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komplexe Zahlenebene skizziere: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:25 So 15.12.2013
Autor: Baumwald

Aufgabe
Skizzieren Sie die folgende Menge in der komplexen Ebene:

[mm] M:=\left\{z\in\IC :\left( \bruch{|z-i|}{|z+i|}=2 \right)\right\} [/mm]


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Wie in der Aufgabenstellung beschrieben soll ich diese Menge in die komplexe Zahlenebene skizzieren. Mir ist nur nicht ganz klar wie ich das machen soll. Mein Ansatz wäre jetzt als erstes den Nenner auf die rechte seite zu bringen und dann z mit a+ib zu ersetzen dann hätte ich |a+ib-i| = 2*|a+ib+i|aber wie mir das weiterhelfen soll weis ich jetzt auch nicht so recht ... wäre nett wenn ihr mir da eine gute Hilfestellung geben könnt.

        
Bezug
komplexe Zahlenebene skizziere: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:30 So 15.12.2013
Autor: Richie1401

Hallo und willkommen hier im Matheraum,

> Skizzieren Sie die folgende Menge in der komplexen Ebene:
>  
> M := [mm]{z\in\IC :\left( \bruch{|z-i|}{|z+i|}=2 \right)}[/mm]
>  Ich
> habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten
> gestellt.
>  
> Wie in der Aufgabenstellung beschrieben soll ich diese
> Menge in die komplexe Zahlenebene skizzieren. Mir ist nur
> nicht ganz klar wie ich das machen soll. Mein Ansatz wäre
> jetzt als erstes den Nenner auf die rechte seite zu bringen
> und dann z mit a+ib zu ersetzen dann hätte ich |a+ib-i| =
> 2*|a+ib+i|aber wie mir das weiterhelfen soll weis ich jetzt
> auch nicht so recht ... wäre nett wenn ihr mir da eine
> gute Hilfestellung geben könnt.

|a+ib-i|=2*|a+ib+i|

Was spricht dagegen, wenn man die Beträge einfach mal berechnet?
Berechne also:
$|a+(b-1)i|$ und $|a+(b+1)i|$

Bezug
                
Bezug
komplexe Zahlenebene skizziere: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:41 So 15.12.2013
Autor: Baumwald

ist das dann a+(b-1) und a+(b+1) ? weil man nimmt ja einfach den realteil rechnet den betrag und dann den imaginärteil rechnet den betrag und lässt das i weg oder ?  

Bezug
                        
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komplexe Zahlenebene skizziere: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:51 So 15.12.2013
Autor: Diophant

Hallo und

[willkommenvh]

> ist das dann a+(b-1) und a+(b+1) ? weil man nimmt ja
> einfach den realteil rechnet den betrag und dann den
> imaginärteil rechnet den betrag und lässt das i weg oder
> ?

Unter dem Betrag einer komplexen Zahl z=x+yi mit [mm] x,y\in\IR [/mm] versteht man definitionsgemäß die reelle Zahl |z| mit

[mm] |z|=\wurzel{x^2+y^2} [/mm]

Wenn man eine komplexe Zahl als Pfeil in die Gauß'sche Ebene einzeichnet, ist der Betrag somit nichts anderes als die Länge dieses Pfeiles.

Bitte schaue dahingehend deine Unterlagen durch, das ist ziemlich elementar!

Gruß, Diophant

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Bezug
komplexe Zahlenebene skizziere: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:01 So 15.12.2013
Autor: Baumwald

Ja das ist mir schon bewusst. Habe ich das in dem Fall dann falsch verstanden? denn z wäre doch in dem fall zum einen a+i*b-1 und zum anderen a+i*b+1 dann wären doch die beträge davon [mm] \wurzel{a^2+(b-1)^2} [/mm] und [mm] \wurzel{a^2+(b+1)^2} [/mm] also
a+(b-1) und a+(b+1) aber was habe ich davon ? wie sehe ich jetzt was ich zeichnen soll ?

Bezug
                                        
Bezug
komplexe Zahlenebene skizziere: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:18 So 15.12.2013
Autor: Diophant

Hallo,

> Ja das ist mir schon bewusst.

Wenn es dir bewusst war hättest du es dementsprechend ausformulieren sollen. Das kann man deiner vorigen Frage nämlich nicht entnehmen!

> Habe ich das in dem Fall dann
> falsch verstanden? denn z wäre doch in dem fall zum einen
> a+i*b-1 und zum anderen a+i*b+1

Nein, das ist jetzt ein arges Durcheinander. z hast du selbst angesetzt als z=a+bi, und dabei sollte es bleiben!

> dann wären doch die

> beträge davon [mm]\wurzel{a^2+(b-1)^2}[/mm] und
> [mm]\wurzel{a^2+(b+1)^2}[/mm] also
> a+(b-1) und a+(b+1) aber was habe ich davon ? wie sehe ich
> jetzt was ich zeichnen soll ?

Die vorgelegte Gleichung führt durch Quadrieren auf die Gleichung

[mm] a^2+(b-1)^2=4*(a^2+(b+1)^2) [/mm]

Mit der musst du ein wenig herumspielen, um die Lösung in Form eines Kegelschnitts zu sehen. Das Stichwort dabei lautet Quadratische Ergänzung.

Gruß, Diophant

Bezug
                                                
Bezug
komplexe Zahlenebene skizziere: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:20 So 15.12.2013
Autor: Baumwald

Okay habe das jetzt mal versucht.
erst alles auf eine seite gebracht:
-3a²-3b²-10b-3=0 dann durch 3 geteilt
-a²-b²-10/3b-1=0 dann habe ich den teil mit b quadratisch ergänzt
-a² [mm] +(-b-\left(\bruch {10}{3}/2\right))-1 [/mm]

und das wäre ja ein kreis mit dem mittelpunkt (0,-1.66) und dem radius 1 stimmt das soweit ?

Bezug
                                                        
Bezug
komplexe Zahlenebene skizziere: Korrekturen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:28 So 15.12.2013
Autor: Loddar

Hallo Baumwald!


> erst alles auf eine seite gebracht:
> -3a²-3b²-10b-3=0 dann durch 3 geteilt

Besser gleich durch [mm] $\red{-}3$ [/mm] zu teilen.


> -a²-b²-10/3b-1=0 dann habe ich den teil mit b
> quadratisch ergänzt

Von der Idee her gut. [ok]


> -a² [mm]+(-b-\left(\bruch {10}{3}/2\right))-1[/mm]

Wo ist der zweite Teil der Gleichung?
Und ein Quadrat um die Klammer hinten fehlt auch.


> und das wäre ja ein kreis mit dem mittelpunkt (0,-1.66)
> und dem radius 1 stimmt das soweit ?

Der Mittelpunkt ist korrekt. Schreibe aber besser mit Bruch: $M \ [mm] \left( \ 0 \ \left| \ -\bruch{5}{3} \ \right \right)$ [/mm] .

Der Radius stimmt nicht.


Gruß
Loddar

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komplexe Zahlenebene skizziere: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:11 So 15.12.2013
Autor: Baumwald

okay alles klar habe natürlich auf der rechten seite nicht erweitert so kann das ja schon nix werden :) also mit der erweiterung bekomme ich 1,33 als radius das sollte stimmen

Bezug
                                                                        
Bezug
komplexe Zahlenebene skizziere: genaues Ergebnis
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:33 So 15.12.2013
Autor: Loddar

Hallo Baumwald!


> also mit der erweiterung bekomme ich 1,33 als radius

Das stimmt bedingt, weil gerundet. Schreibe exakt: $r \ = \ [mm] \bruch{4}{3}$ [/mm] .


Gruß
Loddar

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