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konvergiert diese Reihe?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:06 Sa 28.03.2015
Autor: kolja21

Aufgabe
Entscheiden Sie, ob die folgende Reihe konvergiert:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k+1}{k^{2}} [/mm]

Ich würde sagen, ja, sie konvergiert, weil die Folge gegen 0 läuft, wenn k gegen Unendlich läuft. Deswegen muss die Reihe konvergieren.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{k}+\bruch{1}{k^{2}} [/mm] = 0+0 = 0
Seltsamerweise behauptet Wolfram Alpha aber was anderes, wenn ich "sum 1 to infinity [mm] (k+1)/(k^2)" [/mm] eingebe.

Ebenso, wenn ich [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k}{k^{2}} [/mm] eingebe, soll es angeblich divergieren. Aber hier ist doch offensichtlich, dass man [mm] \bruch{k}{k^{2}} [/mm] zu [mm] \bruch{1}{k} [/mm] umformen kann, sodass offensichtlich ist, dass die Folge zu 0 läuft und die Reihe konvergieren muss. Liegt Wolfram Alpha falsch, oder übersehe ich etwas?

        
Bezug
konvergiert diese Reihe?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:46 Sa 28.03.2015
Autor: notinX

Hallo,

> Entscheiden Sie, ob die folgende Reihe konvergiert:
>  [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k+1}{k^{2}}[/mm]
>  Ich würde
> sagen, ja, sie konvergiert, weil die Folge gegen 0 läuft,
> wenn k gegen Unendlich läuft. Deswegen muss die Reihe
> konvergieren.

nein. Das Nullfolgenkriterium ist eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung für die Konvergenz einer Reihe.

>  [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{k}+\bruch{1}{k^{2}}[/mm]
> = 0+0 = 0

[ok]

>  Seltsamerweise behauptet Wolfram Alpha aber was anderes,
> wenn ich "sum 1 to infinity [mm](k+1)/(k^2)"[/mm] eingebe.

Damit hat Wolframalpha auch recht.

>  
> Ebenso, wenn ich [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k}{k^{2}}[/mm]
> eingebe, soll es angeblich divergieren. Aber hier ist doch

Tut es auch.

> offensichtlich, dass man [mm]\bruch{k}{k^{2}}[/mm] zu [mm]\bruch{1}{k}[/mm]

[ok]

> umformen kann, sodass offensichtlich ist, dass die Folge zu
> 0 läuft und die Reihe konvergieren muss. Liegt Wolfram
> Alpha falsch, oder übersehe ich etwas?

Die harmonische Reihe:
[mm] $\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k}$ [/mm]
ist das klassische Beispiel dafür, dass eine Reihe, die das Nullfolgenkriterium erfüllt divergieren kann.

Gruß,

notinX

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konvergiert diese Reihe?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:34 So 29.03.2015
Autor: notinX

Hallo,

kann es sein, dass Du die Frage []hier schonmal gestellt hast?
Die Ähnlichkeit der Beiträge ist doch verblüffend...

Gruß,

notinX

Bezug
        
Bezug
konvergiert diese Reihe?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:52 So 29.03.2015
Autor: Marcel

Hallo,

schau' mal hier:
  
    https://matheraum.de/forum/Minorantenkriterium/t910667

oder hier:

    https://matheraum.de/read?i=894819

Im Heuser, Analysis I, 14. Auflage findest Du unter 33.6 den erwähnten
Satz; ich bin der Meinung, dass dieser viel mehr gewürdigt werden sollte,
als es meist der Fall ist, daher will ich ihn hier kurz anwenden:
Wegen

    [mm] $\frac{k+1}{k^2}\bigg/ \frac{1}{k} \to [/mm] 1 > 0$

hat obige Reihe das gleiche Konvergenzverhalten wie [mm] $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k}$. [/mm]

Gruß,
  Marcel

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Bezug
konvergiert diese Reihe?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:59 So 29.03.2015
Autor: Marcel

Hallo,

>  [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{k}+\bruch{1}{k^{2}}[/mm] = 0+0 = 0

achte auf die Indizes: [mm] $\lim_{\red{n} \to \infty}\frac{1}{\blue{k}}=0$, [/mm] da beißen sich n und k!

>  Seltsamerweise behauptet Wolfram Alpha aber was anderes,
> wenn ich "sum 1 to infinity [mm](k+1)/(k^2)"[/mm] eingebe.
>  
> Ebenso, wenn ich [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k}{k^{2}}[/mm]
> eingebe, soll es angeblich divergieren.

Wenn Du in irgendeiner Analysis-Prüfung nicht weißt, dass die

    []Harmonische Reihe

divergiert und auch nicht weißt, []warum sie divergiert, wirst Du es schwer
haben, sie noch zu bestehen!

Gruß,
  Marcel

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