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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - lineare DGL 2. Ord. Aufgabe
lineare DGL 2. Ord. Aufgabe < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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lineare DGL 2. Ord. Aufgabe: Verständniss der Aufgabe
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 00:36 Sa 25.10.2014
Autor: NFL_

Verfahrensbeschreibung
--------------------------------------------------------------
Man kann eine partikuläre Lösung einer linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung :

[mm] -u''(t) + p(t)u'(t) + q(t)u(t) = f(t) \\ [/mm]

mit der Methode von Cauchy bestimmen. Dazu bestimmt man für [mm] s [/mm] aus dem zugrundeliegenden Intervall [mm](a, b) [/mm] die Koeffizienten [mm] c_{1}, c_{2} [/mm] aus der algemeinen Lösung der homogenen Gleichung :

[mm] u_{hom}(t) = c_{1}u_{1}(t) + c_{2}u_{2}(t)\\ [/mm]

derart, dass [mm]u_{hom}(s) = 0[/mm] und [mm]u'_{hom}(s) = -f(s)[/mm] ist. Dann wird mit der so gewonnenen Lösung [mm] u_{hom}(\cdot;s) [/mm] durch

[mm] u_{p}(t) = \integral_{t_{0}}^{t} u_{hom}(t;s)\, ds [/mm]

eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung konstruiert.

-------------------------------------------------------------

Hi, ich weiss bei dieser Aufgabe nicht was [mm] u_{1}, c_{1}, u_{2}, c_{2} [/mm] in der Gleichung [mm] u_{hom} [/mm] sein soll. Etwa [mm] u_{1} [/mm] = u'(t), [mm] c_{1} [/mm] = p(t), ... ?

Ich hab eine Aufgabe die ich nach dieser Methode lösen soll und weiss nicht ob ich die Gleichung für [mm] u_{hom} [/mm] so nehmen soll wie sie da steht ? Bin dankbar für jeden hinweis :) danke schon mal im vorraus :)

PS. : Was der Punkt in [mm] u_{hom}(*; [/mm] s) bedeutet würde mich auch interessieren ... hat das Semikolon eine spezielle Bedeutung ? ich kenn an der Stelle nur Kommas ... :) nochmal danke an alle die sich meiner merkwürdigen Fragen annehmen ... :)

EDIT : Hab die Aufgabe vorher als Bild angefügt, jetzt abgetippt da das Bild gespert wurde.

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
        
Bezug
lineare DGL 2. Ord. Aufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:10 Sa 25.10.2014
Autor: andyv

Hallo


>  
> Hi, ich weiss bei dieser Aufgabe nicht was [mm]u_{1}, c_{1}, u_{2}, c_{2}[/mm]
> in der Gleichung [mm]u_{hom}[/mm] sein soll. Etwa [mm]u_{1}[/mm] = u'(t),
> [mm]c_{1}[/mm] = p(t), ... ?


Nein, [mm] $\{u_1, u_2\}$ [/mm] ist ein Fundamentalsystem der zugehörigen homogenen Gleichung, [mm] $c_1$, $c_2$ [/mm] sind skalare, sodass die Gleichungen [mm] $u_{hom}(s)=0$, [/mm] $u'_{hom}(s)=-f(s)$ erfüllt sind.

Ich mach mal ein einfaches Beispiel: p=q=0, f=-cos, dann ist [mm] $c_1+c_2 [/mm] s=0$, [mm] $c_2=\cos(s)$ [/mm] und [mm] $u_{hom}(t;s)=-s\cos(s)+t\cos(s)$ [/mm]


> Ich hab eine Aufgabe die ich nach dieser Methode lösen
> soll und weiss nicht ob ich die Gleichung für [mm]u_{hom}[/mm] so
> nehmen soll wie sie da steht ? Bin dankbar für jeden
> hinweis :) danke schon mal im vorraus :)
>  
> PS. : Was der Punkt in [mm]u_{hom}(*;[/mm] s) bedeutet würde mich
> auch interessieren ... hat das Semikolon eine spezielle
> Bedeutung ? ich kenn an der Stelle nur Kommas ... :)
> nochmal danke an alle die sich meiner merkwürdigen Fragen
> annehmen ... :)

Die Funktionen [mm] $f_s$ [/mm] mit [mm] $f_s(t)\equiv u_{hom}(t; [/mm] s)$ sind für jedes [mm] $s\in [/mm] (a,b)$ Lösungen der homogenen Gleichung, anders gesagt: [mm] $u_{hom}$ [/mm] ist als Funktion der ersten Variablen eine Lösung der homogenen Gleichung (für jeden Wert der zweiten Variable), deshalb der Punkt an erster Stelle.
Ob man da ein "," oder ein ";" zwischen den Argumenten setzt, ist Geschmackssache. Ein Semikolon wird wohl deshalb verwendet, weil die Argumente hier einen anderen "Charakter" haben.

Liebe Grüße

Bezug
                
Bezug
lineare DGL 2. Ord. Aufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:01 Sa 25.10.2014
Autor: NFL_

Hey danke für deine Mühe :), ich weiss was ein Fundamentalsystem ist aber ich hab keine Ahnung wie du auf deine Lösung gekommen bist. Könntest du mir vieleicht dein Vorgehen etwas konkreter beschreiben ?

EDIT : Muss ich hier mit dem Potenzreihenansatz erst das Fundamentalsystem [mm] $u_{hom}(t)$ [/mm] bestimmen und dann das GLS

[mm] \begin{matrix} u_{hom}(s) = 0 \\ u'_{hom}(s) = -f(s) \\ \end{matrix} [/mm]

lösen ?


Bezug
                        
Bezug
lineare DGL 2. Ord. Aufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:53 Sa 25.10.2014
Autor: andyv


> EDIT : Muss ich hier mit dem Potenzreihenansatz erst das
> Fundamentalsystem [mm]u_{hom}(t)[/mm] bestimmen und dann das GLS
>
> [mm]\begin{matrix} u_{hom}(s) = 0 \\ u'_{hom}(s) = -f(s) \\ \end{matrix}[/mm]
>  
> lösen ?
>  
>  

Ja, wobei es dir überlassen ist, wie du das FS [mm] $\{u_1,u_2\}$ [/mm] bestimmst. Potenzreihenansatz ist nicht immer das sinnvollste.

Liebe Grüße

Bezug
                                
Bezug
lineare DGL 2. Ord. Aufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:04 So 26.10.2014
Autor: NFL_

Ok, ich wäre dann noch dankbar für einen tip für den Ansatz zu der DGL :

[mm] \begin{matrix} t^{2}(1-t)u''(t) + 2t(2-t)u'(t) + 2(1+t)u(t) = \bruch{1}{1-t}\\ \end{matrix} [/mm]

davon muss ich ja dann vom der homogenen Gleichung also :

[mm] \begin{matrix} u''(t) = - \bruch{2t(2-t)u'(t) + 2(1+t)u(t)}{ t^{2}(1-t)} \\ \end{matrix} [/mm]

ein Fundamentalsystem bestimmen, richtig ?
Wäre der Potenzreihenansatz  gut ?
Oder mach ich das für ein festes $s$ so das dann die koeffizentenfunktionen zu Konstanten werden ? (Das war gerade sone Eingebung, kann auch Blödsinn sein ^^ )


Bezug
                                        
Bezug
lineare DGL 2. Ord. Aufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:41 So 26.10.2014
Autor: andyv

Ich weiß jetzt nicht genau, was du mit irgendeinem s machen willst. Das Ziel ist es jedenfalls zunächst ein Fundamentalsystem. Das funktioniert hier ganz gut mit einem Potenzreihenansatz.

Liebe Grüße

Bezug
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