mehrdimensionale Ito-Formel < Finanzmathematik < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:59 Sa 02.10.2004 | | Autor: | Carolin |
Hallo zusammen,
ich habe heute zum ersten Mal diese tolle Seite entdeckt, als ich bei Google die mehrdimensionale Ito-Formel (leider erfolglos) gesucht habe.
Könnte mir jemand von euch schreiben, wie sie lautet?
Ich brauche sie (angeblich), um die Bondpreisformel zu beweisen (aus KWOK S.321: Berechnung des Bond-Preises im 1-Faktor-Modell).
Falls dr= u(r,t)dt + w(r,t)dZ, dZ Standard-Wiener-Prozess, gilt nach Ito (eindimensional):
dB = (....)dt + (....) dZ
(ich kann leider keine partiellen Abl. tippen, aber das ist die ganz normale Ito-Formel
mit B= B(r,t)).
Im Beweis habe ich nun eine Funktion V(r,t,y) (e hoch Integrale) und soll mit "Ito's differential rule"
B(r,y,T)V(r,t,y) berechnen:
d(BV)= VdB+BdV+dBdV (das versteh ich, ist auch ein Beitrag vom 23.7.04 im Forum).
Ich verstehe aber nicht, wie man dBdV berechnet.
Dazu braucht man angeblich die mehrdim. Ito-Formel.
Könnte mir jemand bitte helfen??
Danke,
Caro
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:45 Sa 02.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Carolin!
Am besten du liest dir die Formel mal in diesem (meinem) Skript durch (ab Seite 23).
> Im Beweis habe ich nun eine Funktion V(r,t,y) (e hoch
> Integrale) und soll mit "Ito's differential rule"
>
> B(r,y,T)V(r,t,y) berechnen:
>
> d(BV)= VdB+BdV+dBdV (das versteh ich, ist auch ein Beitrag
> vom 23.7.04 im Forum).
>
> Ich verstehe aber nicht, wie man dBdV berechnet.
> Dazu braucht man angeblich die mehrdim. Ito-Formel.
Nein, das stimmt so nicht. Zur Herleitung dieser Formel für die partielle Integration stochastischer Integrale
$d(BV)= VdB+BdV+dBdV$
benötigt man die mehrdimensionale Ito-Formel, dagegen nicht für die Berechnung von $dBdV$. Dies kannst du wie gewohnt berechnen. Sind also (in deiner Notation)
$dB = [mm] \mu_1\, [/mm] dt + [mm] \sigma_1 \, [/mm] dZ$,
$dV = [mm] \mu_2\, [/mm] dt + [mm] \sigma_2\, [/mm] dZ$,
so ist:
$dBdV= [mm] \sigma_1 \sigma_2\, [/mm] dt$.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:40 Mo 04.10.2004 | | Autor: | Carolin |
Hallo nochmal,
ich habe mir den Beweis noch einmal angesehen und versucht, dBdV zu berechnen.
Ich hatte aber Probleme damit, dV als a dt + b dZ zu schreiben [ich muss dazu sagen: ich bin ledider noch nicht so fit in Stochastischen Integralen, wie man vielleicht merken kann :-(]
Ich schreibe mal den kompletten Beweis auf und hoffe, dass ich das mit den Formeln schaffe:
Beh:
[mm]
B(r,t;T) = E_t exp (- \int_{t}^{T} r(q)\ dq - \bruch{1}{2} \int_{t}^{T} L^2 (r(q),q)\ dq - \int_{t}^{T} L(r(q),q)\ dZ(q))
[/mm]
Bew:
Definiere eine Hilfsfunktion:
[mm]
V(r,t; y) = exp (- \int_{t}^{y} r(q)\ d(q) - \bruch{1}{2} \int_{t}^{y} L^2 (r(q),q)\ dq - \int_{t}^{y} L(r(q),q)\ dZ(q))
[/mm]
Benutze Itos Differential-Regel, um B(r,y,T)V(r,t,y) zu berechnen. Dies gibt:
(Wir wissen, dass Folgendes gilt:
[mm] dB = ( \bruch{ \partial B}{ \partial t} + u \bruch{ \partial B}{ \partial r} + \bruch{1}{2} w^2 \bruch{ \partial ^2 B}{ \partial r^2}) dt + w \bruch{ \partial B}{ \partial r} dZ [/mm].
Also:
[mm] d(BV) = VdB + BdV + dBdV [/mm] (das versteh ich noch)
[mm] = V( \bruch{ \partial B}{ \partial y} + u \bruch{ \partial B}{ \partial r} + \bruch{1}{2} w^2 \bruch{ \partial ^2 B}{ \partial r^2}) dy + Vw \bruch{ \partial B}{ \partial r} dZ + BV(-r - \bruch{L^2}{2}) dy - BVLdZ + \bruch{L^2}{2} BVdy - VLw \bruch{ \partial B}{ \partial r}dy [/mm]
= .... = [mm] -BVLdZ + Vw\bruch{ \partial B}{ \partial r}dZ [/mm] (diese Umformungen hab ich verstanden).
Ich verstehe bei den Umformungen oben die beiden letzten Summanden nicht ( ab [mm] \bruch{L^2}{2} BVdy
[/mm] ) . Ich würde gerne deine Formel aus deiner Antwort ( mit [mm] \sigma_1 \sigma_2 dt [/mm]) nehmen, aber ich kann dV nicht in die gewünschte Form bringen.
Weiter im Beweis:
Nun integrieren wir die obere Gleichung von t bis T und nehmen den Erwartungswert. Dies gibt (versteh ich auch nicht):
[mm] E_t ( B(r,T;T) V(r,t;T) - B(r,t;T) V(r,t;t))=0 [/mm] Daraus folgt dann die Behauptung.
Ich bin über Antworten sehr, sehr dankbar.
(es hat mich genau 70 min gekostet, diese Formeln hier einzugeben!  )
Danke,
Caro(lin)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:12 Mo 04.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Carolin!
> Beh:
> [mm]
B(r,t;T) = E_t exp (- \int_{t}^{T} r(q)\ dq - \bruch{1}{2} \int_{t}^{T} L^2 (r(q),q)\ dq - \int_{t}^{T} L(r(q),q)\ dZ(q))
[/mm]
>
>
> Bew:
>
> Definiere eine Hilfsfunktion:
> [mm]
V(r,t; y) = exp (- \int_{t}^{y} r(q)\ d(q) - \bruch{1}{2} \int_{t}^{y} L^2 (r(q),q)\ dq - \int_{t}^{y} L(r(q),q)\ dZ(q))
[/mm]
>
> Benutze Itos Differential-Regel, um B(r,y,T)V(r,t,y) zu
> berechnen. Dies gibt:
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> (Wir wissen, dass Folgendes gilt:
>
> [mm]dB = ( \bruch{ \partial B}{ \partial t} + u \bruch{ \partial B}{ \partial r} + \bruch{1}{2} w^2 \bruch{ \partial ^2 B}{ \partial r^2}) dt + w \bruch{ \partial B}{ \partial r} dZ [/mm].
> Also:
>
> [mm]d(BV) = VdB + BdV + dBdV [/mm] (das versteh ich noch)
(das ist eine Produktregel für stochastische Integrale; bei Riemann-Stieltjes-Differentialen hätte man den Termn $dBdV$ nicht).
Wir müssen nun mit der mehrdimensionalen Ito-Formel $dB$ (das habe wir schon allgemein hingeschrieben!) und $dV$ berechnen.
Bitte drucke mein Skript aus und lege es ab jetzt daneben.
Es gilt:
$dV = V(-r - [mm] \bruch{L^2}{2}) [/mm] dy -BVLdZ - [mm] \bruch{L^2}{2} [/mm] Vdy$.
Rechne das bitte mit Hilfe der mehrdimensionalen Ito-Formel aus meinem Skript nach.
Daraus folgt schon einmal:
$d(BV) = V( [mm] \bruch{ \partial B}{ \partial y} [/mm] + u [mm] \bruch{ \partial B}{ \partial r} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} w^2 \bruch{ \partial ^2 B}{ \partial r^2}) [/mm] dy + Vw [mm] \bruch{ \partial B}{ \partial r} [/mm] dZ + BV(-r - [mm] \bruch{L^2}{2}) [/mm] dy - BVLdZ + [mm] \bruch{L^2}{2} [/mm] BVdy [mm] +\red{dBdV}$.
[/mm]
Wir müssen nun noch [mm] $\red{dBdV}$ [/mm] berechnen. Das geht mit meiner Regel ganz einfach. Wir brauchen nämlich nur die beiden $dZ$-Terme miteinander zu multiplizieren (und [mm] $(dZ)^2=dy$ [/mm] beachten (bei mir hieß die Brownsche Bewegung $W$ und die Zeitvariable $t$, aber das ist natürlich egal!  ) und erhalten so
$dBdV = - VLw [mm] \bruch{ \partial B}{ \partial r}dy$.
[/mm]
Daraus folgt die behauptete Formel.
Da bei $dBdV$ nur noch Terme in $dZ$ vorkommen, ist $(B(r,y;T) [mm] \cdot V(r,t;y)_{y\ge 0}$ [/mm] ein Martingal bezüglich der von $Z$ erzeugten kanonischen Filtration.
Daraus folgt sofort:
[mm] $E[B(r_t,y;T) V(r,t;y)\, \vert \, Z_y] [/mm] = B(r,t;T) V(r,t;t)$,
also die Behauptung:
[mm]E_t [ B(r,T;T) V(r,t;T) - B(r,t;T) V(r,t;t)]=0[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:35 Di 05.10.2004 | | Autor: | Carolin |
Hallo Stefan!!
Vielen lieben Dank!!! Was hätt ich bloß ohne dich gemacht?
Jetzt hab ich alles verstanden und bin ein Ito-Freak *g*!
Ab Mai schreib ich meine Diplomarbeit in Finanzmathematik, dann hab ich bestimmt gaaaaanz viele Fragen (ist das eigentlich erlaubt, sich von anderen in der Diplomarbeit helfen zu lassen??).
Auf jeden Fall werd ich dann nochmal was posten. Jetzt kann ich leider nur die Fragen von irgendwelchen Schülern beantworten.
Danke nochmal,
bis bald,
Caro
----<------@
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:52 Mi 06.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Carolin!
> Vielen lieben Dank!!! Was hätt ich bloß ohne dich gemacht?
Gern geschehen.
> Ab Mai schreib ich meine Diplomarbeit in Finanzmathematik,
> dann hab ich bestimmt gaaaaanz viele Fragen (ist das
> eigentlich erlaubt, sich von anderen in der Diplomarbeit
> helfen zu lassen??).
Natürlich ist es erlaubt sich in der Diplomarbeit helfen zu lassen.
Leider habe ich praktisch keine Ahnung von Finanzmathematik, jedenfalls kenne ich nicht viel, was über den Standard hinausgeht. Ich habe es in meinem Studium nie gelernt (nur die Grundlagen dafür, also die Stochastische Analysis), musste es mir dann vor meiner wissenschaftlichen Tätigkeit und meiner "Teilzeit-Vorlesung" (zu der das Skript gehört) im Hauruck-Verfahren beibringen und habe mich anderthalb Jahre mit einigen Teilaspekten halbtags beschäftigt, weil ich den anderen halben Tage organisatorische Dinge (Bildungsarbeit) zu erledigen hatte. Seit zwei Monaten bin ich gar kein wissenschaftlicher Mitarbeiter mehr, sondern nur noch Amateurmathematiker, der Mathematik als reines Hobby betreibt. Das kann sich wieder ändern (weil ich die Möglichkeit habe eine Promotion zu versuchen und hoffentlich Vorlesungen an der FH Remagen zu halten), aber sowohl meine Promotion als auch meine Vorlesungen werden mit Sicherheit nichts mit Finanzmathematik zu tun haben. Kurzum: Ich bezweifle, dass ich dir bei deiner Diplomarbeit ab Mai helfen kann. Dennoch kannst du deine Fragen natürlich stellen.
> Auf jeden Fall werd ich dann nochmal was posten. Jetzt
> kann ich leider nur die Fragen von irgendwelchen Schülern
> beantworten.
Was heißt hier "nur"? Ist doch super, wir sind über jede Hilfe dankbar!!
Liebe Grüße
Stefan
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Hallo,
habe die Diskussion hier mitverfolgt und kann leider immer noch nicht nachvollziehen wie man dV berechnet. Kann jemand hier erklären wie man die mehrdimensionale Ito formel auf V anwendet um dV zu berechnen?
Vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Mo 01.04.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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