metrischer Raum/Funktionen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:42 Mi 10.05.2006 | | Autor: | LenaFre |
| Aufgabe | Sei (X,d) metrischer Raum und f:(X,d) [mm] \to \IR^{n}. [/mm] Definiere [mm] f_{1},...,f_{n}:X\to\IR [/mm] durch [mm] f(x)=(f_{1}(x),....,f_{n}(x)) [/mm] für x [mm] \inX. [/mm] Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind.
i) f ist stetig
ii) [mm] f_{1},.....,f_{n} [/mm] sind stetig. |
Hallo zusammen! Mit der oben genannten Aufgabe komme ich leider nicht zurecht.
Also ich weiß, dass wenn ich einen metrischen Raum (X,d) habe, dass dann f:X [mm] \to \IR [/mm] stetig ist. (Dafür haben wir einen Satz aus der Vorlesung).
Also ist in diesem Fall alle [mm] f_{1},...,f_{n}:X\to\IR [/mm] stetig.
Aber weiter bin ich noch nicht gekommen! Ich hoffe ihr könnt mir helfen! Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:35 Mi 10.05.2006 | | Autor: | choosy |
> Sei (X,d) metrischer Raum und f:(X,d) [mm]\to \IR^{n}.[/mm]
> Definiere [mm]f_{1},...,f_{n}:X\to\IR[/mm] durch
> [mm]f(x)=(f_{1}(x),....,f_{n}(x))[/mm] für x [mm]\inX.[/mm] Zeigen Sie, dass
> folgende Aussagen äquivalent sind.
> i) f ist stetig
> ii) [mm]f_{1},.....,f_{n}[/mm] sind stetig.
> Hallo zusammen! Mit der oben genannten Aufgabe komme ich
> leider nicht zurecht.
> Also ich weiß, dass wenn ich einen metrischen Raum (X,d)
> habe, dass dann f:X [mm]\to \IR[/mm] stetig ist. (Dafür haben wir
> einen Satz aus der Vorlesung).
Das glaub ich nicht, dann wäre jede abbildung von [mm] $\IR$ [/mm] nach [mm] $\IR$ [/mm] stetig..
> Also ist in diesem Fall alle [mm]f_{1},...,f_{n}:X\to\IR[/mm]
> stetig.
mit sicherheit nicht.
>
> Aber weiter bin ich noch nicht gekommen! Ich hoffe ihr
> könnt mir helfen! Danke
Schauen wir mal, was wir da tu können
zuerst zeig ich "$i [mm] \Rightarrow [/mm] ii$"
Sei [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] beliebig
$f$ stetig, d.h.
$ [mm] \exists \delta [/mm] >0 [mm] \forall x,y\in [/mm] X, [mm] |x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon$
[/mm]
dann ist für [mm] $x,y\in [/mm] X$ mit [mm] $|x-y|<\delta$ [/mm] auch
[mm] $|f_i(x)-f_i(y)| [/mm] ^2 [mm] \leq\sum_{i=1}^n|f_i(x)-f_i(y)|^2=|f(x)-f(y)|^2<\varepsilon^2$
[/mm]
also ist [mm] $f_i$ [/mm] stetig, i=1...n
nun zur rückrichtung:
Sei [mm] $\varepsilon>0$beliebig, $f_i$ [/mm] stetig, i=1...n.
dann existieren [mm] $\delta_i$, [/mm] i=1...n, so das
[mm] $\forall x,y\in [/mm] X, [mm] |x-y|<\delta_i \Rightarrow |f_i(x)-f_i(y)|<\frac{\varepsilon}{\sqrt{n}}$
[/mm]
definiere nun [mm] $\delta [/mm] = [mm] min\{\delta_i:i=1...n\}$, [/mm] dann ist
für [mm] $x,y\in [/mm] X$ mit [mm] $|x-y|<\delta$
[/mm]
[mm] $|f(x)-f(y)|^2 [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^n\underbrace{|f_i(x)-f_i(y)|^2}_{<\varepsilon/\sqrt{n}}<\varepsilon^2$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Mi 10.05.2006 | | Autor: | LenaFre |
Hallo erstmal ganz herzlichen Dank für deine Antwort!
Ich habe noch ein paar Verständnisfragen:
| [mm] f_{i}(x)- f_{i}(y)|^{2} \le \summe_{i=1}^{n} [/mm] | [mm] f_{i}(x)- f_{i}(y)|^{2}= |f(x)-f(y)|<\varepsilon^{2}
[/mm]
Wie kommst du auf diese Zeile? Insbesondere auf | [mm] f_{i}(x)- f_{i}(y)|^{2}? [/mm] Und wo verwendest du | x-y|< [mm] \delta
[/mm]
Das Gleich gilt für die andere Richtung? Und wie komme ich auf [mm] \bruch{ \varepsilon}{ \wurzel{n}}?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:21 Mi 10.05.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
erst mal ein paar Anmerkungen zur Antwort von choosy:
mit den Betragsstrichen wäre ich vorsichtig, wenn nur von einem metrischen Raum die Rede ist - nicht jede Metrik kommt auch von einer Norm(also einem "Betrag"). Statt [mm]|x-y|[/mm] wäre also [mm]d(x,y)[/mm] angebrachter, aber das ändert ja nichts am Grundgedanken.
Eine andere Frage ist, wie bei euch die Metrik auf dem Produktraum überhaupt definiert ist, denn da gäbe es mehrere Möglichkeiten. Wenn [mm]d((x_1,x_2),(y_1,y_2)) = \wurzel{(d_1(x_1,y_1))^2+(d_2(x_2,y_2))^2}[/mm], dann kann man die Lösung so übernehmen, wenn nicht dann ist die Übertragung auf eure Definition eine gute Übung, ob Du die Grundidee im Beweis verstanden hast.
Zu Deinen Fragen (ich steige jetzt aber von den Beträgen auf die d-Schreibweise um, also Achtung!):
> Hallo erstmal ganz herzlichen Dank für deine Antwort!
> Ich habe noch ein paar Verständnisfragen:
>
> | [mm]f_{i}(x)- f_{i}(y)|^{2} \le \summe_{i=1}^{n}[/mm] |
> [mm]f_{i}(x)- f_{i}(y)|^{2}= |f(x)-f(y)|<\varepsilon^{2}[/mm]
> Wie
> kommst du auf diese Zeile? Insbesondere auf | [mm]f_{i}(x)- f_{i}(y)|^{2}?[/mm]
Um die Stetigkeit von [mm] f_i [/mm] zu zeigen muss Du ja zeigen, dass [mm]d(f_i(x),f_i(y)) < \varepsilon[/mm] ist, also schadet es ja nicht, sich das schon mal hinzuschreiben. Anschließend versucht man dann eben es durch etwas "bekannteres" (in diesem Fall also [mm]d(f(x),f(y))[/mm]) abzuschätzen.
> Und wo verwendest du | x-y|< [mm]\delta[/mm]
Die Ausgangssituation in diesem Schritt war ja, dass für [mm]d(x,y)<\delta[/mm] gilt, dass [mm]d(f(x),f(y)<\varepsilon[/mm]. Das letzte "<"-Zeichen in der Zeile gilt deswegen auch nur unter der Voraussetzung [mm]d(x,y)<\delta[/mm].
>
> Das Gleich gilt für die andere Richtung? Und wie komme ich
> auf [mm]\bruch{ \varepsilon}{ \wurzel{n}}?[/mm]
Fang einfach wieder mit dem Ausdruck an, den Du zeigen willst:
[mm] d(f(x),f(y))<\varepsilon[/mm] mit irgendeinem vorgegebenen [mm] \varepsilon [/mm] und x und y "dicht genug beisammen".
- Wie kannst Du nun die Abstände im Produktraum durch die Abstände der einzelnen Komponenten ausdrücken?
- Und was bekommst Du weiter, wenn Du [mm]d(f_i(x),f_i(y))<\varepsilon[/mm] für jede einzelne Komponente annimmst?
- Wie dicht müssen f_(x) und [mm] f_i(y) [/mm] also wirklich zusammen liegen, dass wir bei der Gesamtfunktion höchstens auf [mm] \varepsilon [/mm] kommen?
Gruß
piet
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:39 Do 11.05.2006 | | Autor: | choosy |
hui ja nur ein metrischer raum... sowas passiert wenn man noch mal eben schnell eine antwort verfassen will...
mit der norm auf dem produktraum ist allerdings imho. egal, da die normen eh äquivalent sind...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:09 Do 11.05.2006 | | Autor: | piet.t |
Ja, ieigentlichist das mit der Produktmetrik vom Prinzip her egal, aber man müsste es eben eventuell noch etwas Umformulieren (was im Interesse des Lerneffekts sicher nicht schlecht wäre ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]") )
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