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Forum "Funktionalanalysis" - monoton fallende Funktion
monoton fallende Funktion < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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monoton fallende Funktion: Übung
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 22:33 Mi 03.06.2015
Autor: xarmar

Aufgabe
Sei Ω [mm] \subset \IR^{\IN} [/mm] beschränktes Gebiet mit [mm] C^{\infty}-Rand [/mm] und sei [mm] G(x,y,t)=\summe_{n=1}^{\infty}e^{-\lambda_{n}t}b_{n}(x)b_{n}(y). [/mm] Für g [mm] \in L^{2}( [/mm] Ω ) ist [mm] u(x,t)=\integral_{Ω}^{}{G(x,y,t)g(y)dy}. [/mm] Sei [mm] a:[0,\infty)->[0, \infty) [/mm] mit [mm] a(t)=\parallel [/mm] u(x,t) [mm] \parallel _{L^{2}( Ω )}=(\integral_{ Ω }^{}{|u(x,t)|^{2}dx})^{1/2}. [/mm] Zeigen Sie, dass a monoton fällt.

Wir wissen, dass [mm] a(0)=\parallel [/mm] g [mm] \parallel _L^{2}( [/mm] Ω ). Ich muss also zeigen, dass für [mm] t_{1} \le t_{2} a(t_{1}) \ge a(t_{2}). [/mm] Für [mm] t_{1}=0 [/mm] und [mm] t_{2}=1 [/mm] ich muss also zeigen, dass [mm] \parallel u(x,1)\parallel_{L^{2}( Ω )} \le \parallel [/mm] g [mm] \parallel_{L^{2}( Ω )}. [/mm]
So bekomme ich: [mm] \integral_{Ω}^{}{ |\summe_{n=1}^{\infty}e^{-\lambda_{n}t}b_{n}(x)b_{n}(y)g(y)|^{2}dydx} \le \integral_{ Ω }^{}{|g(x)|^{2}dx}. [/mm] Ist es ok bis da? Und was soll ich jetzt weiter machen?
Auf einen Antwort würde ich mich freuen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
monoton fallende Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:44 Do 04.06.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

was sollen denn die [mm] $b_n$'s [/mm] sein?
Ich hab da ne Vermutung, hätte sie nur gerne bestätigt :-)

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
monoton fallende Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:02 Do 04.06.2015
Autor: xarmar

Hi Gono!
[mm] b_{n} [/mm] ist eine Orthonormalbasis des [mm] L^{2}( [/mm] Ω ) aus Eigenvektoren mit [mm] \lambda_{n} [/mm] Eigenwerte des Laplace Operators mit Dirichlet Randbedingungen.

Bezug
        
Bezug
monoton fallende Funktion: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:20 Di 09.06.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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