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Forum "Algebra" - kleinstmögliche Zahl berechnen
kleinstmögliche Zahl berechnen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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kleinstmögliche Zahl berechnen: Tipp
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 08:22 Mi 28.01.2015
Autor: Michi4590

Aufgabe
Berechnen Sie jeweils die kleinstmögliche Zahl a [mm] \ge [/mm] 0

[mm] 13^{5} [/mm] mod 5 [mm] \equiv [/mm] a

Kleiner Satz von Fermat:

Ist p Primzahl und n relativ prim zu p, dann
gilt [mm] n^{p–1} \equiv [/mm] 1 mod p

Ok, p=5 ist eine Primzahl - passt :-)
n ist relativ prim zu p --> passt auch.

Das würde heißen, dass gilt [mm] 13^{4} \equiv [/mm] 13 mod 4

Aber wie bekomme ich da mein a raus?


        
Bezug
kleinstmögliche Zahl berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:28 Mi 28.01.2015
Autor: hippias


> Berechnen Sie jeweils die kleinstmögliche Zahl a [mm]\ge[/mm] 0
>  [mm]13^{5}[/mm] mod 5 [mm]\equiv[/mm] a
>  
> Kleiner Satz von Fermat:
>
> Ist p Primzahl und n relativ prim zu p, dann
>  gilt [mm]n^{p–1} \equiv[/mm] 1 mod p
>
> Ok, p=5 ist eine Primzahl - passt :-)
>  n ist relativ prim zu p --> passt auch.

O.K.

>  
> Das würde heißen, dass gilt [mm]13^{4} \equiv[/mm] 13 mod 4

Koenntest Du einmal ganz genau erklaren, wie Du auf [mm] $13^{4} \equiv [/mm] 13 [mm] \mod [/mm] 4$ kommst?

>  
> Aber wie bekomme ich da mein a raus?
>  


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Bezug
kleinstmögliche Zahl berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:30 Mi 28.01.2015
Autor: Michi4590

Ich habe einfach die Werte von p und n genommen und eingesetzt. p war ja 5 -> durch die -1 wurde es zu 4 und n = 13 habe ich gelassen.



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kleinstmögliche Zahl berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:47 Mi 28.01.2015
Autor: hippias

Aber was hat das mit dem kleinen Satz von Fermat zu tun, den Du ja offenbar anwenden wolltest?

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kleinstmögliche Zahl berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:52 Mi 28.01.2015
Autor: Michi4590

Ich habe ehrlich gesagt, keine Ahnung wie ich da vorgehen muss. Das einzige was ich hinbekomme ist eben die Prüfung auf relativ prim.

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kleinstmögliche Zahl berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:58 Mi 28.01.2015
Autor: hippias

Also wenn ich $n=13$ und $p=5$ in die Relation [mm] $n^{p-1}\equiv 1\mod [/mm] p$ einsetze, erhalte ich etwas ziemlich anderes als das, was Du geschrieben hast. Obwohl Deine Relation auch -zufaellig? - richtig ist.

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kleinstmögliche Zahl berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:02 Mi 28.01.2015
Autor: Michi4590

Das ist mehr als Zufall, dass diese richtig ist.

Wenn ich meine Werte einsetze, habe ich doch:

[mm] 13^{5-1} \equiv [/mm] 1 mod 5

Bezug
                                                        
Bezug
kleinstmögliche Zahl berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:15 Mi 28.01.2015
Autor: hippias

Ja, richtig! Aber schau mal nach, was Du im ersten Post geschrieben hast...

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Bezug
kleinstmögliche Zahl berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:48 Mi 28.01.2015
Autor: Michi4590

Ist p Primzahl und n relativ prim zu p, dann
gilt  [mm] n^{p–1} \equiv [/mm] 1 mod p

Meinst du das?

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kleinstmögliche Zahl berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:49 Mi 28.01.2015
Autor: hippias

Nein. Wie Du Dich erinnern dueftest, sprach ich von der Relation, in die Du etwas eingesetzt hast. Da hast Du in Deinem ersten Post etwas voellig anderes geschrieben als zuletzt. Das werde ich Dir aber nicht raussuchen, weil ich glaube, dass Du das selbst bemerken koennen solltest.

Ausgehend von der nun richtigen Relation [mm] $13^{5-1}\equiv [/mm] 1 [mm] \mod [/mm] 5$: wende dies auf die Dich eigentlich interessierende Relation zur Vereinfachung an. Dann steht das $a$ fast schon da.

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kleinstmögliche Zahl berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:59 Mi 28.01.2015
Autor: Michi4590

Hier habe ich es:

Also wenn ich n=13  und  p=5  in die Relation  [mm] n^{p-1}\equiv 1\mod [/mm] p  einsetze, erhalte ich etwas ziemlich anderes als das, was Du geschrieben hast.



Bezug
                                
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kleinstmögliche Zahl berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:49 Mi 28.01.2015
Autor: hippias

Hier, Du Experte, hast Du geschrieben:
> gilt $ [mm] n^{p–1} \equiv [/mm] $ 1 mod p
> Ok, p=5 ist eine Primzahl - passt :-)
> n ist relativ prim zu p --> passt auch.
> Das würde heißen, dass gilt $ [mm] 13^{4} \equiv [/mm] $ 13 mod 4

Das, siehe unterstrichener Text, hat doch nichts mit dem Satz vom Fermat zu tun. Und unterscheidet sich auch ganz wesentlich von dem, was Du zum Schluss geschrieben hast.  

Viel Erfolg mit Deiner Aufgabe!


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