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Forum "komplexe Zahlen" - komplexe Betragsfunktionen
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komplexe Betragsfunktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:45 Sa 21.12.2013
Autor: Petrit

Aufgabe
Die Funktionen [mm] |*|_{1}, |*|_{2}, |*|_{\infty} [/mm] : [mm] \IC \to \IR_{0}^{+} [/mm] seien definiert durch [mm] |a+ib|_{1} [/mm] := |a|+|b|, [mm] |a+ib|_{2} [/mm] := [mm] \wurzel{a^{2} + b^{2}}, |a+ib|_{\infty} [/mm] := [mm] max\{|a|,|b|\} [/mm] (für alle a,b [mm] \in\IR). [/mm]

zu zeigen: [mm] |z|_{1} \ge |z|_{2} \ge |z|_{\infty} \ge [/mm] 2 * [mm] |z|_{1} [/mm]


Hi!
Ich habe ein kleines Problem.
Und zwar weiß ich schon, dass die ersten beiden [mm] \ge [/mm] erfüllt sind (ich habe sie einfach quadriert), aber warum ist 2 * [mm] |z|_{1} \le |z|_{\infty}? [/mm]
Vielleicht kann mir jemand dabei behilflich sein, wäre echt top!

Schonmal danke und viele Grüße, Petrit!

        
Bezug
komplexe Betragsfunktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:19 Sa 21.12.2013
Autor: fred97


> Die Funktionen [mm]|*|_{1}, |*|_{2}, |*|_{\infty}[/mm] : [mm]\IC \to \IR_{0}^{+}[/mm]
> seien definiert durch [mm]|a+ib|_{1}[/mm] := |a|+|b|, [mm]|a+ib|_{2}[/mm] :=
> [mm]\wurzel{a^{2} + b^{2}}, |a+ib|_{\infty}[/mm] := [mm]max\{|a|,|b|\}[/mm]
> (für alle a,b [mm]\in\IR).[/mm]
>  
> zu zeigen: [mm]|z|_{1} \ge |z|_{2} \ge |z|_{\infty} \ge[/mm] 2 *
> [mm]|z|_{1}[/mm]
>  Hi!
>  Ich habe ein kleines Problem.
>  Und zwar weiß ich schon, dass die ersten beiden [mm]\ge[/mm]
> erfüllt sind (ich habe sie einfach quadriert), aber warum
> ist 2 * [mm]|z|_{1} \le |z|_{\infty}?[/mm]


Diese Ungl. ist doch kompletter Humbug ! Nimm mal mal z=1.

Lautet die Aufgabe wirklich so ?

FRRD




>  Vielleicht kann mir
> jemand dabei behilflich sein, wäre echt top!
>  
> Schonmal danke und viele Grüße, Petrit!


Bezug
        
Bezug
komplexe Betragsfunktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:50 Sa 21.12.2013
Autor: fred97


> Die Funktionen [mm]|*|_{1}, |*|_{2}, |*|_{\infty}[/mm] : [mm]\IC \to \IR_{0}^{+}[/mm]
> seien definiert durch [mm]|a+ib|_{1}[/mm] := |a|+|b|, [mm]|a+ib|_{2}[/mm] :=
> [mm]\wurzel{a^{2} + b^{2}}, |a+ib|_{\infty}[/mm] := [mm]max\{|a|,|b|\}[/mm]
> (für alle a,b [mm]\in\IR).[/mm]
>  
> zu zeigen: [mm]|z|_{1} \ge |z|_{2} \ge |z|_{\infty} \ge[/mm] 2 *
> [mm]|z|_{1}[/mm]
>  Hi!
>  Ich habe ein kleines Problem.
>  Und zwar weiß ich schon, dass die ersten beiden [mm]\ge[/mm]
> erfüllt sind (ich habe sie einfach quadriert), aber warum
> ist 2 * [mm]|z|_{1} \le |z|_{\infty}?[/mm]
>  Vielleicht kann mir
> jemand dabei behilflich sein, wäre echt top!
>  
> Schonmal danke und viele Grüße, Petrit!


Es soll also gelten:

$ [mm] |z|_{1} \ge |z|_{2} \ge |z|_{\infty} \ge 2|z|_{1} [/mm] $


Und damit auch

[mm] |z|_{1} \ge 2|z|_{1} [/mm] .

Dann kann man ja die ganze Mathematik in die Mülltonne treten !  Für z [mm] \ne [/mm] 0 würde das bedeuten:


      $ 1 [mm] \ge [/mm] 2$.

Ich lach mich tot !


Meine Frau wird sich bedanken ! Wenn ich tot bin, wer  soll dann dann die ganzen Einkäufe für Dienstag erledigen ?

Wir haben Gäste ! Weihnachten darf bei uns nicht ausfallen !

Ich lache mich also nicht tot, denn ich hab was besseres tu tun.

Jetzt trink ich noch ein Viertel  Grauburgunder und gehe ins Bett.

Obwohl......


Wenn $ 1 [mm] \ge [/mm] 2$, dann auch [mm] \bruch{1}{4} \ge \bruch{2}{4} \ge \bruch{4}{4} [/mm] =1 [mm] \ge \bruch{8}{4} [/mm] = 2 [mm] \ge [/mm] 4 ....


Dann sauf ich mich ja tot ! Ne, ich lach mich lieber tot, das ist besser für die Leber.

Gruß FRED




Bezug
                
Bezug
komplexe Betragsfunktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:27 Mo 23.12.2013
Autor: Marcel

Hallo Fred,

> Obwohl......
>  
>
> Wenn [mm]1 \ge 2[/mm], dann ...

gebe ich Dir 1 Euro und Dir mir bitte 2 zurück. Dann hast Du wegen $2 [mm] \le [/mm] 1$
sicher jedenfalls keinen Verlust gemacht.

Jetzt überlege ich gerade, wie ich die Kassiererin im Supermarkt davon
überzeugen kann, dass sie mir das auch glaubt...

> Dann sauf ich mich ja tot ! Ne, ich lach mich lieber tot,
> das ist besser für die Leber.

Du bist noch zu jung. Aber totlachen ist echt besser für die Leber, sofern
sie denn dann noch gebraucht werden kann... ^^

Weihnachtliche Grüße und guten Rutsch! :-)
  Marcel

Bezug
                        
Bezug
komplexe Betragsfunktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:48 Mo 23.12.2013
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>  
> > Obwohl......
>  >  
> >
> > Wenn [mm]1 \ge 2[/mm], dann ...
>  
> gebe ich Dir 1 Euro und Dir mir bitte 2 zurück. Dann hast
> Du wegen [mm]2 \le 1[/mm]
>  sicher jedenfalls keinen Verlust gemacht.
>
> Jetzt überlege ich gerade, wie ich die Kassiererin im
> Supermarkt davon
> überzeugen kann, dass sie mir das auch glaubt...
>  
> > Dann sauf ich mich ja tot ! Ne, ich lach mich lieber tot,
> > das ist besser für die Leber.
>  
> Du bist noch zu jung.




Was ? Mit sechsundfuffzig ?


> Aber totlachen ist echt besser für
> die Leber, sofern
>  sie denn dann noch gebraucht werden kann... ^^

Ich wollte sie irgendwann mal spenden ....

>  
> Weihnachtliche Grüße und guten Rutsch! :-)


Wünsche ich Dir auch !

Gruß FRED

>    Marcel


Bezug
                                
Bezug
komplexe Betragsfunktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:56 Mo 23.12.2013
Autor: Marcel

Hi Fred,

> > Hallo Fred,
>  >  
> > > Obwohl......
>  >  >  
> > >
> > > Wenn [mm]1 \ge 2[/mm], dann ...
>  >  
> > gebe ich Dir 1 Euro und Dir mir bitte 2 zurück. Dann hast
> > Du wegen [mm]2 \le 1[/mm]
>  >  sicher jedenfalls keinen Verlust
> gemacht.
> >
> > Jetzt überlege ich gerade, wie ich die Kassiererin im
> > Supermarkt davon
> > überzeugen kann, dass sie mir das auch glaubt...
>  >  
> > > Dann sauf ich mich ja tot ! Ne, ich lach mich lieber tot,
> > > das ist besser für die Leber.
>  >  
> > Du bist noch zu jung.
>  
>
>
>
> Was ? Mit sechsundfuffzig ?

ja:

    []http://www.youtube.com/watch?v=6P_UEAaJ0cY

> > Aber totlachen ist echt besser für
> > die Leber, sofern
>  >  sie denn dann noch gebraucht werden kann... ^^
>  
> Ich wollte sie irgendwann mal spenden ....

[ok]

> > Weihnachtliche Grüße und guten Rutsch! :-)
>  
>
> Wünsche ich Dir auch !

Danke. Wir hören hier voneinander. :-)

Grüße,
  Marcel

Bezug
                                        
Bezug
komplexe Betragsfunktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:57 Di 24.12.2013
Autor: fred97


> Hi Fred,
>  
> > > Hallo Fred,
>  >  >  
> > > > Obwohl......
>  >  >  >  
> > > >
> > > > Wenn [mm]1 \ge 2[/mm], dann ...
>  >  >  
> > > gebe ich Dir 1 Euro und Dir mir bitte 2 zurück. Dann hast
> > > Du wegen [mm]2 \le 1[/mm]
>  >  >  sicher jedenfalls keinen
> Verlust
> > gemacht.
> > >
> > > Jetzt überlege ich gerade, wie ich die Kassiererin im
> > > Supermarkt davon
> > > überzeugen kann, dass sie mir das auch glaubt...
>  >  >  
> > > > Dann sauf ich mich ja tot ! Ne, ich lach mich lieber tot,
> > > > das ist besser für die Leber.
>  >  >  
> > > Du bist noch zu jung.
>  >  
> >
> >
> >
> > Was ? Mit sechsundfuffzig ?
>
> ja:
>
> []http://www.youtube.com/watch?v=6P_UEAaJ0cY

Ich sagte 56 und nicht 66 !

FRED

>  
> > > Aber totlachen ist echt besser für
> > > die Leber, sofern
>  >  >  sie denn dann noch gebraucht werden kann... ^^
>  >  
> > Ich wollte sie irgendwann mal spenden ....
>  
> [ok]
>  
> > > Weihnachtliche Grüße und guten Rutsch! :-)
>  >  
> >
> > Wünsche ich Dir auch !
>  
> Danke. Wir hören hier voneinander. :-)
>  
> Grüße,
>    Marcel


Bezug
                                                
Bezug
komplexe Betragsfunktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:38 Di 24.12.2013
Autor: Marcel

Hallo Fred,

> > Hi Fred,
>  >  
> > > > Hallo Fred,
>  >  >  >  
> > > > > Obwohl......
>  >  >  >  >  
> > > > >
> > > > > Wenn [mm]1 \ge 2[/mm], dann ...
>  >  >  >  
> > > > gebe ich Dir 1 Euro und Dir mir bitte 2 zurück. Dann hast
> > > > Du wegen [mm]2 \le 1[/mm]
>  >  >  >  sicher jedenfalls keinen
> > Verlust
> > > gemacht.
> > > >
> > > > Jetzt überlege ich gerade, wie ich die Kassiererin im
> > > > Supermarkt davon
> > > > überzeugen kann, dass sie mir das auch glaubt...
>  >  >  >  
> > > > > Dann sauf ich mich ja tot ! Ne, ich lach mich lieber tot,
> > > > > das ist besser für die Leber.
>  >  >  >  
> > > > Du bist noch zu jung.
>  >  >  
> > >
> > >
> > >
> > > Was ? Mit sechsundfuffzig ?
> >
> > ja:
> >
> >
> []http://www.youtube.com/watch?v=6P_UEAaJ0cY
>  
> Ich sagte 56 und nicht 66 !

das habe ich verstanden - es folgt doch nur:

    Du bist noch 10 Jahre zu jung zum tot-lachen (das sollte man erst, NACHDEM
    das Leben überhaupt mal angefangen hat)!

Gruß,
  Marcel

Bezug
        
Bezug
komplexe Betragsfunktionen: andersrum !
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:09 So 22.12.2013
Autor: Al-Chwarizmi


> Die Funktionen [mm]|*|_{1}, |*|_{2}, |*|_{\infty}[/mm] : [mm]\IC \to \IR_{0}^{+}[/mm]
> seien definiert durch [mm]|a+ib|_{1}[/mm] := |a|+|b|, [mm]|a+ib|_{2}[/mm] :=
> [mm]\wurzel{a^{2} + b^{2}}, |a+ib|_{\infty}[/mm] := [mm]max\{|a|,|b|\}[/mm]
> (für alle a,b [mm]\in\IR).[/mm]
>  
> zu zeigen: [mm]|z|_{1} \ge |z|_{2} \ge |z|_{\infty} \ge[/mm] 2 *
> [mm]|z|_{1}[/mm]
>  Hi!
>  Ich habe ein kleines Problem.
>  Und zwar weiß ich schon, dass die ersten beiden [mm]\ge[/mm]
> erfüllt sind (ich habe sie einfach quadriert), aber warum
> ist 2 * [mm]|z|_{1} \le |z|_{\infty}?[/mm]
>  Vielleicht kann mir
> jemand dabei behilflich sein, wäre echt top!
>  
> Schonmal danke und viele Grüße, Petrit!


Guten Tag,

die noch fragliche Ungleichung sollte doch so lauten:

    $\ [mm] |z|_1\ \le\ 2*|z|_{\infty}$ [/mm]

bzw.        $\ [mm] |z|_{\infty}\ \ge\frac{1}{2}*|z|_1 [/mm] $

Zum Beweis würde ich mir mal Katheten und
Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks
etwas näher anschauen.

LG , Al-Chw.  


Bezug
        
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komplexe Betragsfunktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:32 So 22.12.2013
Autor: Petrit

Hi!
Ich habe dem Übungsgruppenleiter mitgeteilt, dass da wohl ein Fehler auf dem Übungsblatt ist. Er hat mir auch prompt geantwortet und nun heißt das:
$ [mm] |z|_{1} \ge |z|_{2} \ge |z|_{\infty} \ge \bruch{1}{2} [/mm] *  [mm] |z|_{1} [/mm] $.
Somit ergibt das ganze natürlich Sinn und ist auch für mich verständlich!

Danke für die Hinweise, fröhliche Weihnachten und einen guten Rutsch euch allen!

Bezug
                
Bezug
komplexe Betragsfunktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:00 So 22.12.2013
Autor: Petrit

Hi!
Ich hätte doch noch mal eine Frage zu dieser Aufgabe! Und zwar ist mir immer noch nicht klar, warum das letzte [mm] \ge [/mm] gilt bei [mm] |z|_{1} \ge |z|_{2} \ge |z|_{\infty} \ge \bruch{1}{2} \cdot{} |z|_{1}. [/mm] Könnte mir da vielleicht jemand weiterhelfen, der Rest ist mir klar. Wäre echt top!


Schonmal danke und gruß, Petrit!

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Bezug
komplexe Betragsfunktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:31 So 22.12.2013
Autor: Fulla

Hallo Petrit!

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei [mm]|a|\ge |b|[/mm]. Dann ist
[mm]|z|_\infty=\max\{|a|,|b|\}=|a|=\frac 12 |a|+\frac 12 |a|\ \red{\stackrel{?}{\ge}}\ \frac 12 |a|+\frac 12 |b|=\frac 12 |z|_1[/mm].

An der Stelle [mm] $\stackrel{?}{\ge}$ [/mm] fehlt noch eine kleine Begründung.


Lieben Gruß,
Fulla

Bezug
                                
Bezug
komplexe Betragsfunktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:11 So 22.12.2013
Autor: Petrit

Vielen Dank, das hat mir wirklich geholfen!

Bezug
                                
Bezug
komplexe Betragsfunktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:49 Mo 23.12.2013
Autor: fred97


> Hallo Petrit!
>  
> Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei [mm]|a|\ge |b|[/mm]. Dann
> ist
>  [mm]|z|_\infty=\max\{|a|,|b|\}=|a|=\frac 12 |a|+\frac 12 |a|\ \red{\stackrel{?}{\ge}}\ \frac 12 |a|+\frac 12 |b|=|z|_1[/mm].

Nach dem letzten "=" soll wohl [mm] \frac{1}{2}|z|_1 [/mm] stehen.

FRED

>  
> An der Stelle [mm]\stackrel{?}{\ge}[/mm] fehlt noch eine kleine
> Begründung.
>  
>
> Lieben Gruß,
>  Fulla


Bezug
                                        
Bezug
komplexe Betragsfunktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:18 Mo 23.12.2013
Autor: Fulla

Danke für die Korrektur, Fred!

Ich habe es oben geändert.

Lieben Gruß,
Fulla

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