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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - separation der variablen
separation der variablen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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separation der variablen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:38 Di 21.08.2012
Autor: Mathe-Lily

Aufgabe
Lösen Sie durch Separation der Variablen folgendes Anfangswertproblem
[mm] y'=xy^{2}+x, [/mm] y(0)=1

Hallo!
Ich glaube das Prinzip der Separation verstanden zu haben:
1. y' als Produkt einer Funktion, die nur von x abhängt, und einer Funktion, die nur von y abhängt, darstellen
2. [mm] \bruch{dy}{dx}=\bruch{a(x)}{b(y)} [/mm]
3. Die Gleichung aus 2. so umstellen: b(y)dy=a(x)dx
4. Integral berechnen und so umstellen, dass am Schluss "y(x)=..." da steht.

Stimmt das so weit?

Ich hab das nämlich mit der Aufgabe von oben versucht und komme irgendwie nicht so recht auf was gescheites:
1. [mm] y'=x(y^{2}+1) [/mm]

[mm] 2.\bruch{dy}{dx}=\bruch{x}{y^{2}+1} [/mm]

3. [mm] y^{2}+1dy=xdx [/mm]

4. [mm] \integral_{y_{0}}^{y}{t^{2}+1 dt}=\integral_{x_{0}}^{x}{s ds} [/mm]

[mm] \gdw [\bruch{t^{3}}{3}+1]_{1}^{y}=[\bruch{s^{2}}{2}]_{0}^{x} [/mm]

[mm] \gdw \bruch{y^{3}}{3}+y-\bruch{4}{3}=\bruch{x^{2}}{2} [/mm]

Aber dann komm ich nicht mehr weiter. Hab ich irgendwo einen Fehler gemacht?

Kann mir hier jemand helfen?
Grüßle, Lily

        
Bezug
separation der variablen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:46 Di 21.08.2012
Autor: MathePower

Hallo Mathe-Lily,

> Lösen Sie durch Separation der Variablen folgendes
> Anfangswertproblem
>  [mm]y'=xy^{2}+x,[/mm] y(0)=1
>  Hallo!
>  Ich glaube das Prinzip der Separation verstanden zu
> haben:
>  1. y' als Produkt einer Funktion, die nur von x abhängt,
> und einer Funktion, die nur von y abhängt, darstellen
>  2. [mm]\bruch{dy}{dx}=\bruch{a(x)}{b(y)}[/mm]
>  3. Die Gleichung aus 2. so umstellen: b(y)dy=a(x)dx
>  4. Integral berechnen und so umstellen, dass am Schluss
> "y(x)=..." da steht.
>  
> Stimmt das so weit?
>  
> Ich hab das nämlich mit der Aufgabe von oben versucht und
> komme irgendwie nicht so recht auf was gescheites:
>  1. [mm]y'=x(y^{2}+1)[/mm]
>  
> [mm]2.\bruch{dy}{dx}=\bruch{x}{y^{2}+1}[/mm]
>  
> 3. [mm]y^{2}+1dy=xdx[/mm]
>  
> 4. [mm]\integral_{y_{0}}^{y}{t^{2}+1 dt}=\integral_{x_{0}}^{x}{s ds}[/mm]
>  
> [mm]\gdw [\bruch{t^{3}}{3}+1]_{1}^{y}=[\bruch{s^{2}}{2}]_{0}^{x}[/mm]
>  
> [mm]\gdw \bruch{y^{3}}{3}+y-\bruch{4}{3}=\bruch{x^{2}}{2}[/mm]
>  
> Aber dann komm ich nicht mehr weiter. Hab ich irgendwo
> einen Fehler gemacht?

>


Beim Übergang vom 2.  zum 3. Schritt ist ein Fehler passiert.

Korrekt muss es lauten:

[mm]\bruch{dy}{y^{2}+1}=x \ dx[/mm]

  

> Kann mir hier jemand helfen?
>  Grüßle, Lily


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
separation der variablen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:51 Di 21.08.2012
Autor: Mathe-Lily


>  >  
> > Ich hab das nämlich mit der Aufgabe von oben versucht und
> > komme irgendwie nicht so recht auf was gescheites:
>  >  1. [mm]y'=x(y^{2}+1)[/mm]
>  >  
> > [mm]2.\bruch{dy}{dx}=\bruch{x}{y^{2}+1}[/mm]
>  >  
> > 3. [mm]y^{2}+1dy=xdx[/mm]
>  >  
> > 4. [mm]\integral_{y_{0}}^{y}{t^{2}+1 dt}=\integral_{x_{0}}^{x}{s ds}[/mm]
>  
> >  

> > [mm]\gdw [\bruch{t^{3}}{3}+1]_{1}^{y}=[\bruch{s^{2}}{2}]_{0}^{x}[/mm]
>  
> >  

> > [mm]\gdw \bruch{y^{3}}{3}+y-\bruch{4}{3}=\bruch{x^{2}}{2}[/mm]
>  >  

> Beim Übergang vom 2.  zum 3. Schritt ist ein Fehler
> passiert.
>  
> Korrekt muss es lauten:
>  
> [mm]\bruch{dy}{y^{2}+1}=x \ dx[/mm]
>  

aber muss man nicht [mm] *(y^{2}+1) [/mm] machen? oder ist das keine äquivalenzumformung sondern nur ein "verschieben"?

Bezug
                        
Bezug
separation der variablen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:55 Di 21.08.2012
Autor: teo

Hallo,

deine DGL lautet: [mm] y'=xy^2+x = x(y^2+1)[/mm] dann gilt mit Trennung der Variablen:

[mm] y'=x(y^2+1) \Rightarrow \frac{dy}{dx}=x(y^2+1) \Rightarrow \frac{dy}{y^2+1}=x dx \Rightarrow ... [/mm]

Grüße

Bezug
                                
Bezug
separation der variablen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:04 Di 21.08.2012
Autor: Mathe-Lily

ah! ok, danke :-)
Ich dachte, es müsse immer so sein:
bei y'=a(x)b(y)
--> dx/dy=b(y)/a(x)
aber dann ist es jetzt klar! Danke :-)

Bezug
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