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stetig fortsetzen, glm stetig: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:03 Mo 15.12.2014
Autor: sissile

Aufgabe
Men beweise: Eine auf einem beschränkten offenen Intervall ]a,b[ [mm] \subset \IR [/mm] stetige Funuktion
f: ]a,b[ -> [mm] \IR [/mm]
ist genau dann gleichmäßig stetig, wenn sie sich stetig auf das abgeschlossene Intervall [a,b] fortsetzen lässt

Hallo zusammen,

Die stetige Fortsetzung [mm] \overline{f} [/mm] : [a,b] -> [mm] \IR [/mm] ist definiert:
[mm] \overline{f}(x)=\begin{cases} f(x), & \mbox{für }x \in ]a,b[ \\ lim_{x->a} f(x), & \mbox{für } x=a \\ lim_{x->b} f(x), & \mbox{für } x=b\end{cases} [/mm]

=>
ZZ.: [mm] \exists lim_{x->a} [/mm] f(x), [mm] \exists lim_{x->b} [/mm] f(x)

Sei [mm] \delta [/mm] so gewählt, dass f die gleichmäßige Stetigkeit erfüllt.
Sei [mm] (x_n)_{n\in \IN} [/mm] eine Folge in ]a,b[ mit [mm] x_n [/mm] -> a.
Sei [mm] (y_n)_{n\in \IN} [/mm] eine Folge in ]a,b[ mit [mm] y_n [/mm] -> a.

Da [mm] x_n [/mm] -> a, [mm] y_n [/mm] ->a folgt [mm] \exists n_0 \in \IN: |x_n [/mm] - [mm] y_n [/mm] | < [mm] \delta \forall [/mm] n [mm] \ge n_0 [/mm]
Aus der gleichmäßigen Stetigkeit von f folgt für alle [mm] \epsilon>0: |f(x_n) [/mm] - [mm] f(y_n)| [/mm] < [mm] \epsilon \forall [/mm] n [mm] \ge n_0 [/mm]

D.h. wir haben eine Cauchyfolge, also ist die Konvergenz gesichert.

(*)Sieht man nun daraus auch schon, dass die beiden auch gegen den selben Wert konvergieren? Nein oder?

Es gilt [mm] lim_{n->\infty} f(x_n)=c, [/mm] d.h. [mm] \exists [/mm] N: [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N: [mm] |f(x_n)-c| [/mm] < [mm] \epsilon [/mm]
Wähle n [mm] \ge Max\{N,n_0\} [/mm]
| [mm] f(y_n) [/mm] - c| = [mm] |f(y_n) [/mm] - [mm] f(x_n) [/mm] + [mm] f(x_n) [/mm] - c| [mm] \le |f(y_n) [/mm] - [mm] f(x_n) [/mm] | + [mm] |f(x_n) [/mm] - c| [mm] \le [/mm] 2 [mm] \epsilon [/mm]

(*) Meine Frage ist, ob beim Stern schon der Beweis beendet wäre und das weitere überflüßig ist.

Die Richtung <= ist klar.

        
Bezug
stetig fortsetzen, glm stetig: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:05 Mo 15.12.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

>  Aus der gleichmäßigen  Stetigkeit von f folgt für alle [mm]\epsilon>0: |f(x_n)[/mm] - [mm]f(y_n)|[/mm] < [mm]\epsilon \forall[/mm] n [mm]\ge n_0[/mm]

Ja.

> D.h. wir haben eine Cauchyfolge, also ist die Konvergenz gesichert.

Falsch herum. Was du oben zeigst ist nicht die Definition einer Cauchy-Folge sondern die Konvergenz der Folge [mm] $f(x_n) [/mm] - [mm] f(y_n)$. [/mm] Wogegen?

Damit zeigst du dann, dass für jede Folge mit [mm] $x_n\to [/mm] a$ gegen den selben Grenzwert konvergiert (sofern er existiert!).

> Es gilt [mm]lim_{n->\infty} f(x_n)=c[/mm]

Warum sollte das gelten? Ich behaupte nun [mm]\lim_{n\to\infty} f(x_n)=c[/mm]

Widerlege mich.

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
stetig fortsetzen, glm stetig: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:11 Mo 15.12.2014
Autor: sissile

Hallo,

Okay, jetzt hab ich zwei Beweise dafür, dass jede Folge [mm] (f(x_n))_{n \in \IN} [/mm] mit [mm] x_n [/mm] -> a gegen den selben GW konvergiert sofern er existiert. Also fehlt noch die Existenz.

Eine Cauchyfolge ist doch definiert:
[mm] \forall \epsilon>0 \exists [/mm] N [mm] \in\IN [/mm] : [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N [mm] \forall [/mm] m [mm] \ge [/mm] N : [mm] |a_n [/mm] - [mm] a_m [/mm] | < [mm] \epsilon [/mm]

> Was du oben zeigst ist nicht die Definition einer Cauchy-Folge sondern die Konvergenz der Folge $ [mm] f(x_n) [/mm] - [mm] f(y_n) [/mm] $.

Die Konvergenz gegen 0. Aber was müsste ich anders zeigen, damit ich das Resultat habe, dass es sich um eine Cauchyfolge handelt bei  [mm] (f(x_n))_{n \in \IN} [/mm]  ?

LG,
sissi

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Bezug
stetig fortsetzen, glm stetig: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:32 Mo 15.12.2014
Autor: fred97

Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0 und [mm] \delta [/mm] > 0 so, dass

  (*) $|f(x)-f(y)|< [mm] \varepsilon$ [/mm]  für alle x,y [mm] \in [/mm] (a,b) mit |x-y|< [mm] \delta. [/mm]

Ist nun [mm] (a_n) [/mm] eine Folge in (a,b) mit [mm] a_n \to [/mm] a, so ist [mm] (a_n) [/mm] eine Cauchyfolge, somit gibt es ein N [mm] \in \IN [/mm] mit:

    [mm] |a_n-a_m|< \delta [/mm]  für n,m > N.

Aus (*) folgt dann:

    [mm] |f(a_n)-f(a_m)|< \varepsilon [/mm] für n,m > N.

Und sieh da: [mm] (f(a_n)) [/mm] ist eine Cauchyfolge.

FRED

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stetig fortsetzen, glm stetig: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:53 Mo 15.12.2014
Autor: sissile

Danke, jetzt ist mir mein Fehler erst klar geworden!
Vielen lieben Dank an euch beide.

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