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stetig differenzierbar: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:05 So 18.05.2014
Autor: LinaWeber

Aufgabe
zeigen sie, die Funktion f(x) ist stetig differenzierbar
[mm] f(x)\left\{\begin{matrix} (1/x)-(1/(sin(x)), & \mbox{wenn }x0<|x| < \pi \\ 0, & \mbox{wenn }x=0 \end{matrix}\right. [/mm]


Heeey :-)
stetig differenzierbar bedeutet ja soviel, wie das die Ableitung der differenzierbaren Funktion stetig ist.
für x=0 ist dies ja beides erfüllt.

Für 0<|x| < [mm] \pi [/mm] ist die Funktion mit f'(x)= [mm] -\frac{2}{x^{2}}+\frac{cos(x)}{sin(x)^2} [/mm] differenzierbar ( reicht es hier als Beweis die Ableitung zu Bilden ?)
Damit eine Funktion Differenzierbar ist, muss ja eigentlich der Grenzwert zu
[mm] \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} [/mm] existieren für limes x gegen [mm] x_{0} [/mm]

wenn ich dies hier bilde, weiß ich allerdings nicht wie ich für x gegen [mm] x_{0} [/mm] hier: [mm] \frac{(1/x)-(1/sin(x))-(1/x_{0})+(1/sin(x))}{x-x_{0}} [/mm] weiterverfahren soll..


nun zu der Ableitung:
Die Konstante x=0 ist ja stetig. Also geht es jetzt um den linksseitigen Grenzwert der Funktion [mm] g(x)=-\frac{2}{x^{2}}+\frac{cos(x)}{sin(x)^2} [/mm]
Damit diese Funktion stetig ist muss dieser ja für x gegen 0 =0 sein, damit dieser mit dem rechtsseitigem Grenzwert übereinstimmt.Nur wenn ich x gegen 0 gehen lassen divergiert für mich die Funktionenfolge..
Wo liegt der Fehler?


LG


        
Bezug
stetig differenzierbar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:46 So 18.05.2014
Autor: Marcel

Hallo Lina,

> zeigen sie, die Funktion f(x) ist stetig differenzierbar
>  [mm]f(x)\left\{\begin{matrix} (1/x)-(1/(sin(x)), & \mbox{wenn }x0<|x| < \pi \\ 0, & \mbox{wenn }x=0 \end{matrix}\right.[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


>  
> Heeey :-)
>  stetig differenzierbar bedeutet ja soviel, wie das die
> Ableitung der differenzierbaren Funktion stetig ist.

[ok]

> für x=0 ist dies ja beides erfüllt.

Bitte? Dann wäre also die noch nicht mal stetige Funktion $g\,$ mit

    $g(x):=x+1$ für $|x| > 0\,$ und $g(0):=1\,$

Deiner Meinung nach in $x_0=0\,$ stetig diff'bar?

Nein!

Ich bin jetzt rechenfaul, deshalb beantworte ich Deine Frage nur mal
mit einer Anleitung, was Du zu tun hast, und kontrolliere Deine
Rechnungen nicht:

1.) Klar ist, dass Deine obige Funktion $f\,$ für $|x| > 0\,$ differenzierbar ist.
Du kannst die Ableitung dann hinschreiben, mit anderen Worten:
Du kannst

    $f_1:=\left.f\right|_{]-\infty,0[\;\cup\;[0,\infty]}$

hinschreiben. Die "üblichen Argumente" zeigen dann sicher, dass dieses
$f_1$ (das ist eine nur auf $\IR \setminus \{0\}$ definierte Funktion) stetig ist.
"Übliche Argumente": Summe stetiger Funktionen ist stetig, Verkettung
stetiger Funktionen ist stetig, ...

2.) Unklar ist, ob $f\,'(\red{0})$ überhaupt existiert, und wenn dieser existiert, dann
welcher Wert dort vorherrscht. Du berechnest also (falls möglich)

    $\lim_{x \to \red{0}} \frac{f(x)-f(\red{0})}{x-\red{0}}\,.$

Sagen wir jetzt mal, dieser existiert (soll ja, laut Aufgabenstellung) - eventuell
hilft hier auch sowas wie de l'Hôpital - und wir haben nun

    $G:=\lim_{x \to \red{0}} \frac{f(x)-f(\red{0})}{x-\red{0}}\,.$
(Nebenbei: Vielleicht erinnerst Du Dich auch daran, dass ihr mal

    $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}=1$ (etwa mit de l'Hôpital, es geht aber auch anders)

berechnet habt. Ohne es gerechnet zu haben, denke ich, dass sowas oben
auftauchen könnte...)


3.) Damit wissen wir nun, dass $f\,$ differenzierbar ist, und es gilt

    $f\,'(x)=\begin{cases} f_1(x), & \mbox{für } |x| > 0\, \\ G, & \mbox{für } x=0 \end{cases}\,.$

4.) Im Punkt 1.) haben wir uns ja schon Gedanken gemacht, dass $f_1$ stetig
sein wird (bzw. Du hast Dir dann später hoffentlich diese Gedanken
gemacht). Damit ist $\left.f\,'\right|_{\IR \setminus \{0\}}$ stetig. (Beachte: $\IR \setminus \{0\}=]-\infty,0[ \cup ]0,\infty[\,.$) Aber was
noch zu klären ist, ist die Frage:

   Ist $f\,'$ auch stetig in der Stelle $x=0\,$?

Anders gesagt:
Gilt

    $\lim_{x \to 0}$ $f\,'(x)=f\,'(0)$    (Erinnerung: $f\,'(0)=G\,$)?

P.S. $\lim_{x \to x_0}...$ bedeutet immer $\lim_{x_0 \not=x \to x_0}...$

P.P.S.
Was haben wir eigentlich oben gemacht bzw. was ist der Grundgedanke?
Wir haben

    $\bullet$ zuerst mal die Ableitung dort hingeschrieben, wo wir sie direkt hinschreiben können
    (Ist klar, wie das gemeint ist und wie das funktionierte?)

    $\bullet$ danach haben wir an den Stellen, wo wir die Ableitung nicht direkt hinschreiben
    konnten, diese "per Definitionem" berechnet

    $\bullet$ mit den obigen beiden Punkten konnten wir dann $f\,'$ (also die Ableitung)
    komplett hinschreiben (wir wissen an dieser Stelle: $f\,$ ist differenzierbar
    und kennen die Ableitung $f\,'$ "gänzlich")

    $\bullet$ dann nachgeschaut, wo die Ableitung "offensichtlich" stetig ist (eigentlich
    mache ich das oben schon direkt am Anfang beim Punkt 1.)), und dann haben wir
    bei $f\,'$ noch die Stelle(n) auf Stetigkeit überprüft, an denen es nicht direkt
    "offensichtlich" ist, dass $f\,'$ dort stetig ist

Gruß,
  Marcel

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stetig differenzierbar: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:35 Mo 19.05.2014
Autor: LinaWeber

Hey


>  
> 1.) Klar ist, dass Deine obige Funktion [mm]f\,[/mm] für [mm]|x| > 0\,[/mm]
> differenzierbar ist.
>  Du kannst die Ableitung dann hinschreiben, mit anderen
> Worten:
>  Du kannst
>  
> [mm]f_1:=\left.f\right|_{]-\infty,0[\;\cup\;[0,\infty]}[/mm]
>  
> hinschreiben. Die "üblichen Argumente" zeigen dann sicher,
> dass dieses
>  [mm]f_1[/mm] (das ist eine nur auf [mm]\IR \setminus \{0\}[/mm] definierte
> Funktion) stetig ist.

okay das verstehe ich. Also weiß ich hier schon, das die Funktion sowie ihre Ableitung für |x|>0 stetig (und somit auch differenzierbar ist)

>  
> 2.) Unklar ist, ob [mm]f\,'(\red{0})[/mm] überhaupt existiert, und
> wenn dieser existiert, dann
>  welcher Wert dort vorherrscht. Du berechnest also (falls
> möglich)


das verstehe ich nicht. Die Ableitung von f(x)=0 ist doch immer 0 oder nicht?

>  
> [mm]\lim_{x \to \red{0}} \frac{f(x)-f(\red{0})}{x-\red{0}}\,.[/mm]
>  

hier erhalte ich:
[mm] \lim_{x \to \red{0}} \frac{f(x)-f(\red{0})}{x-\red{0}}\ [/mm]

aber da x ja im Nenner ist, kann ich f(0) doch gar nicht bilden, oder was ich hier gemeint? Denn mein erster Summand ist doch (1/x)...

> Sagen wir jetzt mal, dieser existiert (soll ja, laut
> Aufgabenstellung) - eventuell
>  hilft hier auch sowas wie de l'Hôpital

(hatten wir leider noch nicht)
- und wir haben

> nun
>  
> [mm]G:=\lim_{x \to \red{0}} \frac{f(x)-f(\red{0})}{x-\red{0}}\,.[/mm]

ja das verstehe ich. Aber ich darf ja eben nicht =0 einsetzen, da sonst der gesamte Nenner =0 ist..

>  


>  
> 4.) Im Punkt 1.) haben wir uns ja schon Gedanken gemacht,
> dass [mm]f_1[/mm] stetig
>  sein wird (bzw. Du hast Dir dann später hoffentlich diese
> Gedanken
>  gemacht). Damit ist [mm]\left.f\,'\right|_{\IR \setminus \{0\}}[/mm]
> stetig. (Beachte: [mm]\IR \setminus \{0\}=]-\infty,0[ \cup ]0,\infty[\,.[/mm])
> Aber was
> noch zu klären ist, ist die Frage:
>  
> Ist [mm]f\,'[/mm] auch stetig in der Stelle [mm]x=0\,[/mm]?

ja, das verstehe ich das dies zu prüfen ist, die Grenzwerte müssen ja übereinstimmen. Aber ohne einen festen Wert für G kann ich dies ja nicht prüfen..



LG

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stetig differenzierbar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:42 Mo 19.05.2014
Autor: leduart

Hallo
wenn du einen GW bildest setzt du ja nicht ein (hier die 0 sondern du bestimmst den wert in einer ˜epsilon Umgebung von 0
z.B iin  1/x-1/x darfst du 0 nicht einsetzen, aber in jeder Umgebung von x=0 solange [mm] x\not=0 [/mm] ist das Null. also ist der GW 0
jetzt betrachte sinx in der Nähe von 0, z.B durch die Reihe für sinx und gehe vor wie oben.
(in der Nähe von 0 kann man sinx immer besser durch seine Tangente in 0 annähern!)
Gruß leduart

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stetig differenzierbar: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:38 Mo 19.05.2014
Autor: LinaWeber

Hey
ich verstehe nicht genau was du meinst. wenn ich den Differenzenquotienten habe mit:
[mm] \frac{f(x)-f(0)}{x-0} [/mm] dann muss ich ja für x auch 0 einsetzen wie es f(0) besagt und das funktioniert ja eben nicht
oder was meinst du?

LG

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stetig differenzierbar: Funktion einsetzen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:45 Mo 19.05.2014
Autor: Roadrunner

Hallo Lina!


Setze in [mm] $\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}$ [/mm] nunmehr die entsprechende Funktionsvorschrift $f(x)_$ bzw. den Funktionswert $f(0)_$ ein und mache dann die Grenzwertbetrachtung für [mm] $x\rightarrow [/mm] 0$ .


Gruß vom
Roadrunner

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stetig differenzierbar: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:12 Mo 19.05.2014
Autor: LinaWeber

Hey
das ist ja das Problem.
Wie soll ich in f(x)= [mm] \frac{1}{x}-\frac{1}{sin(x)} [/mm]
0 einsetzen?
Der Nenner darf ja schließlich nicht =0 sein

LG

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Bezug
stetig differenzierbar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:22 Mo 19.05.2014
Autor: angela.h.b.


> Hey
>  das ist ja das Problem.
> Wie soll ich in f(x)= [mm]\frac{1}{x}-\frac{1}{sin(x)}[/mm]
>  0 einsetzen?
>  Der Nenner darf ja schließlich nicht =0 sein

Hallo,

erinnerst Du Dich noch an die Funktionsvorschrift?

Es ist doch

[mm] f(x)\left\{\begin{matrix} (1/x)-(1/(sin(x)), & \mbox{wenn }0<|x| < \pi \\ 0, & \mbox{wenn }x=0 \end{matrix}\right. [/mm]

Was ist also f(0)?

LG Angela

>  
> LG


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Bezug
stetig differenzierbar: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:32 Mo 19.05.2014
Autor: LinaWeber

Hey
danke, ich stand etwas am Schlauch
jetzt erhalte ich nach Umformen als Differenzenquotient:
[mm] \frac{(1/x)-(1/sin(x))}{x} [/mm] = [mm] -\frac{1}{x*sin(x)}+\frac{1}{x^2} [/mm]
so.. wenn ich jetzt x gegen 0 gehen lassen gehen beiden Brüche gegen Unendlich..aber so erhalte ich ja immer noch keinen Konstanten Wert. Wo liegt der Fehler?


LG

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Bezug
stetig differenzierbar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:16 Mo 19.05.2014
Autor: Marcel

Hi Lina,

> Hey
>  danke, ich stand etwas am Schlauch
>  jetzt erhalte ich nach Umformen als Differenzenquotient:
>  [mm]\frac{(1/x)-(1/sin(x))}{x}[/mm] =
> [mm]-\frac{1}{x*sin(x)}+\frac{1}{x^2}[/mm]
>  so.. wenn ich jetzt x gegen 0 gehen lassen gehen beiden
> Brüche gegen Unendlich..aber so erhalte ich ja immer noch
> keinen Konstanten Wert. Wo liegt der Fehler?

sowas wie [mm] $\infty-\infty$ [/mm] ist undefiniert. Ich schreib's Dir mal ein wenig
sauberer hin:
Um

    [mm] $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}$ [/mm]

zu berechnen, sei zunächst $x [mm] \not=0$ [/mm] beliebig. Dann gilt

    [mm] $\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{f(x)}{x}=\frac{1}{x}*\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\sin(x)}\right)=...=\frac{\sin(x)-x}{x^2\sin(x)}$ [/mm]

Dies kann man (unter Beachtung von $x [mm] \not=0$) [/mm] umschreiben

    [mm] $=\frac{\sin(x)-x}{x^3}*\frac{x}{\sin(x)}$ [/mm]

Der zweite Faktor strebt bei $x [mm] \to [/mm] 0$ (Dir) bekanntlich (?) gegen [mm] $1\,.$ [/mm] (Falls
Dir das nicht bekannt sein sollte: Ich schreibe im Prinzip unten auch
nochmal etwas dazu!)
Es bleibt also

    [mm] $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)-x}{x^3}$ [/mm]

zu bestimmen (warum reicht das nun?).

Nach de l'Hôpital (Fall [mm] "$0/0\,$") [/mm] folgt

    [mm] $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)-x}{x^3}=\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)-1}{3x^2}$ [/mm]

Nochmal de l'Hôpital (gleicher Fall) zeigt, dass der gesuchte Limes

    [mm] $=\lim_{x \to 0} \frac{-\sin(x)}{6x}$ [/mm]

ist.

Jetzt könnte man nochmal de l'Hôpital anwenden, oder man erinnert sich,
dass man ja schonmal mit de l'Hôpital

    [mm] $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}=1$ [/mm]

berechnet hat.

Fazit:
Du solltest am Ende

    [mm] $f\,'(0)=-1/6$ [/mm]

berechnet haben!
(Aber: Nimm' die ganzen Puzzleteile oben und bastle Dir das mal so
zusammen, dass Du das alles insgesamt "in einer Rechenkette" siehst!)

Gruß,
  Marcel

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stetig differenzierbar: P.S.
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:47 So 18.05.2014
Autor: Marcel

P.S.:
Damit noch jemand auch Deine Rechnungen mal kontrolliert, stelle ich die
Frage mal nur auf "halb beantwortet"!

Gruß,
  Marcel

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stetig differenzierbar: Lösung mit Potenzreihe
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:58 Mo 19.05.2014
Autor: Leopold_Gast

Hier gegen die Forenregeln eine Musterlösung. Schau mal, wie du damit zurecht kommst. Eine Schritt-für-Schritt-Lösung halte ich bei deiner Art mitzumachen und mitzudenken nicht für sinnvoll.

Man kann eine Reihe angeben. Zunächst sieht man mit Hilfe der Sinusreihe:

[mm]\frac{1}{\sin x} = \frac{1}{x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} \mp \ldots} = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} \mp \ldots}[/mm]

Da der zweite Faktor eine gerade Funktion darstellt, kommt man mit dem Ansatz

[mm]\left( a + b x^2 + c x^4 + \ldots \right) \cdot \left( 1 - \frac{1}{6} x^2 + \frac{1}{120} x^4 \mp \ldots \right) = 1[/mm]

[mm]a + \left( b - \frac{1}{6} a \right) x^2 + \left( c - \frac{1}{6}b + \frac{1}{120} a \right) x^4 + \ldots = 1[/mm]

durch Koeffizientenvergleich ans Ziel:

[mm]a = 1 \, , \ b - \frac{1}{6} a = 0 \, , \ c - \frac{1}{6}b + \frac{1}{120} a = 0[/mm]

Man erhält:

[mm]a = 1 \, , \ b = \frac{1}{6} \, , \ c = \frac{7}{360}[/mm]

Jetzt geht es oben weiter:

[mm]\frac{1}{\sin x} = \frac{1}{x} \cdot \left( 1 + \frac{1}{6} x^2 + \frac{7}{360} x^4 + \ldots \right) = \frac{1}{x} + \frac{1}{6} x + \frac{7}{360} x^3 + \ldots[/mm]

Und für die originale Funktion erhält man:

[mm]f(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{\sin x} = \frac{1}{x} - \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{6} x + \frac{7}{360} x^3 + \ldots \right) = - \frac{1}{6} x - \frac{7}{360} x^3 - \ldots[/mm]

Damit ist [mm]f[/mm] in einer Umgebung von 0 durch eine Potenzreihe darstellbar und von der Klasse [mm]C^{\infty}[/mm].

Bezug
                
Bezug
stetig differenzierbar: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:30 Mo 19.05.2014
Autor: Marcel

Hallo Leopold,

> Hier gegen die Forenregeln eine Musterlösung. Schau mal,
> wie du damit zurecht kommst. Eine
> Schritt-für-Schritt-Lösung halte ich bei deiner Art
> mitzumachen und mitzudenken nicht für sinnvoll.
>  
> Man kann eine Reihe angeben. Zunächst sieht man mit Hilfe
> der Sinusreihe:
>  
> [mm]\frac{1}{\sin x} = \frac{1}{x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} \mp \ldots} = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} \mp \ldots}[/mm]
>  
> Da der zweite Faktor eine gerade Funktion darstellt, kommt
> man mit dem Ansatz
>  
> [mm]\left( a + b x^2 + c x^4 + \ldots \right) \cdot \left( 1 - \frac{1}{6} x^2 + \frac{1}{120} x^4 \mp \ldots \right) = 1[/mm]
>  
> [mm]a + \left( b - \frac{1}{6} a \right) x^2 + \left( c - \frac{1}{6}b + \frac{1}{120} a \right) x^4 + \ldots = 1[/mm]
>  
> durch Koeffizientenvergleich ans Ziel:
>  
> [mm]a = 1 \, , \ b - \frac{1}{6} a = 0 \, , \ c - \frac{1}{6}b + \frac{1}{120} a = 0[/mm]
>  
> Man erhält:
>  
> [mm]a = 1 \, , \ b = \frac{1}{6} \, , \ c = \frac{7}{360}[/mm]

vielleicht sollte man hier sagen, dass Du kurz andeutest, wie sich
entsprechende Unbekannte sukzessiv bestimmen lassen (und die ersten
drei rechnest Du konkret vor).
  

> Jetzt geht es oben weiter:
>  
> [mm]\frac{1}{\sin x} = \frac{1}{x} \cdot \left( 1 + \frac{1}{6} x^2 + \frac{7}{360} x^4 + \ldots \right) = \frac{1}{x} + \frac{1}{6} x + \frac{7}{360} x^3 + \ldots[/mm]
>  
> Und für die originale Funktion erhält man:
>  
> [mm]f(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{\sin x} = \frac{1}{x} - \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{6} x + \frac{7}{360} x^3 + \ldots \right) = - \frac{1}{6} x - \frac{7}{360} x^3 - \ldots[/mm]
>  
> Damit ist [mm]f[/mm] in einer Umgebung von 0 durch eine Potenzreihe
> darstellbar und von der Klasse [mm]C^{\infty}[/mm].

Das ist ein sehr schönes Ergebnis, welches wesentlich mehr aussagt als
das, was in der Aufgabe verlangt war. Ob sowas schon benutzt werden
kann/darf, muss Lina wissen...

Gruß,
  Marcel

Bezug
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