matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenmathematische Statistikkonsistenter Schätzer für E, V
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "mathematische Statistik" - konsistenter Schätzer für E, V
konsistenter Schätzer für E, V < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "mathematische Statistik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

konsistenter Schätzer für E, V: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:52 Do 21.06.2012
Autor: Flo00

Aufgabe
Beweise, dass [mm] $\bar{X}:= \frac{1}{n}(X_1+\ldots+X_n)$ [/mm] und [mm] $s^2(n):=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2$ [/mm] konsistente Schätzfolgen für Mittelwert und Varianz sind. (Dabei seien die [mm] $X_i$ [/mm] unabhängig und identisch [mm] $P_{\theta}$-verteilt, [/mm] so dass [mm] $E_{\theta}X_i [/mm] = [mm] \mu$ [/mm] und [mm] $Var_{\theta}(X_i)=\sigma$ [/mm] existieren. Für den zweiten Teil muss man auch [mm] $E_{\theta}[(X_i [/mm] - [mm] \mu)^4]\leq M<\infty$ [/mm] voraussetzen.)


Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/forum/Konsistente-Schaetzfolgen-fuer-Mittelwert-und-Var

Wir hatten den Satz, dass für eine Folge [mm] $(\hat{g}^{(n)})$ [/mm] erwartungstreuer Schätzer gilt:
[mm] $\forall \theta \in \Theta [/mm] : [mm] \lim_{n \to \infty} Var_\theta[\hat{g}^{(n)}(x^{(n)})] [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow (\hat{g}^{(n)})$ [/mm] ist konsistent

(Das es erwartungstreue Schätzer sind, haben wir schon gezeigt.)
Also hab ich es mit der Varianz versucht:
[mm] $Var[\bar{X}(n)] [/mm] = [mm] E[\bar{X}^2(n)] [/mm] - [mm] (E[\bar{X}^2(n)])^2 [/mm] = [mm] \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E[x_i^2] [/mm] - [mm] \mu^2 [/mm] = [mm] \frac{1}{n}nE[x_1^2] [/mm] - [mm] \mu^2 [/mm] = [mm] \sigma^2$ [/mm]

(Das zweite = gilt, weil [mm] $\bar{X}^2(n)$ [/mm] erwartungstreu ist.)
Das geht aber nicht gegen 0, weil es konstant ist.

Habe ich einen Fehler gemacht oder ist das Beispiel anders zu lösen?
Wenn Zweiteres, wie? (Brauche nur einen Ansatz)

        
Bezug
konsistenter Schätzer für E, V: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:10 Fr 22.06.2012
Autor: Marc

Hallo,

vorab: Ich habe nur oberflächliches Wissen zu diesem Thema, daher bitte mit Vorsicht genießen.

> Beweise, dass [mm]\bar{X}:= \frac{1}{n}(X_1+\ldots+X_n)[/mm] und
> [mm]s^2(n):=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2[/mm]
> konsistente Schätzfolgen für Mittelwert und Varianz sind.
> (Dabei seien die [mm]X_i[/mm] unabhängig und identisch
> [mm]P_{\theta}[/mm]-verteilt, so dass [mm]E_{\theta}X_i = \mu[/mm] und
> [mm]Var_{\theta}(X_i)=\sigma[/mm] existieren. Für den zweiten Teil
> muss man auch [mm]E_{\theta}[(X_i - \mu)^4]\leq M<\infty[/mm]
> voraussetzen.)
>  
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>  
> http://www.onlinemathe.de/forum/Konsistente-Schaetzfolgen-fuer-Mittelwert-und-Var
>  
> Wir hatten den Satz, dass für eine Folge [mm](\hat{g}^{(n)})[/mm]
> erwartungstreuer Schätzer gilt:
>  [mm]\forall \theta \in \Theta : \lim_{n \to \infty} Var_\theta[\hat{g}^{(n)}(x^{(n)})] = 0 \Rightarrow (\hat{g}^{(n)})[/mm]
> ist konsistent
>  
> (Das es erwartungstreue Schätzer sind, haben wir schon
> gezeigt.)
>  Also hab ich es mit der Varianz versucht:
>  [mm]Var[\bar{X}(n)] = E[\bar{X}^2(n)] - (E[\bar{X}^2(n)])^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E[x_i^2] - \mu^2 = \frac{1}{n}nE[x_1^2] - \mu^2 = \sigma^2[/mm]
>  
> (Das zweite = gilt, weil [mm]\bar{X}^2(n)[/mm] erwartungstreu ist.)

Bist du dir sicher, dass [mm] "$\bar{X}$ [/mm] erwartungstreu [mm] $\Rightarrow$ $\bar{X}^2$ [/mm] erwartungstreu" gilt?

Meiner Meinung nach kann man doch so rechnen:

[mm] $Var[\bar{X}(n)]=Var[\frac{1}{n}(X_1+\ldots+X_n)]=\frac1{n^2} Var[X_1+\ldots+X_n]=\frac1{n^2}\left( Var[X_1]+\ldots+Var[X_n] \right)=\frac1{n^2}\cdot n\sigma=\ldots$ [/mm]

Das dritte Gleichheitszeichen gilt, da [mm] $X_1,\ldots,X_n$ [/mm] unabhängig und damit unkorreliert sind.

Viele Grüße
Marc

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "mathematische Statistik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]