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metrischer Raum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:07 Mi 24.05.2006
Autor: stak44

Aufgabe
Sei (X,d) ein metrischer Raum, und seien f, g  [mm] \in [/mm] C(X, [mm] \IR). [/mm]
Zeigen Sie:
(a) Die Menge {x [mm] \in [/mm] X: f(x) [mm] \le [/mm] g(x)} ist abgeschlossen in X.
(b) Die Menge {x [mm] \in [/mm] X: f(x) < g(x)} ist offen in X.

Ich finde keinen Ansatz für die Aufgabe. Kann mir da jemand helfen?

LG

        
Bezug
metrischer Raum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:56 Mi 24.05.2006
Autor: felixf

Hallo stak!

> Sei (X,d) ein metrischer Raum, und seien f, g  [mm]\in[/mm] C(X,
> [mm]\IR).[/mm]
>  Zeigen Sie:
>  (a) Die Menge [mm]\{x \in X: f(x) \le g(x)\}[/mm] ist abgeschlossen
> in X.
>  (b) Die Menge [mm]\{x \in X: f(x) < g(x)\}[/mm] ist offen in X.
>  Ich finde keinen Ansatz für die Aufgabe. Kann mir da
> jemand helfen?

Du brauchst folgende zwei Fakten:
1) $C(X, [mm] \IR)$ [/mm] ist ein Vektorraum, bzw. du brauchst den Spezialfall $f - g [mm] \in [/mm] C(X, [mm] \IR)$. [/mm]
2) Ist $f : X [mm] \to [/mm] Y$ stetig, so sind Urbilder von offenen Mengen in $Y$ unter $f$ offen in $X$.

Jetzt versuch mal, die oben genannten Mengen als Urbilder von offenen oder abgeschlossenen Mengen in [mm] $\IR$ [/mm] unter der Funktion $f - g$ zu schreiben.

LG Felix


Bezug
                
Bezug
metrischer Raum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:09 Do 25.05.2006
Autor: stak44

  > Du brauchst folgende zwei Fakten:
>   1) [mm]C(X, \IR)[/mm] ist ein Vektorraum, bzw. du brauchst den
> Spezialfall [mm]f - g \in C(X, \IR)[/mm].
>   2) Ist [mm]f : X \to Y[/mm]
> stetig, so sind Urbilder von offenen Mengen in [mm]Y[/mm] unter [mm]f[/mm]
> offen in [mm]X[/mm].
>  
> Jetzt versuch mal, die oben genannten Mengen als Urbilder
> von offenen oder abgeschlossenen Mengen in [mm]\IR[/mm] unter der
> Funktion [mm]f - g[/mm] zu schreiben.

Wie komme ich denn auf die Urbilder?
LG

Bezug
                        
Bezug
metrischer Raum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:10 Do 25.05.2006
Autor: felixf

Hallo!

>   > Du brauchst folgende zwei Fakten:

>  >   1) [mm]C(X, \IR)[/mm] ist ein Vektorraum, bzw. du brauchst den
> > Spezialfall [mm]f - g \in C(X, \IR)[/mm].
>  >   2) Ist [mm]f : X \to Y[/mm]
> > stetig, so sind Urbilder von offenen Mengen in [mm]Y[/mm] unter [mm]f[/mm]
> > offen in [mm]X[/mm].
>  >  
> > Jetzt versuch mal, die oben genannten Mengen als Urbilder
> > von offenen oder abgeschlossenen Mengen in [mm]\IR[/mm] unter der
> > Funktion [mm]f - g[/mm] zu schreiben.
>  
> Wie komme ich denn auf die Urbilder?

Da musst du ein wenig knobeln. Wie ist denn das Urbild einer Menge unter einer Funktion definiert? Schreib doch z.B. mal das Urbild eines Intervalls $[a, b]$ unter der Funktion $f(x) - g(x)$ hin.

LG Felix


Bezug
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