matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenProzesse und MatrizenÜbergangsmatrix berechnen ?
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Prozesse und Matrizen" - Übergangsmatrix berechnen ?
Übergangsmatrix berechnen ? < Prozesse+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Prozesse und Matrizen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Übergangsmatrix berechnen ?: Rückfrage, ggf. Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:58 Sa 22.11.2014
Autor: Tabs2000

Aufgabe
Für 2 Städte A und B sind folgende Umzugswahrscheinlichkeiten ermittelt worden.
Stadt A: 4% ziehen nach B, 2%  ziehen nach C, der Rest bleibt in A
Stadt B: 1% zieht nach A, 98% bleiben in B, 1% zieht nach C

Berechne die Einwohnerzahl nach 5 Jahren, falls von den Personen aus C niemand nach A oder B zieht.
Im Jahr 2010 wohnen12300 Personen in A und 8100 in B.


Meine Ideen/Probleme:

Mein Problem besteht darin, auf die Ausgangsmatrix zu kommen, da ich nicht weiß, inwiefern ich C integrieren muss.
Meine Lösung für M als Ausgangsmatrix wäre dann:

[mm] \pmat{ 0,94 & 0,02 \\ 0,06 & 0,98 } [/mm]

Ich habe in meiner Matrix den Übergang von A bzw B nach Außerhalb berechnet.

In der Lösung wird eine andere Matrix vorgeschlagen, nämlich:

[mm] \pmat{ 0,94 & 0,01 \\ 0,04 & 0,98 } [/mm]

Ich kann die Lösung nicht ganz verstehen, weil doch der Übergang nach C gar nicht berücksichtigt wurde, denn um die veränderte Bewohnerzahl b berechnen zu können,muss man diese ja mit einschließen. Ich hab mir auch überlegt,dass man C mit einschließen sollte, weil man ja sonst gar nicht die ganze Bewohnerzahl in A oder B als Spaltenbezeichnung betrachtet, also würde keine stochastische Matrix vorliegen...
Kann mir jemand erklären, warum meine Matrix nicht richtig sein kann?


Danke an jeden, der mir helfen kann :)


        
Bezug
Übergangsmatrix berechnen ?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:53 Sa 22.11.2014
Autor: Teufel

Hi!

Deine Lösung stimmt leider nicht, weil du sozusagen $B$ und $C$ zu einer Stadt zusammengewürfelt hast, das kannst du nicht einfach machen.

Die vorgeschlagene Lösung ist aber auch nicht so schön, wenn nicht begründet wird, warum die Matrix so abgespeckt wurde.

Stellen wir mal die ganze Matrix auf. Diese hat die Form

[mm] P=\pmat{ A \rightarrow A & B \rightarrow A & C \rightarrow A \\ A \rightarrow B & B \rightarrow B & C \rightarrow B \\A \rightarrow C & B \rightarrow C & C \rightarrow C } [/mm]

wobei $X [mm] \rightarrow [/mm] Y$ die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein Bewohner von Stadt $X$ nach Stadt $Y$ zieht. Die Zahlen kannst du ja jetzt mal einfüllen, die hast du ja in der Aufgabe alle gegeben! Eine Spalte füll ich dir mal aus:


[mm] P=\pmat{ A \rightarrow A & B \rightarrow A & 0 \\ A \rightarrow B & B \rightarrow B & 0 \\A \rightarrow C & B \rightarrow C & 1 } [/mm]

weil ja keiner aus der schönen Stadt $C$ zurückziehen möchte.

Nun kann man die Matrix $P$ zum oberen linke Block [mm] M=\pmat{ A \rightarrow A & B \rightarrow A \\ A \rightarrow B & B \rightarrow B} [/mm] "kürzen", denn wenn man Potenzen von $P$ berechnet, dann stellt man fest, dass sie die folgende Form haben:

[mm] $P=\pmat{ M & 0 \atop 0 \\ x\: y & 1 }$ [/mm] (das ist $P$ als sogenannte Blockmatrix geschrieben) [mm] \Rightarrow P^2=\pmat{ M^2 & 0 \atop 0 \\ x'\: y' & 1 }\Rightarrow \ldots \Rightarrow P^5=\pmat{ M^5 & 0 \atop 0 \\ x'''''\: y''''' & 1 }$. [/mm] Am Ende werden nur die ersten beiden Einträge von [mm] P^5*\vektor{12300 \\ 8100 \\ z} [/mm] benötigt, und dafür sind die letzte Zeile von [mm] P^5 [/mm] und die nullen rechts egal.

Wenn du so etwas noch nicht gemacht hast und dich da unsicher fühlst, dann stell einfach die "große" 3x3 Matrix $P$ auf und arbeite damit. Dann musst du nichts rumbegründen und das geht im Endeffekt wohl eh schneller.

Bezug
                
Bezug
Übergangsmatrix berechnen ?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:18 Sa 22.11.2014
Autor: Tabs2000

Vielen Dank für die ausführliche Antwort :) Alles verstanden !

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Prozesse und Matrizen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]