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Forum "Lineare Gleichungssysteme" - least squares Lsg. von Ax=0
least squares Lsg. von Ax=0 < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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least squares Lsg. von Ax=0: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:29 Mo 08.09.2008
Autor: CalculusViolentus

Hallo

Ich suche zu einem überbestimmten linearen homogenen Gleichungssystem Ax=0 die least squares-Lösung [mm] x_{i}\not=0. [/mm] A besteht aus fehlerbehafteten Messgrößen und die [mm] x_{i} [/mm] müssen alle > 0 sein (haben eine physikalische Bedeutung).
Wenn ich das Gleichungssystem so mit einer linearen Regression löse, erhalte ich natürlich [mm] x_{i} [/mm] = 0. Wie komme ich an die Lösung [mm] x_{i} \not=0? [/mm]

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
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least squares Lsg. von Ax=0: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:32 Mo 08.09.2008
Autor: pelzig

Was hälst du von ner []QR-Zerlegung? Wie groß ist überhaupt das LGS und wie groß sind die Fehler?
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least squares Lsg. von Ax=0: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:31 Mo 08.09.2008
Autor: CalculusViolentus

Ich benutze für Regressionen normalerweise eine QR-Zerlegung. Aber ein homogenes System Ax=0 hat immer die Lösung x=0 als Minimallösung. Ich suche aber die Lösung mit x > 0.

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least squares Lsg. von Ax=0: Überbestimmt
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:31 Mo 08.09.2008
Autor: Infinit

Hallo,
bei so einem System gibt es im Sinne einer genauen Lösung keine Lösung oder unendlich viele, Du kannst Dir aber erlauben, einen Lösungsvektor zu finden, der (fast) orthogonal zu Deinen Koeffizienten steht. Exakt wird das nicht lösbar sein, aber das erinnerte mich an meine Diplomarbeit, in der ich ein ähnliches Problem bei der Netzwerkoptimierung zu lösen hatte. Wenn ich mich recht erinnere, so half in diesem Falle die Householdertransformation weiter. Das Ganze war damals für mich nur ein Aufruf einer IMSL-Bibliothek (alles noch in Fortran 77 geschrieben), aber ich glaube, dass Dir diese Transformation weiter helfen kann. Gehe doch mal auf die Suche nach der Nutzung der Householdertransformation bei überbestimmten Gleichungssystemen.
Ich hoffe, es hilft.
Toi, toi, roi,
Infinit

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least squares Lsg. von Ax=0: Abweichung minimieren
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:46 Mo 08.09.2008
Autor: Infinit

Hallo,
bei einem überbestimmten Gleichungssystem kannst Du die Summe der Abweichungen zwischen einer Musterfunktion und den Messwerten minimieren. Einige Matheprogramme machen dies sogar automatisch, wenn man ein Gleichungssystem eingibt, das mehr Zeilen als Unbekannte enthält. []Hier habe ich eine recht schöne Becshreibung gefunden.
Viele Grüße,
Infinit

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least squares Lsg. von Ax=0: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:28 Mo 08.09.2008
Autor: CalculusViolentus

Ich möchte ja die Koeffizienten der Modellfunktion minimieren. Bei einem Gleichungssystem Ax=y wie in Deinem Beispiel würde das ja gehen, meins lautet aber Ax=0 und deshalb ist die minimale Lösung x=0. Ich weiß aber, dass es eine weitere Lösung gibt, bei der  alle x > 0 sind.  

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least squares Lsg. von Ax=0: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:07 Mo 08.09.2008
Autor: Merle23


> meins lautet aber Ax=0 und
> deshalb ist die minimale Lösung x=0. Ich weiß aber, dass es
> eine weitere Lösung gibt, bei der  alle x > 0 sind.  

Dann kannst du deine Lösung aber beliebig klein machen. Wenn [mm] x_0 [/mm] so ein gesuchtes x ist, bei dem alle Komponenten [mm] \not= [/mm] 0 sind, dann ist [mm] \frac{1}{2}x_0 [/mm] auch so ein x, aber mit nur halb so großer Norm.

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least squares Lsg. von Ax=0: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:14 Mo 08.09.2008
Autor: Somebody


> Ich möchte ja die Koeffizienten der Modellfunktion
> minimieren. Bei einem Gleichungssystem Ax=y wie in Deinem
> Beispiel würde das ja gehen, meins lautet aber Ax=0 und
> deshalb ist die minimale Lösung x=0. Ich weiß aber, dass es
> eine weitere Lösung gibt, bei der  alle x > 0 sind.  

Eine least-squares Approximation einer Lösung von $Ax=y$, wenn $y$ im Bildraum von $A$ liegt und es somit eine exakte (statt bloss least-squares approximative) Lösung gibt, macht meiner unmassgeblichen Meinung nach überhaupt keinen Sinn.

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