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Forum "komplexe Zahlen" - komplexe Nullstellen
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komplexe Nullstellen: Aufgabe 1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:10 Mi 12.08.2015
Autor: Steffen2361

Aufgabe
Löse durch geignte Substitution für [mm] G=\IC [/mm]
[mm] x^6-7x^3-8=0 [/mm]

Also ich bin so vorgegangen:

[mm] u=x^3 [/mm]
[mm] u^2=x^6 [/mm]

daraus folgt,
[mm] u^2-7u-8=0 [/mm]
[mm] u_1 [/mm] = 8
[mm] u_2 [/mm] =-1

rücksubstituieren

[mm] u_1 [/mm] = [mm] x^3 [/mm]
8 = [mm] x^3 [/mm]
2= x (relle Lösung)


[mm] u_2 [/mm] = [mm] x^3 [/mm]
-1 = [mm] x^3 [/mm]

Nun habe ich -1 als komplexe Zahl dargestellt
$z=-1+0i $
was ich auch in Polarkoordinaten schreiben kann als $z =1*(cos(180)+i*sin(180))$

Nun wende ich die Wurzelformel an:
[]Wurzelformel

erster Schritt:
$1*(cos(60)+i*sin(60)) = 0,5 +i* [mm] \wurzel{3} [/mm] /2$ Nullstelle passt

zweiter Schritt:
$1*(cos(180)+i*sin(180)) = -1$ Nullstelle passt

dritter Schrittt:
$1*(cos(300)+i*sin(300)) = 0,5 -i* [mm] \wurzel{3} [/mm] /2$ Nullstelle passt


Ich habe also durch diese Verfahren 4 Nullstellen gefunden;  -1, 2,$0,5 +i* [mm] \wurzel{3} [/mm] /2$ , $0,5 -i* [mm] \wurzel{3}/2$ [/mm]

Doch wie komme ich auf die letzten Zwei (komplexen Nullstellen)??

PS: Mir ist schon klar das man dieses Bsp. auch anders rechnen kann (hab die Lösungen auch auf google gefunden). Würde es aber gerne mit dieser Wurzelformel lösen :)

Danke euch



        
Bezug
komplexe Nullstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:18 Mi 12.08.2015
Autor: abakus

Hallo,
ich verstehe deine Frage überhaupt nicht. Du hast auch die beiden nicht reellen Lösungen gefunden, du gibst den Link zur Formel an, mit der du sie gefunden hast - und dann fragst du "Wie habe ich die gefunden?"
Seltsam...

> Löse durch geignte Substitution für [mm]G=\IC[/mm]
> [mm]x^6-7x^3-8=0[/mm]
> Also ich bin so vorgegangen:

>

> [mm]u=x^3[/mm]
> [mm]u^2=x^6[/mm]

>

> daraus folgt,
> [mm]u^2-7u-8=0[/mm]
> [mm]u_1[/mm] = 8
> [mm]u_2[/mm] =-1

>

> rücksubstituieren

>

> [mm]u_1[/mm] = [mm]x^3[/mm]
> 8 = [mm]x^3[/mm]
> 2= x (relle Lösung)

>
>

> [mm]u_2[/mm] = [mm]x^3[/mm]
> -1 = [mm]x^3[/mm]

>

> Nun habe ich -1 als komplexe Zahl dargestellt
> [mm]z=-1+0i[/mm]
> was ich auch in Polarkoordinaten schreiben kann als [mm]z =1*(cos(180)+i*sin(180))[/mm]

>

> Nun wende ich die Wurzelformel an:

>

> []Wurzelformel

>

> erster Schritt:
> [mm]1*(cos(60)+i*sin(60)) = 0,5 +i* \wurzel{3} /2[/mm] Nullstelle
> passt

>

> zweiter Schritt:
> [mm]1*(cos(180)+i*sin(180)) = -1[/mm] Nullstelle passt

>

> dritter Schrittt:
> [mm]1*(cos(300)+i*sin(300)) = 0,5 -i* \wurzel{3} /2[/mm] Nullstelle
> passt

>
>

> Ich habe also durch diese Verfahren 4 Nullstellen gefunden;
> -1, 2,[mm]0,5 +i* \wurzel{3} /2[/mm] , [mm]0,5 -i* \wurzel{3}/2[/mm]

>

> Doch wie komme ich auf die letzten Zwei (komplexen
> Nullstellen)??

>

> PS: Mir ist schon klar das man dieses Bsp. auch anders
> rechnen kann (hab die Lösungen auch auf google gefunden).
> Würde es aber gerne mit dieser Wurzelformel lösen :)

>

> Danke euch

>
>

Bezug
                
Bezug
komplexe Nullstellen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:39 Mi 12.08.2015
Autor: Steffen2361

Ja richtig, ich habe bereits vier gefunden.... da die Gleichung aber 6sten Grades ist, muss es ja noch zwei geben.

Doch wie komme ich auf diese zwei letzten?

Bezug
                        
Bezug
komplexe Nullstellen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:54 Mi 12.08.2015
Autor: abakus

Ach so,
auch die Gleichung [mm] $x^3=8$ [/mm] hat drei Lösungen.
Der Betrag der Lösungen ist jeweils 2, die Argumente sind 0° (führt auf die relle Lösung x=2) bzw. 120° und 240°.
Die beiden anderen Lösungen sind somit
2(cos 120°+i*sin 120°)
und
2(cos 240°+i*sin 240°).

Gruß Abakus

Bezug
                                
Bezug
komplexe Nullstellen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:12 Do 13.08.2015
Autor: Steffen2361


> Ach so,
>  auch die Gleichung [mm]x^3=8[/mm] hat drei Lösungen.
>  Der Betrag der Lösungen ist jeweils 2, die Argumente sind
> 0° (führt auf die relle Lösung x=2) bzw. 120° und
> 240°.
>  Die beiden anderen Lösungen sind somit
>  2(cos 120°+i*sin 120°)
>  und
>  2(cos 240°+i*sin 240°).
>  

Genau das hatte ich auch, laut wolfram alpha sind die fehlenden Lösungen aber:

$1- [mm] \wurzel{3} [/mm] i $und $1+ [mm] \wurzel{3} [/mm] i$

Das stimmt ja nicht überein, oder übersehe iich da was?

Danke für deine Hilfe

> Gruß Abakus


Bezug
                                        
Bezug
komplexe Nullstellen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:18 Do 13.08.2015
Autor: Steffen2361


> > Ach so,
>  >  auch die Gleichung [mm]x^3=8[/mm] hat drei Lösungen.
>  >  Der Betrag der Lösungen ist jeweils 2, die Argumente
> sind
> > 0° (führt auf die relle Lösung x=2) bzw. 120° und
> > 240°.
>  >  Die beiden anderen Lösungen sind somit
>  >  2(cos 120°+i*sin 120°)
>  >  und
>  >  2(cos 240°+i*sin 240°).
>  >  
>
> Genau das hatte ich auch, laut wolfram alpha sind die
> fehlenden Lösungen aber:
>  
> [mm]1- \wurzel{3} i [/mm]und [mm]1+ \wurzel{3} i[/mm]
>  
> Das stimmt ja nicht überein, oder übersehe iich da was?
>  
> Danke für deine Hilfe
>  

Hat sich erledigt, danke :)

> > Gruß Abakus
>  


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