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l_p - Räume: Dimension
Status: (Question) answered Status 
Date: 17:14 Do 24/12/2015
Author: Hias

Hallo,
ich bin auf über etwas gestolpert, was ich mir gerade nicht erklären kann.
Es geht um den Raum
[mm] $$l_p(\mathbb{N},K):=\{x \in K^\mathbb{N}: \|x\|_p=(\sum_{i=1}^\infty |x(i)|^p)^{\bruch{1}{p}}<\infty\}.$$ [/mm]
Dabei ist K entweder [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] oder [mm] $\mathbb{C}$ [/mm] und [mm] $1\leq [/mm] p [mm] <\infty$. [/mm]
Ich weiß, dass das ein Banachraum ist. Des Weiteren habe ich die Aussage gefunden, dass die algebraische Dimension eines Banach Raumes entweder endlich, oder überabzählbar ist.
Ich denke, dass die algebraische Basis von [mm] $l_p(\mathbb{N},K)$ [/mm] die Einheitsvektoren $$
[mm] e_1=(1,0,0,0,,,,), e_2=(0,1,0,0,0....),...$$ [/mm] sind.
[mm] $l_p(\mathbb{N},K)$ [/mm] sollte nicht endlich sein, also sollte die Dimension der [mm] $e_i$ [/mm] überabzählbar unendlich sein, jedoch sehe ich das momentan nicht. Kann mir das jemand erklären, oder habe ich einen Denkfehler?

Vielen Dank im Voraus und schöne Weihnachten,
Hias.

        
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l_p - Räume: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 21:15 Do 24/12/2015
Author: Gonozal_IX

Hiho,

wie stellst du bezüglich deiner Basis den Vektor

[mm] $(1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},...)$ [/mm]

Dar?
Bedenke: algebraische Basis bedeutet endliche Linearkombinationen.

Gruß,
Gono

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l_p - Räume: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 21:55 Fr 25/12/2015
Author: Hias

Hallo und danke für deine Antwort.

Aber wie kann dann die algebraische Basis überabzählbar unendlich sein, wenn die algebraische Basis endlich ist?
Einen schönen Gruß,
Hias.

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l_p - Räume: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 23:27 Fr 25/12/2015
Author: felixf

Moin Hias!

> Hallo und danke für deine Antwort.
>
> Aber wie kann dann die algebraische Basis überabzählbar
> unendlich sein, wenn die algebraische Basis endlich ist?

Weil es keine algebraische Basis ist. Du hast ein linear unabhängiges System angegeben, was jedoch kein Erzeugendensystem ist. Der Vektor, den Gono angegeben (bzw. angedeutet) hat, liegt z.B. nicht im Erzeugnis.

LG Felix


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l_p - Räume: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 00:24 Sa 26/12/2015
Author: Gonozal_IX

Hiho,

wer hat denn was davon gesagt, dass die Basis endlich sein soll? Aber die Anzahl an Basisvektoren, die du für eine Darstellung eines Vektors verwenden darfst, ist endlich. Und daher wirst du keine Darstellung finden um mit den von dir angegebenen Vektoren den von mir angedeuteten darstellen zu können. Ergo: Deine Vektoren bilden keine algebraische Basis.

Gruß,
Gono

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l_p - Räume: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 16:38 Mi 06/01/2016
Author: Hias

Alles klar, vielen Dank für die Antworten.

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l_p - Räume: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 07:28 Do 07/01/2016
Author: fred97

Sei X ein Banachraum und dim X = [mm] \infty. [/mm]

Behauptung: X besitzt keine abzählbar-unendliche algebraische Basis.

Beweis: Annahme [mm] \{b_1,b_2,b_3,...\} [/mm] ist eine abzählbar-unendliche algebraische Basis von X.

Für n [mm] \in \IN [/mm] sei [mm] X_n [/mm] die lineare Hülle von [mm] \{b_1,...,b_n\}. [/mm]

Dann ist [mm] X_n [/mm] ein endlichdimensionaler Unterraum von X, also abgeschlossen und es gilt

    [mm] X=\bigcup_{n=1}^{\infty}X_n. [/mm]

Der Bairesche Kategoriensatz besagt nun: es gibt ein m [mm] \in \IN [/mm] mit:

    [mm] X_m [/mm] enthält innere Punkte.

Nun überlege man sich, dass dann gilt: [mm] X=X_m. [/mm]

Damit haben wir den Widerspruch dim X= m < [mm] \infty. [/mm]

FRED

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