matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenGruppe, Ring, Körperminimale normale Untergruppe
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Gruppe, Ring, Körper" - minimale normale Untergruppe
minimale normale Untergruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

minimale normale Untergruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:18 Mi 21.11.2012
Autor: Loko

Aufgabe
G endliche Gruppe. N Normalteiler von G.
Z.z.: (Soc(N))/(N [mm] \cap [/mm] Soc(G)) ist eine 'semi-einfache' abelsche Gruppe

Hallo!

Zunächst zur Sicherheit unsere Definitionen dazu:
Soc(G) ist die Untergruppe erzeugt von den minimalen Normalteilern Gs.
G ist semi-einfach, wenn Soc(G)=G.
Also wenn G das Produkt seiner minimalen Normalteiler ist. Für G endlich das direkte Produkt.

Ich habe mir jetzt erstmal einen einfacheren Fall angeguckt:
- angenommen N sei ein minimaler Normalteiler. Dann ist N [mm] \cap [/mm] Soc(G) = N.
zunächst habe ich gezeigt, dass Soc(N)/N abelsch ist.
Soc(N)/N ist abelsch [mm] \gdw [/mm] (Soc(N))' [mm] \subsetqe [/mm] N. (den Beweis lasse ich hier jetzt weg, wenn ihn wer sehen möchte sagt bescheid :) )
Mit (Soc(N))' = {[u,v] : u,v [mm] \in [/mm] Soc(N)} gilt das.

Also fehlt noch Soc(Soc(N)/N) = Soc(N)/N.
Das gilt wenn unser Soc(N)/N Produkt seiner minimalen Normalteiler ist.
Soc(N) = [mm] U_{1} \times U_{2} \times [/mm] ... [mm] \times U_{r} (U_{i} [/mm] mini. NT).
Ich meine mich zu erinnern, das folgendes gilt:
[mm] (U_{1} \times U_{2} \times [/mm] ... [mm] \times U_{r})/N \cong U_{1}/N \times [/mm] ... [mm] \times U_{r}/N. [/mm]
Stimmt das?

Wie kann ich hier jetzt weiter machen? Und ist es überhaupt sinnvoll, dass ich mit der reduzierten Variante anfange?

Ganz lg :)
Loko

        
Bezug
minimale normale Untergruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:35 Fr 23.11.2012
Autor: hippias


> G endliche Gruppe. N Normalteiler von G.
> Z.z.: (Soc(N))/(N [mm]\cap[/mm] Soc(G)) ist eine 'semi-einfache'
> abelsche Gruppe
>  Hallo!
>  
> Zunächst zur Sicherheit unsere Definitionen dazu:
>  Soc(G) ist die Untergruppe erzeugt von den minimalen
> Normalteilern Gs.
>  G ist semi-einfach, wenn Soc(G)=G.
> Also wenn G das Produkt seiner minimalen Normalteiler ist.
> Für G endlich das direkte Produkt.
>  
> Ich habe mir jetzt erstmal einen einfacheren Fall
> angeguckt:
>  - angenommen N sei ein minimaler Normalteiler. Dann ist N
> [mm]\cap[/mm] Soc(G) = N.
> zunächst habe ich gezeigt, dass Soc(N)/N abelsch ist.

Wenn Du eine Faktorstruktur bildest, steht "unten" immer die kleinere Struktur; obwohl es hier funktioniert, weil eben $Soc(N)= N$ ist, wuerdest Du eher nur $N/Soc(N)$ bilden koennen.

> Soc(N)/N ist abelsch [mm]\gdw[/mm] (Soc(N))' [mm]\subsetqe[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

> N. (den

> Beweis lasse ich hier jetzt weg, wenn ihn wer sehen möchte
> sagt bescheid :) )
>  Mit (Soc(N))' = {[u,v] : u,v [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Soc(N)} gilt das.
Naja, Du hast den Beweis ja weggelassen, aber ich habe groesste Zweifel, dass die Argumentation richtig ist.  

>
> Also fehlt noch Soc(Soc(N)/N) = Soc(N)/N.
>  Das gilt wenn unser Soc(N)/N Produkt seiner minimalen
> Normalteiler ist.
>  Soc(N) = [mm]U_{1} \times U_{2} \times[/mm] ... [mm]\times U_{r} (U_{i}[/mm]
> mini. NT).
>  Ich meine mich zu erinnern, das folgendes gilt:
>  [mm](U_{1} \times U_{2} \times[/mm] ... [mm]\times U_{r})/N \cong U_{1}/N \times[/mm]
> ... [mm]\times U_{r}/N.[/mm]
>  Stimmt das?

Nein, wenn Du die Oberstruktur ausfaktorisiert kommt ueberall $1$ heraus.

>
> Wie kann ich hier jetzt weiter machen? Und ist es
> überhaupt sinnvoll, dass ich mit der reduzierten Variante
> anfange?

Mein Tip: Mache Dir ein paar grundsaetzliche Beziehungen klar: Wenn $N$ Normalteiler von $G$ ist,dann zerfaellt die Menge der minimalen Normalteiler von $G$ einerseits in die Teilmenge, die die minimalen Ntler enthaelt, die in in $N$ enthalten sind, und denen, die mit $N$ trivialen Durchschnitt haben.
Ferner: Ist $L$ minimaler Nt. von $N$, was kann man kann ueber Normalteiler [mm] $L^{G}$ [/mm] von $G$ hinsichtlich des Sockels sagen?  

>  
> Ganz lg :)
>  Loko


Bezug
                
Bezug
minimale normale Untergruppe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:54 Fr 23.11.2012
Autor: Loko

Hallo!
Die Aussage wo ich den Beweis weggelassen habe, da sollte eigentlich
"Soc(N)/N ist abelsch [mm] \gdw [/mm] (Soc(N))'  [mm] \subseteq [/mm]  N"
stehen.

Vielen Dank jedenfalls für deine Antwort!!
Ich werd mir das also nochmal genauer anschauen.

Lg :)

Bezug
                        
Bezug
minimale normale Untergruppe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:59 Sa 24.11.2012
Autor: hippias


> Hallo!
>  Die Aussage wo ich den Beweis weggelassen habe, da sollte
> eigentlich
> "Soc(N)/N ist abelsch [mm]\gdw[/mm] (Soc(N))'  [mm]\subseteq[/mm]  N"
>  stehen.
>  
> Vielen Dank jedenfalls für deine Antwort!!
>  Ich werd mir das also nochmal genauer anschauen.
>  
> Lg :)

Die Aussage $G/N$ abelsch [mm] $\iff G'\leq [/mm] N$ ist natuerlich richtig, aber sinnvoll ist ist sie nur, wie gesagt, wenn $N$ in $G$ enthalten ist (und Normalteiler) und nicht umgekehrt. Du hast die Vertauschung, glaube ich, ziemlich haeufig in Deinem Text.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]