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Forum "Funktionalanalysis" - orthogonale Projektoren
orthogonale Projektoren < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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orthogonale Projektoren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:43 Di 07.07.2009
Autor: gladice

Aufgabe
Sei H ein Hilbertraum und P bzw. Q orthogonale Projektoren auf zwei abgeschlossene Unterräume K bzw. L von H.
Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
(1) PQ = QP
(2) PQ ist orhogonaler Projektor
(3) K [mm] \cap [/mm] ( K [mm] \cap [/mm] L [mm] )\perp [/mm] und L [mm] \cap [/mm] ( K [mm] \cap [/mm] L [mm] )\perp [/mm] sind orthogonal

                 (die Orthogonalzeichen sollen hochgestellt sein)

Hallo Leute!

Ich bitte dringend um Hilfe bei dieser Aufgabe!
Ich muss sie morgen mittag abgeben und habe absolut keine Idee :-((

Bis jetzt habe ich versucht sie selber zu lösen, aber ich komme damit leider überhaupt nicht klar!

Ich wäre wirklich sehr dankbar!

Liebe Grüße und danke schonmal!

        
Bezug
orthogonale Projektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:22 Mi 08.07.2009
Autor: felixf

Hallo!

> Sei H ein Hilbertraum und P bzw. Q orthogonale Projektoren
> auf zwei abgeschlossene Unterräume K bzw. L von H.
>  Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
>  (1) PQ = QP
>  (2) PQ ist orhogonaler Projektor
>  (3) K [mm]\cap[/mm] ( K [mm]\cap[/mm] L [mm])^\perp[/mm] und L [mm]\cap[/mm] ( K [mm]\cap[/mm] L [mm])^\perp[/mm]
> sind orthogonal
>  
>  Hallo Leute!
>  
> Ich bitte dringend um Hilfe bei dieser Aufgabe!
> Ich muss sie morgen mittag abgeben und habe absolut keine
> Idee :-((

Nun, fangen wir doch mal ganz langsam an. Wann genau ist eine lineare Abbildung $P : H [mm] \to [/mm] H$ ein orthogonaler Projektor? Schreib mal die Definition hin.

> Bis jetzt habe ich versucht sie selber zu lösen, aber ich
> komme damit leider überhaupt nicht klar!

Ganz allgemein zeigt man ja entweder (1) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] (2) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] (3) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] (1) oder (1) [mm] $\Leftrightarrow$ [/mm] (2) und danach (1) [mm] $\wedge$ [/mm] (2) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] (3) und dann (3) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] (1) [mm] $\vee$ [/mm] (2).

Versuch doch erstmal (1) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] (2) zu zeigen. Du weist, dass $P Q = Q P$ ist. Was musst du jetzt zeigen? (Dazu brauchst du erstmal die Definition, also wann $P Q$ ein orthogonaler Projektor ist.)

LG Felix


Bezug
                
Bezug
orthogonale Projektoren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:00 Mi 08.07.2009
Autor: gladice

Ein Projektor ist genau dann orthogonal, wenn er selbstadjungiert ist.

Also muss ich aus PQ = QP irgendwie folgern, dass PQ* = PQ ist und meine Vermutung ist, dass das irgendwie durch Umformung geht, aber mir ist nicht klar wie...

Bezug
                        
Bezug
orthogonale Projektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:10 Mi 08.07.2009
Autor: fred97

Zunächst ist, wegen PQ=QP,

             [mm] $(PQ)^2 [/mm] = PQPQ = [mm] P^2Q^2 [/mm] = PQ$

PQ ist also eine Projektion

Weiter, da P und Q orthogonale Projektionen sind: [mm] $(PQ)^{\*} [/mm] = [mm] (QP)^{\*}= P^{\*}Q^{\*} [/mm] = PQ$

FRED

Bezug
                                
Bezug
orthogonale Projektoren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:17 Mi 08.07.2009
Autor: gladice

Ich habe noch eine Frage:

Wenn nicht gilt PQ = QP, wieso ist dann PQ kein orhogonaler Projektor?
Hast du dazu eine Idee?

Und hast du noch einen Tipp zu [mm] (2)\Rightarrow(3) [/mm] und [mm] (3)\Rightarrow(1)? [/mm]

Ich bin leider so unter Zeitdruck heute...
Tut mir wirklich leid!
Und vielen Dank für deine Hilfe!

Bezug
                                        
Bezug
orthogonale Projektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:21 Mi 08.07.2009
Autor: fred97


> Ich habe noch eine Frage:
>  
> Wenn nicht gilt PQ = QP, wieso ist dann PQ kein orhogonaler
> Projektor?

Ist PQ ein ort. Projektor, so gilt:

$QP = [mm] Q^{\*}P^{\*}= (PQ)^{\*} [/mm] = PQ$


FRED




>  Hast du dazu eine Idee?
>  
> Und hast du noch einen Tipp zu [mm](2)\Rightarrow(3)[/mm] und
> [mm](3)\Rightarrow(1)?[/mm]
>  
> Ich bin leider so unter Zeitdruck heute...
>  Tut mir wirklich leid!
>  Und vielen Dank für deine Hilfe!


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