matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenFunktionalanalysisnochmal was zur Norm
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Funktionalanalysis" - nochmal was zur Norm
nochmal was zur Norm < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionalanalysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

nochmal was zur Norm: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:40 Fr 01.09.2006
Autor: pusteblume86

Aufgabe
X=Y= C([0,1]), , [mm] ||f||_x [/mm] = [mm] ||f||_C; [/mm]  [C=C([0,1]) , T: X->Y definiert durch Tf=f'

zu zeigen: T ist linear und nur dann stetig wenn gilt :
[mm] ||f||_C \le C*||f|_C ....C\ge [/mm] 0 ;    C=C([f])  
      

Sooo...jetzt habe ich beim ersten einfach nur gezeigt das folgendes gilt:
(Also eben die Linearität)
T(f+g)=Tf + Tg
T( f)= [mm] \alpha [/mm] Tf

T(f+g)= (f+g)'= f' + g'= Tf + Tg
[mm] T(\alpha [/mm] f) = [mm] (\alpha [/mm] f)' [mm] =\alpha [/mm] f' = [mm] \alpha [/mm] Tf

damit ist das ja schonmal gezeigt ne?



mhm...und noch eine Frage...Die Bedingung für die stetigkeit:
T ist stetig [mm] \gdw ||f||_C \le C*||f||_c ....C\ge [/mm] 0
Irgendwie kann die doch nicht stimmen...oder?
wenn [mm] C\ge1, [/mm] dann wäre es ja logisch...
aber irgendwie z.b bei C= 0,5 doch nicht oder?

Hoffe das es jetzt lesbar ist....

        
Bezug
nochmal was zur Norm: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:40 Sa 02.09.2006
Autor: felixf

Hallo Sandra!

> X=Y= C([0,1]), , [mm]||f||_x[/mm] = [mm]||f||_C;[/mm]  [C=C([0,1]) , T: X->Y
> definiert durch Tf=f'
>  
> zu zeigen: T ist linear und nur dann stetig wenn gilt :
> [mm]||f||_C \le C*||f|_C ....C\ge[/mm] 0 ;    C=C([f])      

Soll die Bedingung fuer ein $f$ gelten? Oder fuer alle $f$? Und das $C$ hat hier zwei Bedeutungen, einmal eine Konstante, und einmal $C([0, 1])$? Oder soll $C([f])$ was anderes als $C([0,1])$ sein (wenn ja, was?)? Und wenn $C$ eine Konstante ist, soll sie fuer alle $f$ gelten, oder nur fuer eins? Und bist du dir sicher, dass in der Gleichung nur [mm] $||f||_C$ [/mm] auftaucht und nicht $||T [mm] f||_C$? [/mm] Und $C([0,1])$ ist die Menge der unendlich oft differenzierbaren Funktionen? Oder hat $C([0,1])$ auch verschiedene Bedeutungen?

Ich gehe mal davon aus, dass du folgendes meinst (hab die Konstante $C$ mal in $K$ umbenannt): $T [mm] \text{ stetig } \Leftrightarrow \exists [/mm] K [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] f [mm] \in [/mm] C([0,1]) : [mm] \| [/mm] T f [mm] \|_{C([0,1])} \le [/mm] K [mm] \cdot \| [/mm] f [mm] \|_{C([0,1])}$. [/mm]

Und wenn du dir mal die Definition von Stetigkeit fuer lineare Operatoren anschaust, wirst du sehen, dass dies genau die Definition davon ist, dass $T$ stetig ist (unter der Voraussetzung, dass $T$ linear ist)!

> Sooo...jetzt habe ich beim ersten einfach nur gezeigt das
> folgendes gilt:
> (Also eben die Linearität)
>  T(f+g)=Tf + Tg
>  T( f)= [mm]\alpha[/mm] Tf
>  
> T(f+g)= (f+g)'= f' + g'= Tf + Tg
>  [mm]T(\alpha[/mm] f) = [mm](\alpha[/mm] f)' [mm]=\alpha[/mm] f' = [mm]\alpha[/mm] Tf
>  
> damit ist das ja schonmal gezeigt ne?

Genau.

> mhm...und noch eine Frage...Die Bedingung für die
> stetigkeit:
>  T ist stetig [mm]\gdw ||f||_C \le C*||f||_c ....C\ge[/mm] 0
>  Irgendwie kann die doch nicht stimmen...oder?
> wenn [mm]C\ge1,[/mm] dann wäre es ja logisch...
>  aber irgendwie z.b bei C= 0,5 doch nicht oder?

Damit sie nicht stimmt, musst du zu jedem $K [mm] \ge [/mm] 0$ ein $f [mm] \in [/mm] C([0,1])$ angeben mit $||T [mm] f||_{C([0,1])} [/mm] > [mm] ||f||_{C([0,1])}$. [/mm] Also eine Funktion, die auf $[0, 1]$ den Betrag [mm] $\le [/mm] 1$ hat, aber deren Ableitung an einer irgendeiner Stelle im Intervall beliebig gross wird.

Hinweis: Schau dir doch mal den Sinus an. Was passiert, wenn ihn mit einer linearen Funktion (von der richtigen Seite, welche das ist, musst du selber herausfinden!) verkettest?

LG Felix


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionalanalysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]