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lineare Abbildung: darstellende Matrix
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:42 Fr 12.08.2016
Autor: klm

Aufgabe
- Zeige: f ist linear
- wähle eine Basis des IR 2x2 und des IR 3x3 und bestimme die darstellende Matrix F von f bzgl. der ausgewählten Basen

Hi,


f: R 2x2 - R 2x3

f:
[mm] \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} [/mm]                  

   ->  
[mm] \begin{pmatrix} a+c & 2b & 0 \\ 0 & b+ 4c & 5d \end{pmatrix} [/mm]

Kann mir jemand einen Tipp geben???
Die 2x3 Matrix verwirrt mich etwas...
Danke schon mal...

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
lineare Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:22 Fr 12.08.2016
Autor: Chris84


> - Zeige: f ist linear
>  - wähle eine Basis des IR 2x2 und des IR 3x3 und bestimme
> die darstellende Matrix F von f bzgl. der ausgewählten
> Basen
>  Hi,

Huhu

>
>
> f: R 2x2 - R 2x3
>  
> f:
> [mm]\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}[/mm]
>                  
>
> ->  

> [mm]\begin{pmatrix} a+c & 2b & 0 \\ 0 & b+ 4c & 5d \end{pmatrix}[/mm]
>  
> Kann mir jemand einen Tipp geben???

Wofuer genau? Was genau ist dir unklar?

>  Die 2x3 Matrix verwirrt mich etwas...

Auch hier: Was genau ist unklar?
Ist dir klar, was $f$ macht? Du startest mit einer beliebigen 2x2 Matrix und $f$ generiert dir eine 2x3 Matrix. Soweit, so unspannend....

>  Danke schon mal...
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Schau dir die Definition der Linearitaet an und fang dann einfach 'mal an, drauf loszurechnen, also:

Seien [mm] $A_1,A_2 \in \IR^{2\times2}$, [/mm] dann

[mm] $f(A_1+A_2)=...=f(A_1)+f(A_2)$. [/mm]

Gruss,
Chris

Bezug
                
Bezug
lineare Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:37 Sa 13.08.2016
Autor: klm

Die Linearität ist nicht das Problem.
Ich kapier den zweiten Teil der Aufgabe nicht ganz.
Ich soll ja 1 Basis aus R 2x2 und 1 Basis aus R 2x3 wählen. Ich würde aber aus R 2x2 4 Matrizen [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }, \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }, \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 } [/mm] und [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] nehmen.
Beim R 2x3 hörts dann aber auf. Ich finde die Darstellungsmatrix einfach nicht.
Sie soll wahrsch. R 2x3 Format haben, aber ich weiß nicht, wie ich dahin komme.

Bezug
                        
Bezug
lineare Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:39 Sa 13.08.2016
Autor: hippias


> Die Linearität ist nicht das Problem.
>  Ich kapier den zweiten Teil der Aufgabe nicht ganz.
>  Ich soll ja 1 Basis aus R 2x2 und 1 Basis aus R 2x3
> wählen. Ich würde aber aus R 2x2 4 Matrizen [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }, \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }, \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }[/mm]
> und [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm] nehmen.
>  Beim R 2x3 hörts dann aber auf. Ich finde die
> Darstellungsmatrix einfach nicht.

Aus Deinen Mitteilungen ist nicht schlau zu werden. Frage doch klar danach, womit Du Schwierigkeiten hast. Deine Hausaufgaben wird hier - hoffentlich - niemand für Dich erledigen, sodass Du sie nur noch abschreiben musst.

Falls Du Schwierigkeiten hast eine Basis des [mm] $\IR^{2\times 3}$ [/mm] zu finden: es genügt ja irgendeine Basis zu finden. Als Hilfestellung überlege Dir, wieso Deine $4$ Matrizen überhaupt eine Basis des [mm] $\IR^{2\times 2}$ [/mm] sind. Im [mm] $\IR^{2\times 3}$ [/mm] kannst Du die Basis dann ganz analog wählen.

Falls Du Schwierigkeiten mit der Darstellungsmatrix hast: Angenommen Du hast eine Basis [mm] $b_{1},\ldots, b_{6}$ [/mm] des [mm] $\IR^{2\times 3}$ [/mm] gefunden. Dann stellst Du [mm] $f\pmat{1 & 0\\ 0& 0}$ [/mm] in dieser Basis dar; die Keoffizienten liefern Dir die Matrixeinträge. Z.B. nimm an es wäre [mm] $f\pmat{1 & 0\\ 0& 0}= 2b_{2}-3b_{4}+b_{5}$. [/mm] Dann wäre die erste Zeile der Darstellungsmatrix $0, 2, -3, 1, 0$. Dann machst Du das gleiche mit den verbleibenden $3$ Basiselementen des [mm] $\IR^{2\times 2}$. [/mm]

> Sie soll wahrsch. R 2x3 Format haben, aber ich weiß nicht,
> wie ich dahin komme.


Bezug
                                
Bezug
lineare Abbildung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:52 Sa 13.08.2016
Autor: fred97


> > Die Linearität ist nicht das Problem.
>  >  Ich kapier den zweiten Teil der Aufgabe nicht ganz.
>  >  Ich soll ja 1 Basis aus R 2x2 und 1 Basis aus R 2x3
> > wählen. Ich würde aber aus R 2x2 4 Matrizen [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }, \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }, \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }[/mm]
> > und [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm] nehmen.
>  >  Beim R 2x3 hörts dann aber auf. Ich finde die
> > Darstellungsmatrix einfach nicht.
> Aus Deinen Mitteilungen ist nicht schlau zu werden. Frage
> doch klar danach, womit Du Schwierigkeiten hast. Deine
> Hausaufgaben wird hier - hoffentlich - niemand für Dich
> erledigen, sodass Du sie nur noch abschreiben musst.
>  
> Falls Du Schwierigkeiten hast eine Basis des [mm]\IR^{2\times 3}[/mm]
> zu finden: es genügt ja irgendeine Basis zu finden. Als
> Hilfestellung überlege Dir, wieso Deine [mm]4[/mm] Matrizen
> überhaupt eine Basis des [mm]\IR^{2\times 2}[/mm] sind. Im
> [mm]\IR^{2\times 3}[/mm] kannst Du die Basis dann ganz analog
> wählen.
>  
> Falls Du Schwierigkeiten mit der Darstellungsmatrix hast:
> Angenommen Du hast eine Basis [mm]b_{1},\ldots, b_{6}[/mm] des
> [mm]\IR^{2\times 3}[/mm] gefunden. Dann stellst Du [mm]f\pmat{1 & 0\\ 0& 0}[/mm]
> in dieser Basis dar; die Keoffizienten liefern Dir die
> Matrixeinträge. Z.B. nimm an es wäre [mm]f\pmat{1 & 0\\ 0& 0}= 2b_{2}-3b_{4}+b_{5}[/mm].
> Dann wäre die erste Zeile der Darstellungsmatrix [mm]0, 2, -3, 1, 0[/mm].


Hallo hippias,

Du meinst sicher "..... die erste Spalte der Darstellungsmatrix..."

Gruß FRED

> Dann machst Du das gleiche mit den verbleibenden [mm]3[/mm]
> Basiselementen des [mm]\IR^{2\times 2}[/mm].
>  
> > Sie soll wahrsch. R 2x3 Format haben, aber ich weiß nicht,
> > wie ich dahin komme.
>  


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Bezug
lineare Abbildung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:23 Sa 13.08.2016
Autor: klm

Analog zum erhaltenen Hinweis - liege ich falsch mit:

f(a) = f [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }= w_{1} [/mm]
liefert die erste Spalte [mm] \vektor{1 \\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0} [/mm]

f(b) = f [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }= 2w_{2}+w_{5} [/mm]
liefert die zweite Spalte [mm] \vektor{0 \\ 2\\ 0\\ 0\\ 1\\ 0} [/mm]



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lineare Abbildung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:58 Sa 13.08.2016
Autor: hippias

Soll das eine Frage sein? Dann lautet die Antwort: meine hellseherischen Fähigkeiten sind heute irgendwie nicht mehr das, was sie noch gestern waren. Tut mir Leid!

Bezug
                                                        
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lineare Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:10 Sa 13.08.2016
Autor: klm

Entschuldigung, wenn ich meine Absichten nicht klar genug formuliert habe.
aber ich möchte keine Lösung präsentiert bekommen, auch keine Hausaufgaben abschreiben - es handelt sich um keine.
Ich möchte diese Aufgabe einfach verstehen, bin kein Mathematiker und mit den unterschiedlichen Dimensionen R 2x2 und R 2x3 überfordert. Solche Aufgaben habe ich bisher nur in gleichbleibenden Vektorräumen gemacht.
Vielmehr würde ich mich über eine Hilfestellung zur grundlegenden Herangehensweise freuen.

Also: Was muss ich tun, um eine Darstellungsmatrix zu erhalten?
Meine Basen im R2x2 sind [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] etc.
im R 2x3 analog [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0} ,\pmat{ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0} [/mm] usw.
Und dann?
Darstellung der "a- Komponente" [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] als Linearkombination von R 2x3- Basen??? Wie würde das aussehen?
Etwa [mm] 1*\pmat{ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0} [/mm]
Und was mach ich dann mit "c"?
Das steht ja bei R 2x3 an mehreren Stellen in Kombination mit anderen Buchstaben... ?




Bezug
                                                                
Bezug
lineare Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:45 Sa 13.08.2016
Autor: hippias


> Entschuldigung, wenn ich meine Absichten nicht klar genug
> formuliert habe.
>  aber ich möchte keine Lösung präsentiert bekommen, auch
> keine Hausaufgaben abschreiben - es handelt sich um keine.
>  Ich möchte diese Aufgabe einfach verstehen, bin kein
> Mathematiker und mit den unterschiedlichen Dimensionen R
> 2x2 und R 2x3 überfordert. Solche Aufgaben habe ich bisher
> nur in gleichbleibenden Vektorräumen gemacht.
>  Vielmehr würde ich mich über eine Hilfestellung zur
> grundlegenden Herangehensweise freuen.

Gerne. Je klarer das Problem formuliert ist, desto schneller bist Du fertig. Auch wird sich so eher jemand finden, der bereit ist seine Zeit zu opfern.

>  
> Also: Was muss ich tun, um eine Darstellungsmatrix zu
> erhalten?
>  Meine Basen im R2x2 sind [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm] etc.
>  im R 2x3 analog [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0} ,\pmat{ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0}[/mm]
> usw.
>  Und dann?

Wenn Du mit den $w_ {i}$'s aus der vorherigen Nachricht die Matrizen [mm] $\pmat{ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0} ,\pmat{ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0}\ldots$ [/mm] meinst, dann hast Du bisher alles richtig gemacht.

Die Matrix der Darstellung von $f$ bezüglich der Basistupel [mm] $\left(\pmat{1 & 0\\0 & 0}, \pmat{0 & 1\\0 & 0}, \pmat{0 & 0\\1 & 0}, \pmat{0 & 0\\0 & 1}\right)$ [/mm] und [mm] $\left(\pmat{1 & 0& 0\\0 & 0 &0}, \pmat{0 & 1&0\\0 & 0&0},\ldots \pmat{0 & 0&0\\0&0 & 1}\right)$ [/mm]
beginnt mit Spalten [mm] $\pmat{1 & 0 & \ldots\\ 0 & 2 & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots\\ 0 & 1 & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots\\ }$; [/mm] diese Matrix hat übrigens $6$ Zeilen und $4$ Spalten.

Ausserdem: wenn jemand eine andere Basen wählt, oder auch nur die Reihenfolge der Basiselemente ändert, sieht die Matrix anders aus. Das macht das Ergebnis aber nicht falsch, denn in der Aufgabenstellung ist ja keine Basis vorgegeben.


>  Darstellung der "a- Komponente" [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm]
> als Linearkombination von R 2x3- Basen??? Wie würde das
> aussehen?
>  Etwa [mm]1*\pmat{ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0}[/mm]
>  Und was mach ich
> dann mit "c"?
> Das steht ja bei R 2x3 an mehreren Stellen in Kombination
> mit anderen Buchstaben... ?
>  
>
>  


Bezug
        
Bezug
lineare Abbildung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:08 Sa 13.08.2016
Autor: klm

herzlichen Dank,
ich habs jetzt verstanden!

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