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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - reell komplex diffbarholomorph
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reell komplex diffbarholomorph: Übung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:49 Mi 03.07.2013
Autor: ellegance88

Aufgabe
In welchen Punkten der komplexen Ebene sind die folgenden Funktionen f: C --> C reell differenzierbar, komplex differentierbar und holomorph

a) f(z):) exp [mm] (z^2) [/mm] über dem [mm] z^2 [/mm] ist noch ein strich.

Es gilt ja der Zusammenhang

f(x+iy)= [mm] exp((x+iy)^2) [/mm] = [mm] e^{x^2-y^2-2ixy}= e^{x^2-y^2}e^{-2ixy} [/mm]

und nun steht in meiner Lösung drinne das daraus


[mm] e^{x^2-y^2}(cos(2xy)-isin(2xy)) [/mm] folgt.

nun meine Frage wie kommen die auf cosinus und sinus? gibt es einen Satz dafür?

        
Bezug
reell komplex diffbarholomorph: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:09 Mi 03.07.2013
Autor: fred97


> In welchen Punkten der komplexen Ebene sind die folgenden
> Funktionen f: C --> C reell differenzierbar, komplex
> differentierbar und holomorph
>  
> a) f(z):) exp [mm](z^2)[/mm] über dem [mm]z^2[/mm] ist noch ein strich.
>  Es gilt ja der Zusammenhang
>
> f(x+iy)= [mm]exp((x+iy)^2)[/mm]


Es lautet wohl  [mm]exp(\quad \overline{(x+iy)^2} \quad )[/mm]


= [mm]e^{x^2-y^2-2ixy}= e^{x^2-y^2}e^{-2ixy}[/mm]

>  
> und nun steht in meiner Lösung drinne das daraus
>
>
> [mm]e^{x^2-y^2}(cos(2xy)-isin(2xy))[/mm] folgt.
>  
> nun meine Frage wie kommen die auf cosinus und sinus? gibt
> es einen Satz dafür?

Sind a,b [mm] \in \IR [/mm] , so ist [mm] e^{a+ib}=e^a*e^{ib} [/mm]

Weiter ist [mm] e^{ib}=cos(b)+isin(b) [/mm]

FRED


Bezug
                
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reell komplex diffbarholomorph: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:30 Mi 03.07.2013
Autor: ellegance88

ok danke erstmal,

wenn ich jetzt gucken soll, dass es komplex diffbar ist muss laut meiner Musterlösung die Ableitung von z konjugiert nach [mm] f(z_0)=2z_0*e^{z_0}^2 [/mm] = 0 sein. (ps: im beiden mittleren Teil soll [mm] z_0 [/mm]  konjugiert heißen)

Als Lösung steht, dass f nur in [mm] z_0=0 [/mm] komplex diffbar und nirgends holomorph ist.

Zu meiner Frage: Wie kommt man dadrauf und was bedeutet es? Kann man nicht einfach nach CR-Dgl überprüfen? Warum muss man diesen Zwischenschritt machen?

LG

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reell komplex diffbarholomorph: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:53 Mi 03.07.2013
Autor: Richie1401

Hi,

Stichwort: Wirtinger-Ableitung; Wirtinger-Kalkül.

Es gilt:

f ist in [mm] z_0 [/mm] komplex diffbar [mm] \gdw \partial_{\overline{z}}f(z_0)=0 [/mm]

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reell komplex diffbarholomorph: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:56 Mi 03.07.2013
Autor: schachuzipus

Hallo,

zu deiner anderen Frage:



> Kann man nicht einfach nach CR-Dgl überprüfen?

Mach's doch einfach mal. Stelle mal die CRDglen auf ...

Schaden kann's nix ...

Gruß

schachuzipus

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reell komplex diffbarholomorph: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:40 Mi 03.07.2013
Autor: ellegance88

ok habe es verstanden danke.

zu teil b hab ich mal ne frage die Funktion lautet:

f(x+iy)= [mm] x^3y^2+ix^2y^3 [/mm]

setze f(x+iy):= u(x,y)+iv(x,y)

[mm] \bruch{du}{dx}(x,y)= 3x^2y^2 [/mm]

[mm] \bruch{du}{dy}(x,y)= 2x^3*y [/mm]

[mm] -\bruch{dv}{dx}(x,y)= -2xy^3 [/mm]

[mm] \bruch{dv}{dy}(x,y)= 3x^2y^2 [/mm]

Das sind die partiellen Ableitungen.

Nach CR gilt: [mm] u_x=v_y [/mm] und [mm] u_y=-v_x [/mm]

da diese Voraussetzungen gelten müssen, ist die Bedingung [mm] x^3*y+x*y^3=0 [/mm]

a) wie kommt man auf diese Bedingung? Durch diese Bedingung gilt doch nicht mehr [mm] u_x=v_y [/mm] oder?

[mm] x^3* y+x*y^3= xy(x^2+y^2)=0 [/mm] und daraus folgt: "Also ist f gerade
auf den Koordinatenachsen komplex differenzierbar und die Funktion ist nirgends holomorph."

b)wieso gerade auf den Koordinatenachsen?

Lg

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Bezug
reell komplex diffbarholomorph: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:48 Mi 03.07.2013
Autor: Richie1401

Hi,

> ok habe es verstanden danke.
>  
> zu teil b hab ich mal ne frage die Funktion lautet:
>  
> f(x+iy)= [mm]x^3y^2+ix^2y^3[/mm]
>  
> setze f(x+iy):= u(x,y)+iv(x,y)
>  
> [mm]\bruch{du}{dx}(x,y)= 3x^2y^2[/mm]
>  
> [mm]\bruch{du}{dy}(x,y)= 2x^3*y[/mm]
>  
> [mm]-\bruch{dv}{dx}(x,y)= -2xy^3[/mm]
>  
> [mm]\bruch{dv}{dy}(x,y)= 3x^2y^2[/mm]
>  
> Das sind die partiellen Ableitungen.
>  
> Nach CR gilt: [mm]u_x=v_y[/mm] und [mm]u_y=-v_x[/mm]
>  
> da diese Voraussetzungen gelten müssen, ist die Bedingung
> [mm]x^3*y+x*y^3=0[/mm]
>  
> a) wie kommt man auf diese Bedingung? Durch diese Bedingung
> gilt doch nicht mehr [mm]u_x=v_y[/mm] oder?

Na doch. Denn [mm] u_x=v_y [/mm] ist doch für alle x und y sowieso erfüllt. Daher betrachtet man nur noch die zweite Bedingung.

>
> [mm]x^3* y+x*y^3= xy(x^2+y^2)=0[/mm] und daraus folgt: "Also ist f
> gerade
>  auf den Koordinatenachsen komplex differenzierbar und die
> Funktion ist nirgends holomorph."
>  
> b)wieso gerade auf den Koordinatenachsen?

Die Gleichung ist doch nur für x=0, bzw. y=0 erfüllt (entsprechend andere Variable egal). Also sind das gerade die KO-Achsen.

>  
> Lg


Bezug
                                                
Bezug
reell komplex diffbarholomorph: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:04 Mi 03.07.2013
Autor: ellegance88

ok, also kann man immer wenn eine Bedingung schon sowieso erfüllt ist, die "ignorieren".?

und woran erkenne ich immer, dass dies nirgends holomorph ist?



Bezug
                                                        
Bezug
reell komplex diffbarholomorph: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:20 Mi 03.07.2013
Autor: Richie1401


> ok, also kann man immer wenn eine Bedingung schon sowieso
> erfüllt ist, die "ignorieren".?

Das ist wohl das falsche Wort. Du siehst einfach, dass die erste Gleichung für alle [mm] (x,y)\in\IR^2 [/mm] erfüllt ist. Nun schaust du dir die zweite Bedingung an, und dort gibt es eben Einschrönkungen.

>  
> und woran erkenne ich immer, dass dies nirgends holomorph
> ist?

An der Definition von holomorphen Funktionen. Stichwort: Offene Umgebung...

>  
>  


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