matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenTopologie und Geometriekompakt und regular
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Topologie und Geometrie" - kompakt und regular
kompakt und regular < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Topologie und Geometrie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

kompakt und regular: augbage/beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:18 Mo 20.06.2005
Autor: sara_20

Hallo Leute,
ich bin nicht so gut in Fachbegriffen aus Mathematik, ich hoffe aber trotzdem dass ihr mich verstehen werdet.

Es ist folgendes zu beweisen:

Sei A kompakt und A [mm] \subseteq [/mm] X und X ist regularer Raum. Dann gilt folgendes:
Fuer jedes Z [mm] \subseteq X\A [/mm] (wo Z geschlossen ist d.h. Z= [mm] \overline{Z}) [/mm]
[mm] \exists [/mm] O,V (offene Mengen) so dass A [mm] \subseteq [/mm] O [mm] \wedge [/mm] Z [mm] \subseteq [/mm] V [mm] \wedge O\cap [/mm] V= [mm] \emptyset. [/mm]

Ich frage mich nun ob mein Beweis korrekt ist, denn ich konnte nirgendwo finden dass es so jemand bewiesen hat.

Da X regular ist, [mm] (\forall x)(\forall Z)(\exsists O(x),O(Z))x\in [/mm] O(x)  [mm] \wedge [/mm] Z [mm] \subseteqO(Z) \wedge O(x)\cap [/mm] O(Z)= [mm] \emptyset. [/mm]

Jeder kompakter Unterraum von Hausdorfraum ist geschlossen, also speziell A ist geschlossen. Da X regular ist,  [mm] \exists [/mm] O(A): A [mm] \subseteqO(A) [/mm]
[mm] \wedge x\in [/mm] O(x) [mm] \wedge O(x)\capO(A)= \emptyset. [/mm]

Sei [mm] O(Z)\capO(A) \not= \emptyset. [/mm] Dann:
[mm] \exists y\in O(Z)\cao [/mm] O(A).Dann ist [mm] O(y)\capO(Z) \not= \emptyset, [/mm] also ist X nicht regular. Kontradiktion. Es muss also gelten [mm] O(Z)\cap [/mm] O(A)= [mm] \emptyset [/mm]

Ist mein Beweis korrekt?
Ich habe diese Frage in keinen anderen Foren gestellt.

        
Bezug
kompakt und regular: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:47 Mo 20.06.2005
Autor: banachella

Hallo!

Du musst am Anfang schon voraussetzen, dass [mm] $A\cap Z=\emptyset$ [/mm] ist, oder?

Leider ist dein Widerspruch kein Widerspruch. $X$ heißt regulär, wenn für alle [mm] $Z\subseteq [/mm] X$, $Z$ abgeschlossen, [mm] $y\in X\setminus [/mm] Z$, disjunkte Umgebungen von $y$ und $Z$ existieren. Bei deinem letzten Schritt ist aber nicht ausgeschlossen, dass [mm] $y\in [/mm] Z$...

Der richtige Beweis funktioniert so:
Zu jedem [mm] $x\in [/mm] A$ gibt es eine offene Umgebung [mm] $O_x$ [/mm] von $x$ und eine offene Umgebung [mm] $U_x$ [/mm] von $Z$ mit [mm] $O_x\cap U_x=\emptyset$. [/mm]
Da [mm] $A\subset \bigcup\limits_{x\in A}O_x$, [/mm] ist [mm] $\{O_x\}_{x\in A}$ [/mm] eine offene Überdeckung von $A$. Da $A$ kompakt ist gibt es endlich viele [mm] $x_1,\dots, x_n\in [/mm] A$ mit [mm] $A\subset \bigcup\limits_{k=1}^nO_{x_k}$. [/mm]
Setze [mm] $U:=\bigcap\limits_{k=1}^n U_{x_k}$. [/mm] Weil das ein Schnitt endlich vieler offener Mengen ist, ist $U$ offen. Weil [mm] $Z\subset U_{x_k}$ [/mm] für alle $k$ ist auch [mm] $Z\subset [/mm] U$.
Setze [mm] $O:=\bigcup\limits_{k=1}^n O_{x_k}$. [/mm] Auch $O$ ist offen. Insbesondere ist [mm] $O\supset [/mm] A$.
Außerdem gilt: [mm] $O\cap U=\emptyset$. [/mm]

Gruß, banachella

Bezug
                
Bezug
kompakt und regular: bemerkung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:22 Mo 20.06.2005
Autor: sara_20

Ich danke dir vielmals. Ich wusste schon dass man es so beweisen kann wie du geschrieben hast, denn so lautet der Beweis in vielen Buechern. Ich wollte es aber etwas anders versuchen. Ja, und deswegen danke, du hast Recht. Mein letzter Schritt im Beweis ist nicht gut. Ich glaube aber dennoch dass man es so beweisen koennte. Hast du eine Idee?

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Topologie und Geometrie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]