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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - komplexe Differenzierbarkeit
komplexe Differenzierbarkeit < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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komplexe Differenzierbarkeit: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:05 Sa 23.12.2017
Autor: khalid

Aufgabe
[Dateianhang nicht öffentlich]

Hallo,
hier ist meine Lösung zum Teilaufgabe a)

[mm] \limes_{z\rightarrow\(0}f(z)= \limes_{z\rightarrow\(0}\bruch{z^5}{|z|^4} [/mm]
ann z= [mm] re^{i\alpha} [/mm] die Polare Darstellung

[mm] \Rightarrow \limes_{z\rightarrow\(0}\bruch{r^5e^(i5\alpha)}{r^4}= \limes_{z\rightarrow\(0} re^{i5\alpha}=\limes_{z\rightarrow\(0}ze^{i\alpha}=o \Rightarrow [/mm] f(z) ist stetig

problematisch ist jetzt bei mir die Teilaufgaben  b) und c )
f in z=0 ist 0 die Funktion  erfüllt offensichtlich die Cauchy-Riehman  Diff.gleichung, da 0 integriert nach y oder x ist 0 .

war diese Überlegung überhaupt richtig ?

und sobald  die Funktion die Cauchy Riehman Bed. erfüllt, wie kann man denn die komplexe Differenzierbarkeit widersprechen ?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

vielen Dank für eure Hilfe







Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
        
Bezug
komplexe Differenzierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:53 Sa 23.12.2017
Autor: fred97


> [Dateianhang nicht öffentlich]
>  Hallo,
>  hier ist meine Lösung zum Teilaufgabe a)
>  
> [mm]\limes_{z\rightarrow\(0}f(z)= \limes_{z\rightarrow\(0}\bruch{z^5}{|z|^4}[/mm]
>  
> ann z= [mm]re^{i\alpha}[/mm] die Polare Darstellung
>
> [mm]\Rightarrow \limes_{z\rightarrow\(0}\bruch{r^5e^(i5\alpha)}{r^4}= \limes_{z\rightarrow\(0} re^{i5\alpha}=\limes_{z\rightarrow\(0}ze^{i\alpha}=o \Rightarrow[/mm]
> f(z) ist stetig
>  
> problematisch ist jetzt bei mir die Teilaufgaben  b) und c
> )
>  f in z=0 ist 0 die Funktion  erfüllt offensichtlich die
> Cauchy-Riehman  Diff.gleichung, da 0 integriert nach y oder
> x ist 0 .
>  
> war diese Überlegung überhaupt richtig ?

Ich glaube kaum, dass obiges  Sinn macht.

Ist u der Realteil und v der Imaginärteil von f, so bestimme die partiellen Ableitungen dieser Funktionen, werte diese in 0 aus und zeige, dass  die CRD in 0 erfüllt  sind

>  
> und sobald  die Funktion die Cauchy Riehman Bed. erfüllt,
> wie kann man denn die komplexe Differenzierbarkeit
> widersprechen ?

f ist ist in 0 genau  dann komplex differenzierbar, wenn f in 0 reell differenzierbar ist und die CRD in 0 erfüllt  sind.

Zeige also, dass f in 0 nicht reell  differenzierbar  ist


>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> vielen Dank für eure Hilfe
>  
>
>
>
>
>  


Bezug
                
Bezug
komplexe Differenzierbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:22 So 24.12.2017
Autor: khalid

hallo,
Vielen Dank für die Antwort
kurz zum Teilaufgabe b)
Gibt es einen effizienteren oder kürzeren Rechenweg als z=x+iy einzusetzen und potenzial alles dann auszurechnen ?
Ich habe die polare Darstellungen zwar probiert, komme ich aber dort bei der partiellen Ableitung nicht weiter.

Frohe Weihnachten

Bezug
                        
Bezug
komplexe Differenzierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:16 So 24.12.2017
Autor: leduart

Hallo
du hast in a nur die Stetigkeit in 0 gezeigt.
2. da die Cauchy-Riemann Bed die Ableitungen nach x und y sind kannst du da nicht mit der polaren Form machen,
Gruß ledum

Bezug
                                
Bezug
komplexe Differenzierbarkeit: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 15:22 Mo 25.12.2017
Autor: khalid

Hallo ,

Danke sehr!

Soweit bin ich im b)


F(z)= [mm] \bruch{z^5}{|z|^4} [/mm]

z=x+iy einsetzen
[mm] F(z)=\bruch{(x+iy)^5}{(\wurzel[2]{x^2+y^2})^4} [/mm]

[mm] (x+iy)^5= x^5+5x^4iy+10x^3i^2y^2+10x^2i^3y^3+5xi^4y^4+i^5y^5 [/mm]
Wir haben [mm] i^2=-1 [/mm]
[mm] \Rightarrow (x+iy)^5=x^5-10x^3y^2+5xy^4+5x^4iy-10x^2iy+iy^5 [/mm]

Sortiert nach Reel-/Imaginärteil
[mm] \Rightarrow f(z)=\bruch{x^5-10x^3y^2+5xy^4}{(x^2+y^2)^2}+i(\bruch{y^5-10x^2y+5x^4y}{(x^2+y^2)^2}) [/mm]

[mm] u(x,y)=\bruch{x^5-10x^3y^2+5xy^4}{(x^2+y^2)^2}=\bruch{x^5-10x^3y^2+5xy^4}{x^4+2x^2y^2+y^4} [/mm]

[mm] \bruch{\partial u(x,y)}{\partial x}=\bruch{5x^4-5y^4-30x^2y^2-4x^3-4xy^2}{(x^2+y^2)^4} [/mm]          &           [mm] \bruch{\partial u(x,y)}{\partia y}=\bruch{-20xy^3-20x^3y-4x^2y-4y^3}{(x^2+y^2)^4} [/mm]

[mm] v(x,y)=(\bruch{y^5-10x^2y+5x^4y}{(x^2+y^2)^2}=\bruch{y^5-10x^2y+5x^4y}{x^4+2x^2y^2+y^4} [/mm]

[mm] \bruch{\partial v(x,y)}{\partial x}=\bruch{20x^3y+xy^3-4x^3-4xy^2}{(x^2+y^2)^4} [/mm]           &       [mm] \bruch{\partial(x,y)}{\partial y}=\bruch{5y^4+5x^4+30x^2y^2-4x^2y-4y^3}{(x^2+y^2)^4} [/mm]
für ein z=0 ist  [mm] x_{0}=0 [/mm]  &  [mm] y_{0}=0 [/mm]
[mm] \Rightarrow u_{x}(x_{0},y_{0})=0=v_{y}(x_{0},y_{0}) [/mm] & [mm] u_{y}(x_{0},y_{0})=0=-v_{x}(x_{0},y_{0}) [/mm] und die CRD ist erfüllt


Ist die obige Lösung  richtig?
ist mir immer noch nicht klar ,wie man  beweist, dass die Funktion reell nicht Differenzierbar ist ?
Beste Grüße


Bezug
                                        
Bezug
komplexe Differenzierbarkeit: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:20 Mi 27.12.2017
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                                
Bezug
komplexe Differenzierbarkeit: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 15:49 Mo 25.12.2017
Autor: khalid

Hallo leduart ,
Danke für deine Antwort
Ich habe nämlich die folgende Formel für CRD in einem buch gefunden :

[mm] \bruch{\partial u(z_{0})}{\partial r}= \bruch {\partial v(z_{0})}{\partial \alpha } [/mm] & [mm] \bruch{\partial u(z_{0})}{\partial \alpha}= -\bruch {\partial v(z_{0})}{\partial r } [/mm]

Beste Grüße


Bezug
                                        
Bezug
komplexe Differenzierbarkeit: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:20 Mi 27.12.2017
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                        
Bezug
komplexe Differenzierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:13 Mo 25.12.2017
Autor: donquijote


> hallo,
>  Vielen Dank für die Antwort
>  kurz zum Teilaufgabe b)
> Gibt es einen effizienteren oder kürzeren Rechenweg als
> z=x+iy einzusetzen und potenzial alles dann auszurechnen ?

Hallo,
die partiellen Ableitungen brauchst du ja nur an der Stelle z=0. Damit:
Für reelle x,y ist f(x)=x=u(x,0)+iv(x,0) und f(iy)=iy=u(0,y)+iv(0,y). Es folgt, dass alle partiellen Ableitungen existieren mit
[mm]\frac{\partial u}{\partial x}(0,0)=\frac{\partial v}{\partial y}(0,0)=1[/mm] und [mm]\frac{\partial v}{\partial x}(0,0)=-\frac{\partial u}{\partial y}(0,0)=0[/mm], d.h. die Cauchy-Riemann-Gleichungen sind erfüllt.
Zur komplexen Diff'barkeit betrachte [mm]\frac{f(z)}{z}=e^{4\phi i}[/mm] für [mm]z=r*e^{\phi i}[/mm]. An dieser Darstellung erkennt man, dass der Grenzwert für z gegen 0 nicht existiert.

> Ich habe die polare Darstellungen zwar probiert, komme ich
> aber dort bei der partiellen Ableitung nicht weiter.
>  
> Frohe Weihnachten  


Bezug
        
Bezug
komplexe Differenzierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:50 So 24.12.2017
Autor: HJKweseleit


> [Dateianhang nicht öffentlich]
>  Hallo,
>  hier ist meine Lösung zum Teilaufgabe a)
>  
> [mm]\limes_{z\rightarrow\(0}f(z)= \limes_{z\rightarrow\(0}\bruch{z^5}{|z|^4}[/mm]
>  
> ann z= [mm]re^{i\alpha}[/mm] die Polare Darstellung
>
> [mm]\Rightarrow \limes_{z\rightarrow\(0}\bruch{r^5e^(i5\alpha)}{r^4}= \limes_{z\rightarrow\(0} re^{i5\alpha}=\limes_{z\rightarrow\(0}ze^{i\alpha}=o \Rightarrow[/mm]
> f(z) ist stetig




Nicht [mm]\Rightarrow \limes_{z\rightarrow\(0}\bruch{r^5e^(i5\alpha)}{r^4}= \limes_{z\rightarrow\(0} re^{i5\alpha}=\limes_{z\rightarrow\(0}ze^{i\alpha}=o \Rightarrow[/mm] ,

sondern

[mm]\limes_{z\rightarrow\(0}f(z)= \limes_{z\rightarrow\(0}\bruch{z^5}{|z|^4}[/mm]=[mm]\Rightarrow \limes_{\red{r}\rightarrow\(0}\bruch{r^5e^(i5\alpha)}{r^4}= \limes_{\red{r}\rightarrow\(0} re^{i5\alpha}=\limes_{\red{r}\rightarrow\(0}\red{r}e^{i\alpha}=0 [/mm]

Bezug
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