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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:07 Sa 18.10.2014 | | Autor: | ne1 |
Hallo,
erst mal bisschen Theorie.
Mit G2 werden ich das zweite Axiom der Gruppe bezeichnen.
Man betrachte folgende Abbildungen für ein festes $a [mm] \in [/mm] G$:
[mm] $t_a: [/mm] G [mm] \rightarrow [/mm] G, x [mm] \mapsto [/mm] x [mm] \cdot [/mm] a$
$_a t: G [mm] \rightarrow [/mm] G, x [mm] \mapsto [/mm] a [mm] \cdot [/mm] x$
Lemma:
1) Ist $G$ eine Gruppe, so sind für jedes $a [mm] \in [/mm] G$ die obigen Abbildungen bijektiv.
2) Ist umgekehrt $G$ eine Menge mit einer assoziativen Verknüpfung, so folgt G2 aus der Surjektivität der obigen Abbildungen.
Eine Verknüpfung einer endlichen Menge $G = [mm] \{a_1, ..., a_n\}$ [/mm] kann man in einer Matrix aufschreiben. Dabei steht [mm] $a_i \cdot a_j$ [/mm] in der i-ten Zeile und der j-ten Spalte.
A: Ob das Gruppenaxiom G2 erfüllt ist kann man nach dem obigem Lemma daran, erkennen, ob jeder Zeile und jede Spalte der Tafel eine Permutation von [mm] $a_1, [/mm] ..., [mm] a_n$ [/mm] ist.
Jetzt kommen meine Fragen.
Erstens verstehe nicht ganz den Beweis vom Lemma 2). Der lautet: Seien die Gleichungen $x [mm] \cdot [/mm] a = b$ und $a [mm] \cdot [/mm] y = b$ für beliebige $a, b [mm] \in [/mm] G$ lösbar. Dann gibt es zu $a$ ein $e$ mit $e [mm] \cdot [/mm] a = a$. Ist $b [mm] \in [/mm] G$ beliebig, so ist $e [mm] \cdot [/mm] b = e [mm] \cdot [/mm] (a [mm] \cdot [/mm] y) = (e [mm] \cdot [/mm] a) [mm] \cdot [/mm] y = a [mm] \cdot [/mm] y = b$, also existiert ein neutrales Element. Durch Lösen der Gleichung $x [mm] \cdot [/mm] a = e$ erhält man das inverse Element von $a$.
Die rot markierte Stelle verstehe ich nicht. Warum gibt es so ein $e$?
Zweitens weiß ich nicht wie mir das Lemma helfen kann, von den Permutationen und dem Lemma auf G2 zu schließen. Wenn ich das richtig sehe, relevant wird nur der Punkt 2) bei dem Lemma. Wenn ich diese Permutationen in jeder Zeile / Spalte habe, dann sehe ich zwar, dass meine obigen Abbildungen Surjektiv sein müssen. Um jetzt mithilfe von Lemma 2 auf G2 zu schließen benötige ich doch noch die Information, dass die Verknüpfung assoziativ ist und das sehe ich direkt an der Matrix nicht. Denke ich falsch?
Vielen Dank im Voraus.
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> Hallo,
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> erst mal bisschen Theorie.
>
> Mit G2 werden ich das zweite Axiom der Gruppe bezeichnen.
Hallo,
es ist immer gut hinzuschreiben, wie dieses formuliert ist.
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> Man betrachte folgende Abbildungen für ein festes [mm]a \in G[/mm]:
>
> [mm]t_a: G \rightarrow G, x \mapsto x \cdot a[/mm]
> [mm]_a t: G \rightarrow G, x \mapsto a \cdot x[/mm]
>
> Lemma:
> 1) Ist [mm]G[/mm] eine Gruppe, so sind für jedes [mm]a \in G[/mm] die
> obigen Abbildungen bijektiv.
> 2) Ist umgekehrt [mm]G[/mm] eine Menge mit einer assoziativen
> Verknüpfung, so folgt G2 aus der Surjektivität der obigen
> Abbildungen.
>
> Eine Verknüpfung einer endlichen Menge [mm]G = \{a_1, ..., a_n\}[/mm]
> kann man in einer Matrix aufschreiben. Dabei steht [mm]a_i \cdot a_j[/mm]
> in der i-ten Zeile und der j-ten Spalte.
>
> A: Ob das Gruppenaxiom G2 erfüllt ist kann man nach dem
> obigem Lemma daran, erkennen, ob jeder Zeile und jede
> Spalte der Tafel eine Permutation von [mm]a_1, ..., a_n[/mm] ist.
>
>
> Jetzt kommen meine Fragen.
>
> Erstens verstehe nicht ganz den Beweis vom Lemma 2). Der
> lautet: Seien die Gleichungen [mm]x \cdot a = b[/mm] und [mm]a \cdot y = b[/mm]
> für beliebige [mm]a, b \in G[/mm] lösbar. Dann gibt es zu [mm]a[/mm] ein [mm]e[/mm]
> [color=red]mit [mm]e \cdot a = a[/mm]. [/color]Ist [mm]b \in G[/mm] beliebig, so ist [mm]e \cdot b = e \cdot (a \cdot y) = (e \cdot a) \cdot y = a \cdot y = b[/mm],
> also existiert ein neutrales Element. Durch Lösen der
> Gleichung [mm]x \cdot a = e[/mm] erhält man das inverse Element von
> [mm]a[/mm].
>
> Die rot markierte Stelle verstehe ich nicht. Warum gibt es
> so ein [mm]e[/mm]?
Gezeigt werden soll: sind die beiden Abbildungen surjektiv, und ist G eine Menge mit einer assoziativen Verknüpfung, so gibt es ein neutrales Element.
Beweis: Sei [mm] a\in [/mm] G.
Wenn die beiden Verknüpfungen [mm] t_a [/mm] und [mm] a_t [/mm] surjektiv sind, sind für jedes [mm] b\in [/mm] G die beiden Gleichungen x*a=b und a*y=b lösbar.
Wenn dies der Fall ist, ist Gleichung x*a=b auch für b=a lösbar.
Man findet also ein Element aus G, nennen wir es e, für welches gilt e*a=a.
Das ist die rotmarkierte Stelle.
Und dann wird gezeigt, daß dieses Element e das neutrale Element ist.
>
>
> Zweitens weiß ich nicht wie mir das Lemma helfen kann, von
> den Permutationen und dem Lemma auf G2 zu schließen.
Hm.
Wenn wir diese Permutationen in Zeilen und Spalten haben, habe wir doch gerade für jedes a, daß die Abbildungen [mm] t_a [/mm] und [mm] a_t [/mm] bijektiv sind.
Und in 2) wurde gezeigt, daß man, sofern die Verknüpfung assoziativ ist, ein neutrales Element hat.
Achso. Das sagst Du ja genauso.
LG Angela
> Wenn
> ich das richtig sehe, relevant wird nur der Punkt 2) bei
> dem Lemma. Wenn ich diese Permutationen in jeder Zeile /
> Spalte habe, dann sehe ich zwar, dass meine obigen
> Abbildungen Surjektiv sein müssen. Um jetzt mithilfe von
> Lemma 2 auf G2 zu schließen benötige ich doch noch die
> Information, dass die Verknüpfung assoziativ ist und das
> sehe ich direkt an der Matrix nicht. Denke ich falsch?
>
>
> Vielen Dank im Voraus.
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 Sa 18.10.2014 | | Autor: | ne1 |
Hallo,
danke für Deine schnelle Antwort. Die erste Frage hat sich definitiv erledigt.
Die Antwort auf meine zweite Frage ist mir immer noch nicht ganz klar. Ich sehe zwar die Bijektivität. Um auf G2 zu kommen muss ich aber noch wissen, dass $G$ Surjektiv ist und eine assoziative Verknüpfung besitzt. Die Surjektivität habe ich direkt aus der Bijektivität, wie ist es aber mit der Assoziativität? Impliziert die Bijektivität der beiden Abbildungen, die Existenz einer assoziativen Verknüpfungen auf $G$?
Mein Versuch:
Zu beweisen "Wenn beide Abbildungen bijektiv => assoziative Verknüpfung auf $G$".
Beweis:
Seien beliebige $a, b, c [mm] \in [/mm] G$ und [mm] $\cdot$ [/mm] eine Verknüpfung auf $G$. Zu zeigen ist $(a [mm] \cdot [/mm] b) [mm] \cdot [/mm] c = a [mm] \cdot [/mm] (b [mm] \cdot [/mm] c)$. Aus der Bijektivität der Abbildungen wissen wir, dass für [mm] $(a\cdot [/mm] b) [mm] \cdot [/mm] c$ ein eindeutiges $a [mm] \cdot [/mm] b$ existiert, so dass $(a [mm] \cdot [/mm] b) [mm] \cdot [/mm] c [mm] \in [/mm] G$. Wieder durch Bijektivität erhalten wir, dass es ein eindeutiges $a$ gibt, so dass $a [mm] \cdot [/mm] b [mm] \in [/mm] G$. Es gibt also ein eindeutiges $a$, so dass $(a [mm] \cdot [/mm] b) [mm] \cdot [/mm] c [mm] \in [/mm] G$.
Auf der anderen Seite folgt aus der Bijektivität, dass es ein eindeutiges $a$ gibt, so dass $a [mm] \cdot [/mm] (b [mm] \cdot [/mm] c) [mm] \in [/mm] G$. Somit muss $(a [mm] \cdot [/mm] b) [mm] \cdot [/mm] c = a [mm] \cdot [/mm] (b [mm] \cdot [/mm] c)$ gelten.
Damit habe ich auf der einen Seite Assoziativität und auf der anderen Seite Surjektivität und aus Lemma 2 folgt G2.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:35 Sa 18.10.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
in 2) steht doch, dass es sich um eine Menge mit assoziativer Verknüpfung handelt!
Gruß leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:23 Sa 18.10.2014 | | Autor: | ne1 |
> Hallo
> in 2) steht doch, dass es sich um eine Menge mit
> assoziativer Verknüpfung handelt!
> Gruß leduart
Es geht darum aus den Permutationen G2 schlusszufolgern und zwar mithilfe des Lemmas. Ich kann doch nicht Lemma 2) verwenden ohne zu wissen, dass die Abbildungen surjektiv sind und die Verknüpfung assoziativ ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:06 So 19.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo ne1!
> Die Antwort auf meine zweite Frage ist mir immer noch nicht
> ganz klar. Ich sehe zwar die Bijektivität. Um auf G2 zu
> kommen muss ich aber noch wissen, dass [mm]G[/mm] Surjektiv ist und
> eine assoziative Verknüpfung besitzt. Die Surjektivität
> habe ich direkt aus der Bijektivität, wie ist es aber mit
> der Assoziativität? Impliziert die Bijektivität der
> beiden Abbildungen, die Existenz einer assoziativen
> Verknüpfungen auf [mm]G[/mm]?
Du meinst: Impliziert die Bijektivität der beiden Abbildungen die Assoziativität der Verknüpfung auf $G$?
Die Antwort: Nein.
Also kann dein folgender Beweis schon nicht stimmen.
> Mein Versuch:
> Zu beweisen "Wenn beide Abbildungen bijektiv =>
> assoziative Verknüpfung auf [mm]G[/mm]".
>
> Beweis:
> Seien beliebige [mm]a, b, c \in G[/mm] und [mm]\cdot[/mm] eine Verknüpfung
> auf [mm]G[/mm]. Zu zeigen ist [mm](a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)[/mm].
Das wäre ein guter Anfang für einen solchen Beweis.
> Aus der Bijektivität der Abbildungen wissen wir, dass für
> [mm](a\cdot b) \cdot c[/mm] ein eindeutiges [mm]a \cdot b[/mm] existiert, so
> dass [mm](a \cdot b) \cdot c \in G[/mm].
Es hat keine sinnvolle Bedeutung zu sagen, es existiere ein [mm] $a\cdot [/mm] b$ mit gewissen Eigenschaften.
$a$ und $b$ (und damit auch [mm] $a\cdot [/mm] b$) sind im Moment feste Elemente von $G$.
Verwende für Existenzaussagen eine (!) neue (!) Variable, z.B. x:
"Es existiert ein eindeutiges [mm] $x\in [/mm] G$ mit ... ."
[mm] $(a\cdot b)\cdot c\in [/mm] G$ gilt natürlich genauso wie [mm] $x\cdot c\in [/mm] G$ für ALLE [mm] $x\in [/mm] G$.
> Wieder durch Bijektivität
> erhalten wir, dass es ein eindeutiges [mm]a[/mm] gibt, so dass [mm]a \cdot b \in G[/mm].
Die gleichen Fehler.
> Es gibt also ein eindeutiges [mm]a[/mm], so dass [mm](a \cdot b) \cdot c \in G[/mm].
Ebenso.
> Auf der anderen Seite folgt aus der Bijektivität, dass es
> ein eindeutiges [mm]a[/mm] gibt, so dass [mm]a \cdot (b \cdot c) \in G[/mm].
Erneut.
> Somit muss [mm](a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)[/mm]
> gelten.
Nein.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:28 Sa 18.10.2014 | | Autor: | ne1 |
Hallo,
leider muss ich ganz ehrlich zugeben, dass ich ein wenig verwirrt bin und Deine Antwort auf meine zweite Frage doch nicht verstanden habe. Ich dachte zuerst folgendermaßen zu argumentieren:
"Permutationen => Surjektive Abbildung und Assoziativität der Verknüpfung von $G$ =>(Lemma 2) G2".
Jetzt weiß ich, aber das Permutationen nicht notwendigerweise eine Assoziativität implizieren müssen, denn in diesem Fall wäre jede Matrix mit Permutationen in allen Spalten und Zeilen eine Gruppe, was nicht sein muss. Deshalb weiß ich nicht wie mir das Lemma helfen sollte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:16 So 19.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> leider muss ich ganz ehrlich zugeben, dass ich ein wenig
> verwirrt bin und Deine Antwort auf meine zweite Frage doch
> nicht verstanden habe. Ich dachte zuerst folgendermaßen zu
> argumentieren:
> "Permutationen => Surjektive Abbildung und Assoziativität
> der Verknüpfung von [mm]G[/mm] =>(Lemma 2) G2".
>
> Jetzt weiß ich, aber das Permutationen nicht
> notwendigerweise eine Assoziativität implizieren müssen,
> denn in diesem Fall wäre jede Matrix mit Permutationen in
> allen Spalten und Zeilen eine Gruppe, was nicht sein muss.
> Deshalb weiß ich nicht wie mir das Lemma helfen sollte.
es liegt vielleicht an der späten Stunde, aber ich denke, es wäre vielleicht
hilfreich, wenn Du mal ganz genau hinschreibst, welche Assoziativität Dir
unklar ist?!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:52 So 19.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo ne1!
> 2) Ist umgekehrt [mm]G[/mm] eine Menge mit einer assoziativen
> Verknüpfung, so folgt G2 aus der Surjektivität der obigen
> Abbildungen.
Hier muss noch [mm] $G\not=\emptyset$ [/mm] gefordert werden, sonst stimmt die Aussage nicht.
Im Beweis dieses Lemma-Teils wird aus der Surjektivität obiger Abbildungen nicht nur G2, sondern auch G3 gefolgert.
> Eine Verknüpfung einer endlichen Menge [mm]G = \{a_1, ..., a_n\}[/mm]
> kann man in einer Matrix aufschreiben. Dabei steht [mm]a_i \cdot a_j[/mm]
> in der i-ten Zeile und der j-ten Spalte.
>
> A: Ob das Gruppenaxiom G2 erfüllt ist kann man nach dem
> obigem Lemma daran, erkennen, ob jeder Zeile und jede
> Spalte der Tafel eine Permutation von [mm]a_1, ..., a_n[/mm] ist.
> Zweitens weiß ich nicht wie mir das Lemma helfen kann, von
> den Permutationen und dem Lemma auf G2 zu schließen. Wenn
> ich das richtig sehe, relevant wird nur der Punkt 2) bei
> dem Lemma.
Ja.
> Wenn ich diese Permutationen in jeder Zeile /
> Spalte habe, dann sehe ich zwar, dass meine obigen
> Abbildungen Surjektiv sein müssen. Um jetzt mithilfe von
> Lemma 2 auf G2 zu schließen benötige ich doch noch die
> Information, dass die Verknüpfung assoziativ ist und das
> sehe ich direkt an der Matrix nicht. Denke ich falsch?
Nein, du denkst völlig richtig.
Allein aus "Permutationen in jeder Zeile und Spalte", folgt weder die Assoziativität der Verknüpfung noch G2.
Du kannst das Lemma also nur auf eine Verknüpfung anwenden, wenn du dir irgendwie anders klarmachen kannst, dass die Verknüpfung assoziativ ist.
(Hinzu kommt, dass man G2 im Gegensatz zur Assoziativität ohnehin recht leicht an der Verknüpfungstabelle ablesen kann.)
Der Nutzen des Lemmas im Zusammenhang mit Verknüpfungstabellen dürfte am ehesten folgender sein:
Wenn eine Verknüpfung bereits als assoziativ bekannt ist, kann man sich so schnell G2 und G3 in einem Rutsch klarmachen.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:37 So 19.10.2014 | | Autor: | ne1 |
> Im Beweis dieses Lemma-Teils wird aus der Surjektivität
> obiger Abbildungen nicht nur G2, sondern auch G3
> gefolgert.
Unter G2 verstehe ich die ganze Zeit Existenz eines neutrales $e$, so dass
a) für alle $a$, $e [mm] \cdot [/mm] a = a$
b) für alle $a$, gibt es ein $b$, so dass $b [mm] \cdot [/mm] a = e$.
Für Dich war wahrscheinlich G2 a) und G3 b).
> Allein aus "Permutationen in jeder Zeile und Spalte", folgt
> weder die Assoziativität der Verknüpfung noch G2.
Das ist falsch. Aus "Permutationen in jeder Zeile und Spalte" folgt definitiv G2.
> Du kannst das Lemma also nur auf eine Verknüpfung
> anwenden, wenn du dir irgendwie anders klarmachen kannst,
> dass die Verknüpfung assoziativ ist.
>
> (Hinzu kommt, dass man G2 im Gegensatz zur Assoziativität
> ohnehin recht leicht an der Verknüpfungstabelle ablesen
> kann.)
>
> Der Nutzen des Lemmas im Zusammenhang mit
> Verknüpfungstabellen dürfte am ehesten folgender sein:
> Wenn eine Verknüpfung bereits als assoziativ bekannt ist,
> kann man sich so schnell G2 und G3 in einem Rutsch
> klarmachen.
>
Das sehe ich genau so.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:51 So 19.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
> > Im Beweis dieses Lemma-Teils wird aus der Surjektivität
> > obiger Abbildungen nicht nur G2, sondern auch G3
> > gefolgert.
>
> Unter G2 verstehe ich die ganze Zeit Existenz eines
> neutrales [mm]e[/mm], so dass
> a) für alle [mm]a[/mm], [mm]e \cdot a = a[/mm]
> b) für alle [mm]a[/mm], gibt es ein
> [mm]b[/mm], so dass [mm]b \cdot a = e[/mm].
>
> Für Dich war wahrscheinlich G2 a) und G3 b).
Richtig. Da habe ich eure Bezeichnungen falsch angenommen.
> > Allein aus "Permutationen in jeder Zeile und Spalte", folgt
> > weder die Assoziativität der Verknüpfung noch G2.
>
> Das ist falsch. Aus "Permutationen in jeder Zeile und
> Spalte" folgt definitiv G2.
Im Allgemeinen nur für assoziative Verknüpfungen.
Betrachte z.B. die durch folgende Tabelle gegebene Verknüpfung auf [mm] $\{0,1,2\}$:
[/mm]
[mm] $\begin{tabular}{c||c|c|c}*&0&1&2\\\hline\hline0&0&2&1\\\hline1&2&1&0\\\hline2&1&0&2\\\end{tabular}$
[/mm]
Jede Zeile und jede Spalte stellt eine Permutation von [mm] $\{0,1,2\}$ [/mm] dar, aber weder $e=0$ noch $e=1$ noch $e=2$ erfüllt G2a).
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 So 19.10.2014 | | Autor: | ne1 |
> > > Allein aus "Permutationen in jeder Zeile und Spalte", folgt
> > > weder die Assoziativität der Verknüpfung noch G2.
> >
> > Das ist falsch. Aus "Permutationen in jeder Zeile und
> > Spalte" folgt definitiv G2.
> Im Allgemeinen nur für assoziative Verknüpfungen.
>
> Betrachte z.B. die durch folgende Tabelle gegebene
> Verknüpfung auf [mm]\{0,1,2\}[/mm]:
>
> [mm]\begin{tabular}{c||c|c|c}*&0&1&2\\\hline\hline0&0&2&1\\\hline1&2&1&0\\\hline2&1&0&2\\\end{tabular}[/mm]
>
> Jede Zeile und jede Spalte stellt eine Permutation von
> [mm]\{0,1,2\}[/mm] dar, aber weder [mm]e=0[/mm] noch [mm]e=1[/mm] noch [mm]e=2[/mm] erfüllt
> G2a).
Natürlich hast Du recht. Ich muss mich bei Dir entschuldigen.
Immer noch bin ich also bisschen verzweifelt. Ich arbeite mit dem Fischer und da habe ich folgenden Satz stehen (S. 46): "Ob das Gruppenaxiom G2 erfüllt ist, kann man dann nach obigem Lemma daran erkennen, ob jeder Zeile und jede Spalte der Tafel eine Permutation von [mm] $a_1, [/mm] ..., [mm] a_n$ [/mm] ist". Die Frage ist jetzt, was der Autor damit gemeint hat. Ich würde spontan sagen, er ist davon ausgegangen, dass Assoziativität bereits vorhanden ist und dann mithilfe der Surjektivität, könnte man aus Lemma 2), G2 schlussfolgern. Das macht meiner Meinung Sinn, aber auf der anderen Seite könnte man sich Fragen, warum nur von G2 die Rede ist. Wenn Assoziativität vorhanden ist und ich G2 schlussfolgern kann, dann könnte man direkt von einer Gruppe reden und nicht nur von G2.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:26 So 19.10.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich verstehe nicht, die Assoziativität wird doch mit dem Satz"Ist umgekehrt eine Menge mit einer assoziativen Verknüpfung, so folgt G2 " vorausgesetzt?
Gruß leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:36 So 19.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
> Natürlich hast Du recht. Ich muss mich bei Dir
> entschuldigen.
Keine Ursache!
> Immer noch bin ich also bisschen verzweifelt.
Dazu sehe ich keinen Grund.
> Ich arbeite
> mit dem Fischer und da habe ich folgenden Satz stehen (S.
> 46): "Ob das Gruppenaxiom G2 erfüllt ist, kann man dann
> nach obigem Lemma daran erkennen, ob jeder Zeile und jede
> Spalte der Tafel eine Permutation von [mm]a_1, ..., a_n[/mm] ist".
> Die Frage ist jetzt, was der Autor damit gemeint hat. Ich
> würde spontan sagen, er ist davon ausgegangen, dass
> Assoziativität bereits vorhanden ist und dann mithilfe der
> Surjektivität, könnte man aus Lemma 2), G2
> schlussfolgern.
Ja, so interpretiere ich das auch.
> Das macht meiner Meinung Sinn, aber auf der
> anderen Seite könnte man sich Fragen, warum nur von G2 die
> Rede ist. Wenn Assoziativität vorhanden ist und ich G2
> schlussfolgern kann, dann könnte man direkt von einer
> Gruppe reden und nicht nur von G2.
Ja, könnte man ebenso gut.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:16 Mo 20.10.2014 | | Autor: | ne1 |
Danke für Eure Hilfe.
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