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Forum "komplexe Zahlen" - komplexe zahlen zeichnen
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komplexe zahlen zeichnen: tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:09 Sa 02.11.2013
Autor: arbeitsamt

Aufgabe
Skizzieren Sie folgende Mengen in der Gauß’schen Zahlenebene:

[mm] M_1=\left\{z \in \IC \left| \right \left|\bruch{1}{2}*z+1+2i\right| \ge\bruch{1}{2}\right\} [/mm]


ich habe mir überlegt nach x oder y umzustellen für z=x+iy

und dann kann man ja einfach skizzieren

also:

[mm] \wurzel{(\bruch{1}{2}*x+1)^2 +(y+2)^2}\ge\bruch{1}{2} [/mm]

ich habe die ungleichung quadriert:

[mm] (\bruch{1}{2}*x+1)^2+(y+2)^2\ge (\bruch{1}{2})^2 [/mm]

= [mm] \bruch{1}{4}x^2+x+y^2+4y+5 \ge \bruch{1}{4} [/mm]

mal 4

[mm] x^2+4x+4y^2+16y+20 \ge [/mm] 1

ich habe dann versucht nach y umzustellen

[mm] 4y^2+16y \ge -x^2-4x-19 [/mm]

wie muss ich hier jetzt weiter machen?

        
Bezug
komplexe zahlen zeichnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:16 Sa 02.11.2013
Autor: Valerie20


> Skizzieren Sie folgende Mengen in der Gauß’schen
> Zahlenebene:

>

> M1 = [mm]\{z \in \IC | |\bruch{1}{2}*z+1+2i| \ge\bruch{1}{2} }[/mm]

>

> ich habe mir überlegt nach x oder y umzustellen für
> z=x+iy

>

> und dann kann man ja einfach skizzieren

>

> also:

>

> [mm]\wurzel{(\bruch{1}{2}*x+1)^2 +(y+2)^2}\ge\bruch{1}{2}[/mm]   

[notok], denn [mm] $z=\frac{1}{2}(x+iy)=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}iy [/mm]

Ansonsten aber [ok]


>

> ich habe die ungleichung quadriert:

[ok]

Tipp:

Kreisgleichung


Valerie

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Bezug
komplexe zahlen zeichnen: "schiefer" Kreis
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:32 Sa 02.11.2013
Autor: Loddar

Hallo Valerie!


> Tipp: Kreisgleichung

Hm, ich glaube das wird eher ein "schiefer" Kreis. ;-)
Sprich: eine Ellipse.


Gruß
Loddar

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Bezug
komplexe zahlen zeichnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:48 Sa 02.11.2013
Autor: Al-Chwarizmi


> > Tipp: Kreisgleichung
>  
> Hm, ich glaube das wird eher ein "schiefer" Kreis. ;-)
>  Sprich: eine Ellipse.     [haee]

Moment ... da war ja eben noch der Rechenfehler,
bei dem erst verschiedene Faktoren für [mm] x^2 [/mm] und [mm] y^2 [/mm]
entstanden sind ...   !

Gruß ,   Al



Bezug
                
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komplexe zahlen zeichnen: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:08 Sa 02.11.2013
Autor: arbeitsamt

ich habe eben ein Video zur Kreisgleichung gesehen. bin mir nicht sicher ob ich es richtig gemacht habe:

[mm] |\bruch{1}{2}z+1+2i|\ge\bruch{1}{2} [/mm]

=

[mm] |z|=\wurzel{(\bruch{1}{2}x+1)^2+(\bruch{1}{2}y+2)^2}\ge\bruch{1}{2} [/mm]

ungleichung quadriert:


[mm] (\bruch{1}{2}x+1)^2+(\bruch{1}{2}y+2)^2\ge\bruch{1}{4} [/mm]


= [mm] \bruch{1}{4}x^2+x+1+\bruch{1}{4}y^2+2y+4\ge\bruch{1}{4} [/mm]

mit 4 multipliziert


= [mm] x^2+4x+y^2+8y+20\ge [/mm] 1

[mm] =x^2+4x+y^2+8y\ge [/mm] -19

jetzt die quadratische ergänzung:

[mm] (x^2+4x+4)-4+(y^2+8y+16)-16\ge [/mm] -19

[mm] =(x+2)+(y+4)\ge [/mm] 1

der mittelpunkte wäre dann M(-2, -4)

richtig?

Bezug
                        
Bezug
komplexe zahlen zeichnen: fast richtig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:12 Sa 02.11.2013
Autor: Loddar

Hallo!


> [mm]=(x+2)+(y+4)\ge[/mm] 1

Das gleichheitszeichen zu Beginn der zeile ist Unsinn.
Und an den Klammern fehlen die Quadrate.


> der mittelpunkte wäre dann M(-2, -4)

So stimmt es dann.

Und was beschreibt nun diese Menge in der Gauß'schen Zahlenebene? Was ist die Lösungsmenge?


Gruß
Loddar

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Bezug
komplexe zahlen zeichnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:33 Sa 02.11.2013
Autor: arbeitsamt


> Und was beschreibt nun diese Menge in der Gauß'schen
> Zahlenebene? Was ist die Lösungsmenge?
>  

ich leg nen zirkel auf den mittenpunkt M(-2.-4) und zeichne dann einen kreis mit dem radius 1.

die lösungsmenge ist dann alles, was sich im kreis befindet

wollte mich noch bei allen bedanken

EDIT: die lösungsmenge ist alles, was sich außerhalb des kreises befindet


Bezug
                                        
Bezug
komplexe zahlen zeichnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:45 Sa 02.11.2013
Autor: Al-Chwarizmi


> > Und was beschreibt nun diese Menge in der Gauß'schen
> > Zahlenebene? Was ist die Lösungsmenge?
>
> ich leg nen zirkel auf den mittenpunkt M(-2.-4) und zeichne
> dann einen kreis mit dem radius 1.
>
> die lösungsmenge ist dann alles, was sich im kreis
> befindet    [notok]

Das hätten wir als Lösungsmenge, falls in der
Ungleichung ein  "<" Zeichen stünde. Da steht
aber ein  [mm] "\ge" [/mm]  , also das exakte Gegenteil.
Die Lösungsmenge besteht also aus allen Punkten
die auf der Kreislinie oder außerhalb des Kreises
liegen.

LG ,   Al-Chw.




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Bezug
komplexe zahlen zeichnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:23 Sa 02.11.2013
Autor: Valerie20


> ich habe eben ein Video zur Kreisgleichung gesehen. bin mir
> nicht sicher ob ich es richtig gemacht habe:

>

> [mm]|\bruch{1}{2}z+1+2i|\ge\bruch{1}{2}[/mm]

>

> =

>

> [mm]|z|=\wurzel{(\bruch{1}{2}x+1)^2+(\bruch{1}{2}y+2)^2}\ge\bruch{1}{2}[/mm]

>

> ungleichung quadriert:

>
>

> [mm](\bruch{1}{2}x+1)^2+(\bruch{1}{2}y+2)^2\ge\bruch{1}{4}[/mm]

[ok]

Die allgemeine Kreisgleichung lautet:

[mm] $R^2=(x-x_M)^2+(y-y_M)^2$ [/mm]

Wobei der Radius des Kreises gleich "R" ist und der Mittelpunkt [mm] $(x_M|y_M)$ [/mm]

Aus deiner Darstellung kannst du also bereits die Lösung ablesen, wenn du auf der linken Seite einfach den Koeffizienten [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] vor x und y ausklammerst und die Ungleichung dadurch teilst.

Allerdings solltest du es so schreiben:

[mm](\bruch{1}{2}x+1)^2+(\bruch{1}{2}y+2)^2\ge(\bruch{1}{2})^2[/mm]


Also:

1. [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] auf linker Seite ausklammern
2. Du diesen Wert teilen
3. Kreisgleichung bedenken



Um auf Al's Lösungsvorschlag einzugehen:

Dieser vorgeschlagene Weg ist bei deiner Aufgabe wesentlich eleganter!

Du musst nur die den Grundgedanken der Betragsfunktion aufgreifen:

$|x-a|$ bezeichnet den Abstand einer Zahl x zur Zahl a.


Auf deine Aufgabe angewendet (Ich habe die Ungleichung vorher mit 2 multipliziert) folgt:

$|z+2+4i|=|z-(-2-4i)|>=1$

Also: Der Abstand einer komplexen Zahl zur Zahl $(-2-4i)$ soll größer oder gleich 1 sein.

Valerie

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komplexe zahlen zeichnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:45 Sa 02.11.2013
Autor: Al-Chwarizmi


> Skizzieren Sie folgende Mengen in der Gauß’schen
> Zahlenebene:
>  
> [mm]M_1=\left\{z \in \IC \left| \right \left|\bruch{1}{2}*z+1+2i\right| \ge\bruch{1}{2}\right\}[/mm]
>  
> ich habe mir überlegt nach x oder y umzustellen für
> z=x+iy
>
> und dann kann man ja einfach skizzieren
>  
> also:
>  
> [mm]\wurzel{(\bruch{1}{2}*x+1)^2 +(y+2)^2}\ge\bruch{1}{2}[/mm]
>  
> ich habe die ungleichung quadriert:
>  
> [mm](\bruch{1}{2}*x+1)^2+(y+2)^2\ge (\bruch{1}{2})^2[/mm]
>  
> = [mm]\bruch{1}{4}x^2+x+y^2+4y+5 \ge \bruch{1}{4}[/mm]
>  
> mal 4
>  
> [mm]x^2+4x+4y^2+16y+20 \ge[/mm] 1
>  
> ich habe dann versucht nach y umzustellen
>  
> [mm]4y^2+16y \ge -x^2-4x-19[/mm]
>  
> wie muss ich hier jetzt weiter machen?


Hallo,

es ist gar nicht hilfreich, die Ungleichung mittels
x und y statt mit z darzustellen.

Multipliziere die Ungleichung zuallererst mit 2 und
schreibe sie in der Form

      $\ [mm] |z-m|\,\ge\, [/mm] r$

mit  [mm] m\in\IC [/mm]  und  r>0 . Die dadurch beschriebene
Menge kann man sofort und ganz leicht geometrisch
interpretieren !

LG ,   Al-Chw.

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Bezug
komplexe zahlen zeichnen: Einfacher
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:12 Sa 02.11.2013
Autor: HJKweseleit

Einfacher wird es mit folgender Vorbetrachtung:

Wie sieht die Menge aller z aus, für die gilt: [mm] |z-z_0|=r? [/mm]

So etwas kommt ganz oft vor!

[mm] z-z_0 [/mm] lässt sich als Vektor in der Gaußschen Zahlenebene zeichnen, der von [mm] z_0 [/mm] auf z zeigt. [mm] |z-z_0| [/mm] gibt die Länge dieses Vektors an, und gesucht sind alle z, bei denen diese Vektorelängen den gleichen Wert r haben. Also sind das alle z, die auf einem Kreis um [mm] z_0 [/mm] mit dem Abstand r liegen.

Du musst also die Ungleichung nur noch auf obige Form bringen:

- Multipliziere beide Seiten mit 2
- Identifiziere [mm] z_0 [/mm] und sorge zuvor dafür, dass davor ein - steht
- Identifiziere r und überlege = --> [mm] \ge [/mm]




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