matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenTopologie und Geometrielin. Ähnlichk. als Verkettung
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Topologie und Geometrie" - lin. Ähnlichk. als Verkettung
lin. Ähnlichk. als Verkettung < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Topologie und Geometrie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

lin. Ähnlichk. als Verkettung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:20 Mo 07.12.2015
Autor: Raspery21

Aufgabe
Da wir den Beweis zu folgenden Satz in der Vorlesung ausgelassen haben, wollte ich mich mal selber dran versuchen:

Zu jeder linearen Ähnlichkeit [mm] $\rho$ [/mm] mit Ähnlichkeitsfaktor [mm] $\mu$ [/mm] existiert ein [mm] $\omega\inO(v)$ [/mm] und eine lineare Abbildung [mm] $h_\mu$ [/mm] mit [mm] $h_\mu(v)=\mu\cdot [/mm] v$ für alle [mm] $v\in [/mm] V$, so dass [mm] $\rho=h_{\mu}\circ\omega$ [/mm] ist.

$O(V)$ ist die Gruppe der orthogonalen Abbildungen [mm] $\omega:V\to [/mm] V'$ mit der Eigenschaft [mm] $||\omega(v)||=1 \cdot [/mm] ||v||$ für alle [mm] $v\in [/mm] V$. Also nichts anderes als eine lineare Ähnlichkeit mit Ähnlichkeitsfaktor [mm] $\mu=1$. [/mm]


Sei [mm] $\rho:V\to [/mm] V'$ eine lineare Ähnlichkeit

[mm] $\Rightarrow ||\rho(v)||=\mu\cdot||v||\,\,\forall v\in [/mm] V$

Sei [mm] $\omega\in [/mm] O(V)$ und [mm] $h_\mu$ [/mm] eine lineare Abbildung mit [mm] $h_\mu(v)=\mu\cdot [/mm] v$,

dann gilt:

[mm] $h_{\mu}\circ \omega(v) [/mm] = [mm] h_\mu (\omega(v)) [/mm] = [mm] h_\mu [/mm] (||v||) = [mm] \mu\cdot [/mm] ||v|| = [mm] ||\rho(v)||$. [/mm]


Edit: Moment ich sehe grade, dass es ja garnicht das ist was ich beweisen wollte.


        
Bezug
lin. Ähnlichk. als Verkettung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:30 Di 08.12.2015
Autor: fred97


> Da wir den Beweis zu folgenden Satz in der Vorlesung
> ausgelassen haben, wollte ich mich mal selber dran
> versuchen:
>
> Zu jeder linearen Ähnlichkeit [mm]\rho[/mm] mit Ähnlichkeitsfaktor
> [mm]\mu[/mm] existiert ein [mm]\omega\inO(v)[/mm] und eine lineare Abbildung
> [mm]h_\mu[/mm] mit [mm]h_\mu(v)=\mu\cdot v[/mm] für alle [mm]v\in V[/mm], so dass
> [mm]\rho=h_{\mu}\circ\omega[/mm] ist.
>  
> [mm]O(V)[/mm] ist die Gruppe der orthogonalen Abbildungen
> [mm]\omega:V\to V'[/mm] mit der Eigenschaft [mm]||\omega(v)||=1 \cdot ||v||[/mm]
> für alle [mm]v\in V[/mm]. Also nichts anderes als eine lineare
> Ähnlichkeit mit Ähnlichkeitsfaktor [mm]\mu=1[/mm].
>  
> Sei [mm]\rho:V\to V'[/mm] eine lineare Ähnlichkeit
>  
> [mm]\Rightarrow ||\rho(v)||=\mu\cdot||v||\,\,\forall v\in V[/mm]
>  
> Sei [mm]\omega\in O(V)[/mm] und [mm]h_\mu[/mm] eine lineare Abbildung mit
> [mm]h_\mu(v)=\mu\cdot v[/mm],
>  
> dann gilt:
>  
> [mm]h_{\mu}\circ \omega(v) = h_\mu (\omega(v)) = h_\mu (||v||) = \mu\cdot ||v|| = ||\rho(v)||[/mm].
>  
>
> Edit: Moment ich sehe grade, dass es ja garnicht das ist
> was ich beweisen wollte.
>  


Ich versuche mal, meine hellseherischen Fähigkeiten ins Spiel zu bringen:

1. ich vermute, V und V' sind Vektorräume mit Skalarprodukt und ||*|| sind jeweils die von den Skalarprodukten induzierten Normen.

2. gegeben ist eine lineare Abbildung $ [mm] \rho:V\to [/mm] V'$ mit


     $  [mm] ||\rho(v)||=\mu\cdot||v||\,\,\forall v\in [/mm] V $.

3. zeigen sollst Du: es ex. ein [mm] $\omega \in [/mm] O(V)$ mit

(*)  [mm] $\rho=\mu* \omega$. [/mm]

( (*) ist nichts anderes als die bekloppte Schreibweise $ [mm] \rho=h_{\mu}\circ\omega [/mm] $, denn [mm] h_{\mu} [/mm] ist nichts anderes als [mm] \mu*id_V, [/mm]  derjenige, der das so geschrieben hat, gehört gesteinigt ....).



Setzt man [mm] $f:=\bruch{1}{\mu}*\rho$, [/mm] so ist $f$ eine lineare Isometrie, also

    [mm] $f\in [/mm] O(V)$,

und fertig ist der Schuh.

FRED

Bezug
                
Bezug
lin. Ähnlichk. als Verkettung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:47 Di 08.12.2015
Autor: Raspery21


> > Da wir den Beweis zu folgenden Satz in der Vorlesung
> > ausgelassen haben, wollte ich mich mal selber dran
> > versuchen:
> >
> > Zu jeder linearen Ähnlichkeit [mm]\rho[/mm] mit Ähnlichkeitsfaktor
> > [mm]\mu[/mm] existiert ein [mm]\omega\inO(v)[/mm] und eine lineare Abbildung
> > [mm]h_\mu[/mm] mit [mm]h_\mu(v)=\mu\cdot v[/mm] für alle [mm]v\in V[/mm], so dass
> > [mm]\rho=h_{\mu}\circ\omega[/mm] ist.
>  >  
> > [mm]O(V)[/mm] ist die Gruppe der orthogonalen Abbildungen
> > [mm]\omega:V\to V'[/mm] mit der Eigenschaft [mm]||\omega(v)||=1 \cdot ||v||[/mm]
> > für alle [mm]v\in V[/mm]. Also nichts anderes als eine lineare
> > Ähnlichkeit mit Ähnlichkeitsfaktor [mm]\mu=1[/mm].
>  >  
> > Sei [mm]\rho:V\to V'[/mm] eine lineare Ähnlichkeit
>  >  
> > [mm]\Rightarrow ||\rho(v)||=\mu\cdot||v||\,\,\forall v\in V[/mm]
>  
> >  

> > Sei [mm]\omega\in O(V)[/mm] und [mm]h_\mu[/mm] eine lineare Abbildung mit
> > [mm]h_\mu(v)=\mu\cdot v[/mm],
>  >  
> > dann gilt:
>  >  
> > [mm]h_{\mu}\circ \omega(v) = h_\mu (\omega(v)) = h_\mu (||v||) = \mu\cdot ||v|| = ||\rho(v)||[/mm].
>  
> >  

> >
> > Edit: Moment ich sehe grade, dass es ja garnicht das ist
> > was ich beweisen wollte.
>  >  
>
>
> Ich versuche mal, meine hellseherischen Fähigkeiten ins
> Spiel zu bringen:
>  
> 1. ich vermute, V und V' sind Vektorräume mit
> Skalarprodukt und ||*|| sind jeweils die von den
> Skalarprodukten induzierten Normen.
>  
> 2. gegeben ist eine lineare Abbildung [mm]\rho:V\to V'[/mm] mit
>  
>
> [mm]||\rho(v)||=\mu\cdot||v||\,\,\forall v\in V [/mm].
>  
> 3. zeigen sollst Du: es ex. ein [mm]\omega \in O(V)[/mm] mit
>  
> (*)  [mm]\rho=\mu* \omega[/mm].
>  
> ( (*) ist nichts anderes als die bekloppte Schreibweise
> [mm]\rho=h_{\mu}\circ\omega [/mm], denn [mm]h_{\mu}[/mm] ist nichts anderes
> als [mm]\mu*id_V,[/mm]  derjenige, der das so geschrieben hat,
> gehört gesteinigt ....).

Mh ja das stimmt natürlich, aber steinigen will ich meinen Dozenten lieber nicht.... :D

>
>
> Setzt man [mm]f:=\bruch{1}{\mu}*\rho[/mm], so ist [mm]f[/mm] eine lineare
> Isometrie, also
>  
> [mm]f\in O(V)[/mm],
>  
> und fertig ist der Schuh.
>  
> FRED

Hi vielen dank Fred, ja genauso war das gemeint.


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Topologie und Geometrie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]