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mengensystem: idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 05:34 Di 24.10.2017
Autor: ser

Aufgabe
Betrachten Sie das Mengensystem A:={A⊆R:A ist höchstens abzählbar} auf R.  1.Bestimmen Sie σ(A).
2.Geben Sie ein endliches Maß μ:σ(A)→[0,∞]an, welches nicht die konstante Null-Abbildung ist.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


Bitte um eine Idee oder Tipp

        
Bezug
mengensystem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:41 Di 24.10.2017
Autor: fred97


> Betrachten Sie das Mengensystem A:={A⊆R:A ist höchstens
> abzählbar} auf R.  1.Bestimmen Sie σ(A).
>  2.Geben Sie ein endliches Maß μ:σ(A)→[0,∞]an,
> welches nicht die konstante Null-Abbildung ist.
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Leider sehe ich keine Frage .....

Aber dennoch:

Zunächst würde ich nicht schreiben A:={A⊆R:A ist höchstens abzählbar} , da A in zwei unterschiedlichen Bedeutungen vorkommt. Besser

[mm] \mathcal{E}:= [/mm] {A⊆R:A ist höchstens abzählbar}

Wir definieren:

[mm] \mathcal{B}:= [/mm] {A⊆R:A ist höchstens abzählbar oder R \ A ist höchstens abzählbar}.

Zeige nun:

[mm] \mathcal{B} [/mm] ist eine [mm] \sigma [/mm] - Algebra

und

[mm] \sigma(\mathcal{E})=\mathcal{B}. [/mm]

Zu 2.:

Definiere [mm] \mu [/mm] wie folgt:

[mm] \mu(A)=1, [/mm] falls 0 [mm] \in [/mm] A und [mm] \mu(A)=0, [/mm] falls 0 [mm] \notin [/mm] A.

Zeige, dass [mm] \mu [/mm] das Gewünschte leistet.




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