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notwendig und hinreichend: Chromatische Zahl vom Graphen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:04 Mi 06.12.2017
Autor: asg

Aufgabe
Bei einem ungerichteten Graphen $G = (V, E)$ mit $V = [mm] \{1,2,3,4,5,6,7\}$ [/mm] und $E = [mm] \{\{1,2\}, \{1,6\}, \{2,3\}, \{2,4\}, \{3, 5\}, \{3,7\}, \{4,6\}, \{5,7\}, \{6,7\}\}$ [/mm] soll angegeben werden, welche chromatische Zahl [mm] $\chi(G)$ [/mm] (Knotenfärbungszahl) ist notwendig und welche hinreichend.


Hallo zusammen,

bei dieser Aufgabe bin ich mir nicht ganz sicher, was genau verlangt ist.

Ich weiß, dass der Graph mit mindesten 3 Farben konfliktfrei gefärbt werden kann, nämlich z.B.:
Die Knoten 1, 3, 4 (rot)
Die Knoten 2, 5, 6 (grün)
Der Knoten 7 (blau)

Also [mm] $\chi(G) [/mm] = 3 $ ist die notwendige Zahl oder [mm] $\chi(G) \le [/mm] 3 $  (??)

Eine andere Färbung wäre, jedem Knoten eine eigene Farbe zu zuweisen. Dann wäre [mm] $\chi(G) [/mm] = 7 $ und diese ist die hinreichende Zahl oder [mm] $\chi(G) \le [/mm] 7 $ ??

Dankschön vorab

Viele Grüße
Asg

Graph G und eine konfliktfreie Färbung

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
        
Bezug
notwendig und hinreichend: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:47 Mi 06.12.2017
Autor: HJKweseleit

Ja, 3 Farben sind notwendig, 7 hinreichend. Das heißt, 3 sind nötig, 7 reichen aus.

Bezug
                
Bezug
notwendig und hinreichend: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 20:56 Mi 06.12.2017
Autor: asg

Hallo,

danke für die schnelle Antwort.

Ist es nicht so:
da $3$ notwendig ist, sind somit auch $1$ und $2$ notwendig und damit die notwendige Zahl wäre [mm] $\chi(G) \le [/mm] 3$ und nicht [mm] $\chi(G) [/mm] = 3$?

Gleiches gilt für die hinreichende Zahl:
es müssten doch alle Zahlen $3 [mm] \gt \chi(G) \le [/mm] 7$ hinreichende Zahlen sein, oder?

Bezug
                        
Bezug
notwendig und hinreichend: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:23 Do 07.12.2017
Autor: a3bas

So ist es.

Bezug
                        
Bezug
notwendig und hinreichend: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 Do 07.12.2017
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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