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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - konvexe Hülle
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konvexe Hülle: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:55 Di 09.12.2014
Autor: xx_xx_xx

Aufgabe
Seien [mm] p_0,...,p_k \in \IR^n [/mm] affin unabhängige Punkte. Zeigen Sie, dass gilt [mm] \overline{p_0...p_k}\subseteq \Pi(p_0,...,p_k). [/mm]
Für welche k gilt hier Gleichheit? Begründen Sie dies.

Hallo,

wie haben die Definitionen:

[mm] \overline{p_0...p_k}:=conv(p_0,...,p_k) [/mm]
conv(T): { [mm] \summe_{i=0}^{k} \lambda_i p_i [/mm]  |  [mm] k\in \IN, p_i \in [/mm] T, [mm] \lambda_i \in \IR_{\ge0, }\summe_{i=0}^{k} \lambda_i [/mm] = 1}

[mm] \Pi(p_0,...,p_k)= [/mm] {  [mm] p_0 [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{k} \lambda_i (p_i-p_0) [/mm] | [mm] 0\le \lambda_i \le [/mm] 1 }


Nach ein paar Umformungen komme ich zu dem Schluss, dass immer Gleichheit gilt. Kann das sein?


Vielen Dank!
xx_xx_xx

        
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konvexe Hülle: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:04 Di 09.12.2014
Autor: hippias

Mit den von Dir angegebenen Definition gilt stets Gleichheit. Jedoch scheinst Du eine der Definitionen falsch wiedergegeben zu haben.

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konvexe Hülle: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:19 Di 09.12.2014
Autor: xx_xx_xx

Hallo,

ich habe nochmal verglichen und genau so stehen die Definitionen in meinem Skript.
Wo liegt denn der Fehler?

Danke!
Viele Grüße
xx_xx_xx

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konvexe Hülle: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:45 Di 09.12.2014
Autor: hippias

Die Bedingungen [mm] "$\lambda_{i}\in \IR_{\geq 0}$ [/mm] mit [mm] $\sum\lambda_{i}=1$" [/mm] und [mm] "$0\leq\lambda_{i}\leq [/mm] 1$ mit [mm] $\sum\lambda_{i}=1$" [/mm] sind aequivalent. Die affine Huelle ist anders definiert. Siehe etwa []hier

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konvexe Hülle: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:57 Di 09.12.2014
Autor: xx_xx_xx

Betrachte ich denn nicht die konvexe Hülle?

Viele Grüße
xx_xx_xx

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konvexe Hülle: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:14 Di 09.12.2014
Autor: hippias

Ja, das tust Du, aber scheinbar ich nicht! Ich habe mich geirrt und die Aufgabenstellung falsch gelesen. Ich hoffe Du wurdest durch meinen Irrtum nicht zu sehr verwirrt.

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konvexe Hülle: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:21 Di 09.12.2014
Autor: xx_xx_xx

Nein, kein Problem! :)
Aber dann gilt doch tatsächlich Gleichheit für alle k oder?

Vielen Dank!
Viele Grüße!
xx_xx_xx

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konvexe Hülle: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:24 Di 09.12.2014
Autor: fred97


> Nein, kein Problem! :)
>  Aber dann gilt doch tatsächlich Gleichheit für alle k
> oder?

Nein, aber das habe ich Dir doch schon gesagt !

FRED


>  
> Vielen Dank!
>  Viele Grüße!
>  xx_xx_xx


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konvexe Hülle: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:20 Di 09.12.2014
Autor: fred97

Ich bin anderer Meinung als mein Vorredner.

Gehen wir in den [mm] \IR^2 [/mm] und nehmen wir k=2, [mm] p_0=(0,0), p_1=(1,0) [/mm] und [mm] p_2=(0,1). [/mm]

Dann ist die konvexe Hülle dieser 3 Punkte das Dreieck mit den Ecken [mm] p_0,p_1 [/mm] und [mm] p_2. [/mm]

Wählt man [mm] \lambda_1= \lambda_2=1, [/mm] so sieht man:

   $(1,1) [mm] \in \Pi(p_0,p_1,p_2)$ [/mm]

Es ist aber

   $(1,1) [mm] \notin conv(p_0,p_1,p_2).$ [/mm]

FRED

>
>
> Vielen Dank!
>  xx_xx_xx


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konvexe Hülle: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:15 Di 09.12.2014
Autor: xx_xx_xx

Hallo,

aber die Summe der [mm] \lambda_i [/mm] soll doch 1 sein. Dann kann ich doch gar nicht [mm] \lambda_1=\lambda_2=1 [/mm] wählen, oder?

Viele Grüße
xx_xx_xx

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Bezug
konvexe Hülle: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:50 Di 09.12.2014
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> aber die Summe der [mm]\lambda_i[/mm] soll doch 1 sein. Dann kann
> ich doch gar nicht [mm]\lambda_1=\lambda_2=1[/mm] wählen, oder?

In



$ [mm] \Pi(p_0,...,p_k)= \{ p_0 + \summe_{i=1}^{k} \lambda_i (p_i-p_0) : 0\le \lambda_i \le 1 \} [/mm] $

schon !

FRED

>  
> Viele Grüße
>  xx_xx_xx


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Bezug
konvexe Hülle: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:44 Di 09.12.2014
Autor: xx_xx_xx

Aber ich kann das umformen zu:

[mm] \Pi(p_0,...,p_k) [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{k} \lambda_i p_i [/mm] mit [mm] \lambda_0=1-\summe_{i=1}^{k} \lambda_i [/mm] wobei gelten muss: [mm] \lambda_0=1 [/mm] und [mm] 0\le \lambda_i\le1 [/mm] für alle i=1,2,3...
dann folgt doch, dass [mm] \summe_{i=1}^{k}\lambda_i [/mm] =0 und somit [mm] \lambda_i=0 [/mm] für alle i=1,2,3...

Dann würde doch aber gelten: [mm] \Pi(p_0,...,p_k)\subseteq\overline{p_0...p_k} [/mm]


Ich finde meinen Denkfehler leider nicht...
Wäre toll wenn du mir nochmal auf die Sprünge helfen könntest...

Vielen Dank!
Viele Grüße
xx_xx_xx

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Bezug
konvexe Hülle: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:28 Di 09.12.2014
Autor: fred97


> Aber ich kann das umformen zu:
>  
> [mm]\Pi(p_0,...,p_k)[/mm] = [mm]\summe_{i=0}^{k} \lambda_i p_i[/mm] mit
> [mm]\lambda_0=1-\summe_{i=1}^{k} \lambda_i[/mm] wobei gelten muss:
> [mm]\lambda_0=1[/mm]

Wie kommst Du darauf ???




> und [mm]0\le \lambda_i\le1[/mm] für alle i=1,2,3...
>  dann folgt doch, dass [mm]\summe_{i=1}^{k}\lambda_i[/mm] =0



Hä ?

>  und
> somit [mm]\lambda_i=0[/mm] für alle i=1,2,3...

Was ist los ?

FRED

>  
> Dann würde doch aber gelten:
> [mm]\Pi(p_0,...,p_k)\subseteq\overline{p_0...p_k}[/mm]
>  
>
> Ich finde meinen Denkfehler leider nicht...
>  Wäre toll wenn du mir nochmal auf die Sprünge helfen
> könntest...
>  
> Vielen Dank!
>  Viele Grüße
>  xx_xx_xx


Bezug
                                        
Bezug
konvexe Hülle: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:38 Di 09.12.2014
Autor: xx_xx_xx

Habe meinen Fehler gefunden! Hat sich erledigt!
Trotzdem vielen Dank!!

Viele Grüße!
xx_xx_xx

Bezug
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