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konvergenz bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:05 Mi 16.04.2014
Autor: Cheris

Aufgabe
gegeben ist die Folge [mm] zn=(4n^2)/(n^2+i4n) [/mm] für  [mm]n\in\IN [/mm]. Bestimmen Sie für x=1  min. 2 verschiedene no, [mm] sodass \left| zn-2 \right|

Ich habe die Ungleichung bis auf n>(2/x)-2i aufgelöst.
Wie soll ich nun eine natürliche Zahl finden , die größer als 2-2i für x=1 ist, denn die komplexen Zahlen sind größer als die Natürlichen Zahlen und in den komplexen Zahlen gibt es keine Ordnungsrelation.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
konvergenz bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:24 Mi 16.04.2014
Autor: reverend

Hallo Cheris, erstmal und ein bisschen spät: [willkommenmr]

Benutze doch bitte unsere LaTeX-basierte Eingabe, dann ist es besser lesbar.

> gegeben ist die Folge [mm]zn=(4n^2)/(n^2+i4n)[/mm] für  [mm]n\in\IN [/mm].

[mm] z_n=\br{4n^2}{n^2+i4n}; n\in\IN, z_n\in\IC [/mm] ??

> Bestimmen Sie für x=1  min. 2 verschiedene no,
> [mm]sodass \left| zn-2 \right|

[mm] ...n_0, [/mm] so dass [mm] |z_n-2|

>  Ich habe die Ungleichung bis auf n>(2/x)-2i aufgelöst.

Wie das? Rechne mal vor. Hast Du die Betragsstriche beachtet?

>  Wie soll ich nun eine natürliche Zahl finden , die
> größer als 2-2i für x=1 ist, denn die komplexen Zahlen
> sind größer als die Natürlichen Zahlen [haee]

[kopfkratz]

> und in den
> komplexen Zahlen gibt es keine Ordnungsrelation.

[ok] Eben. Darum kann Deine Lösung nicht stimmen.

Grüße
reverend

Bezug
                
Bezug
konvergenz bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:55 Mi 16.04.2014
Autor: Cheris

OK ich hab meinen Fehle gefunden ich habe statt die 2 als gleichen bruch zuschreiben, den Bruch mal 2 gerechnet. *schäm*

Also ich habe [mm]\left| \br{4n^2}{n^2+i4n}-2 \right|[/mm]
auf [mm]\left| \br{4n^2}{n^2+i4n}-\br{2n^2+i8n}{n^2+i4n} \right|[/mm] gebracht und dann durch  [mm] n^2 [/mm] geteilt dann komme ich auf
[mm]\left| \br{(2-8i)n}{4in}\right|[/mm] dann würde sich aber n rauskürzen.







Bezug
                        
Bezug
konvergenz bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:50 Mi 16.04.2014
Autor: Fulla


> OK ich hab meinen Fehle gefunden ich habe statt die 2 als
> gleichen bruch zuschreiben, den Bruch mal 2 gerechnet.
> *schäm*

>

> Also ich habe [mm]\left| \br{4n^2}{n^2+i4n}-2 \right|[/mm]
> auf
> [mm]\left| \br{4n^2}{n^2+i4n}-\br{2n^2+i8n}{n^2+i4n} \right|[/mm]

Hallo Cheris!
Das ist schonmal richtig. [ok]

> gebracht und dann durch [mm]n^2[/mm] geteilt dann komme ich auf
> [mm]\left| \br{(2-8i)n}{4in}\right|[/mm] dann würde sich aber n
> rauskürzen.

*hust* Wie bitte?! Ich weiß zwar nicht, was du da genau gemacht hast, aber es ist auf jeden Fall falsch. Es ist doch
         [mm]\left| \br{4n^2}{n^2+i4n}-\br{2n^2+i8n}{n^2+i4n} \right|=\left| \br{2n^2-i8n}{n^2+i4n} \right|[/mm]
HIER kannst du jetzt ein n kürzen:
         [mm]=\left| \br{2n-8i}{n+4i} \right|[/mm]

Mache als nächstes den Nenner reell, indem du mit $n-4i$ erweiterst. Teile dann in Real- und Imaginärteil auf und berechne den Betrag. (Hinweis: das n fällt tatsächlich komplett raus...)


Lieben Gruß,
Fulla
 

Bezug
        
Bezug
konvergenz bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:08 Do 17.04.2014
Autor: fred97

Sollst Du wirklich ein [mm] n_0 [/mm] bestimmen mit

     [mm] |z_n-2|<1 [/mm]  für alle $n [mm] >n_0$ [/mm] ?

Ein solches [mm] n_0 [/mm] gibt es nicht ! Warum ? Darum :

[mm] (z_n) [/mm] konvergiert gegen 4, damit haben wir

     [mm] z_n-2 \to [/mm] 2.

Folglich gibt es ein N [mm] \in \IN [/mm] mit

    [mm] |z_n-2|>1 [/mm]  für alle n>N.

FRED

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