 11.04.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> > Es geht um zwei Vektorräume über dem Körper [mm]\IF_5,[/mm] der
> Urbildraum mit Dimension 4, der Bildraum mit Dimension 3.

>

> Danke fuer den Hinweis, ich weiß zwar was der Urbild und
> der Bildraum ist, aber es hilft mir noch nicht weiter. Also
> ich stelle mir das wie immer als Abbildung vor, aus dem
> Urbildraum mit vier Dimensionen, also zb.

>

> [mm]\pmat{a & b & c & d \\ e & f & g & h \\ i & j & k & l }[/mm]
> wird in das Bild [mm]\pmat{a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i}[/mm]
> abgebildet. Und gesucht ist dann eben die Matrix, welche
> das macht?

Ah, jetzt haben wir den Irrtum. Deine Urbilder bzw. Bilder sind keine Matrizen, sondern Spaltenvektoren der entsprechnenden Dimension.

Gruß, Diophant

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kern und rang einer Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:23 Di 11.04.2017
Autor: Chrizzldi

Hi Diophant,

sorry, ich versteh es noch nicht.

Du meinst mit [mm] $\mathbb{Z}_4^5$ [/mm] ist keine Matrix gemeint, sondern ein einfacher Vektor? Also soll ich quasi angeben was herauskommt, wenn ich einen Vektor der 4. Dimension in [mm] $\varphi$ [/mm] werfe? Sprich wie die Abbildung den Vektor zu einem Vektor der 3. Dimension veraendert? Es ist also so etwas gesucht:
[mm] $\pmat{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4} \varphi [/mm] = [mm] \pmat{x_1 \\ x_2 \\ x_3}$ [/mm]

Gruss,
Chris

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Bezug
kern und rang einer Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:28 Di 11.04.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> sorry, ich versteh es noch nicht.

>

> Du meinst mit [mm]\mathbb{Z}_4^5[/mm] ist keine Matrix gemeint,
> sondern ein einfacher Vektor?

Ja, aber einer über dem Körper [mm] \IF_5 [/mm] bzw. [mm] \IZ_5 [/mm] (je nach Schreibweise).

> Also soll ich quasi angeben
> was herauskommt, wenn ich einen Vektor der 4. Dimension in
> [mm]\varphi[/mm] werfe? Sprich wie die Abbildung den Vektor zu einem
> Vektor der 3. Dimension veraendert? Es ist also so etwas
> gesucht:
> [mm]\pmat{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4} \varphi = \pmat{x_1 \\ x_2 \\ x_3}[/mm]

>

Das [mm] \varphi [/mm] steht auf der falschen Seite der Klammer, ansonsten: genau das ist gemeint. Und jetzt sehe ich erst das nächste Problem: [mm] \varphi [/mm] ist durch die Matrix M gegeben, es handelt sich doch um eine lineare Abbildung!

Gruß, Diophant

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kern und rang einer Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:31 Di 11.04.2017
Autor: Chrizzldi

Okay danke!

Kannst du mir einen Tipp geben wie ich diese [mm] $\varphi$ [/mm] herausfinde? :)

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kern und rang einer Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:49 Di 11.04.2017
Autor: Diophant

Hallo,

>

> Kannst du mir einen Tipp geben wie ich diese [mm]\varphi[/mm]
> herausfinde? :)

[mm] \varphi [/mm] ist gegeben durch die Matrix. Es gilt also (wenn [mm] v_4 [/mm] ein Element des Urbilds und [mm] v_3 [/mm] eines des Bildes ist):

[mm] v_3=M*v_4 [/mm]


Gruß, Diophant

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kern und rang einer Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:22 Mi 12.04.2017
Autor: angela.h.b.


> Sei [mm]A:=\pmat{1 & 3 & 2 & 4 \\ 2 & 4 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 2 & 2}\in M_{3,4}(\mathbb{Z}_5)[/mm]
> und [mm]\varphi :\blue{ \mathbb{Z}_5}^\red{4} \to \mathbb{Z}_5^3 : v \mapsto Av[/mm].
>  
> Bestimmen Sie [mm]ker$(\varphi), \varphi(\mathbb{Z}_5^4)$[/mm] und $
> [mm]rg$(\varphi)$[/mm]
>  
> Hallo lieber Matheraum,
>  
> ich bitte euch um Hilfe zur obigen Aufgabe. Ich verstehe
> nicht ganz, wie ich vorgehen soll:

Moin,

ich habe mal messerscharf kombinierend und eigenmächtig handelnd der angegebenen Matrix den Namen A gegeben.

>  
> Ich weiß zwar wie wie ich den Kern und den Rang einer
> Matrix berechne, aber ich weiß im Moment nicht, wie ich
> auf die Abbildungsmatrix, also [mm]\varphi[/mm], komme. Auch ist mir
> nicht klar, was mit [mm]\varphi(\mathbb{Z}_5^4)[/mm] gemeint ist.

[mm] \varphi [/mm] ist eine Abbildung, die Spaltenvektoren mit [mm] \red{4} [/mm] Eintragen, die aus dem [mm] \blue{ \mathbb{Z}_5} [/mm] sind,
auf solche mit 3 Eintragen aus dem [mm] \IZ_5 [/mm] abbildet.

Die Weise, wie dies zu geschehen hat, ist auch angegeben:
jeder Vektor v wird abgebildet auf den Vektor Av,
es ist also [mm] \varphi(v)=Av [/mm] für alle [mm] v\in \IZ_5^4. [/mm]

> Ist [mm]\varphi[/mm] evtl.:
>  
> [mm]\pmat{ 1 & 3 & 2 & 4 \\ 2 & 4 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 2 & 2} \pmat{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4} = \pmat{x_1 + 3x_2 + 2x_3 + 4x_4 \\ 2x_1 + 4x_2 + x_4 \\ 2x_1 +2x_3 + 2x_4 & } = \varphi[/mm]
> ?

Du bist nah dran:

es ist [mm] \varphi(\pmat{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4})= [/mm]

> [mm][mm] \pmat{ 1 & 3 & 2 & 4 \\ 2 & 4 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 2 & 2} \pmat{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4} [/mm] = [mm] \pmat{x_1 + 3x_2 + 2x_3 + 4x_4 \\ 2x_1 + 4x_2 + x_4 \\ 2x_1 +2x_3 + 2x_4 & } [/mm] .


Die Abbildungsmatrix ist A, und wenn Du weißt, wie man Kern, Bild und Rang einer Matrix berechnet, ist alles in Butter. Genau das mußt Du hier für A, die Abbildungsmatrix von [mm] \varphi, [/mm] tun - und dabei nicht vergessen, daß Du Dich in [mm] \IZ_5 [/mm] bewegst.
Also nicht "teilen", sondern mit dem Inversen multiplizieren - das hatten wir ja neulich schon.

LG Angela

>  
> Wenn dem so waehre, dann koennte ich doch den Kern von [mm]A[/mm]
> berechnen und danach mit [mm]\varphi[/mm] multiplizieren und haette
> den Kern von [mm]\varphi[/mm], selbes gilt auch fuer den Rang, was
> mit [mm]\varphi(\mathbb{Z}_5^4)[/mm] gemeint ist, weiß ich nicht.
>  
> Danke fuer Eure Hilfe!
>  
> Liebe Gruesse,
>  Chris


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