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Übungsaufgabenkorrektur: Aufgaben zur Diff.-barkeit
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:26 Do 31.12.2015
Autor: sandroid

Aufgabe
Prüfe die Differenzierbarkeit von $f: [mm] \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ [/mm] bei [mm] $x_{0}$. [/mm]

Die Funktionen habe ich abgeschrieben und sie sind außerdem auch im Übungsbereich des Matheraumes einsehbar.

Ich habe die Übungen zur Differenzierbarkeit bearbeitet. Ich würde mich freuen, wenn jemand drauf schauen könnte, und mir sagen könnte, ob die Aufgaben korrekt, insbesondere formal korrekt gelöst sind.

Zudem habe ich eine Frage zu Aufgabe d). Hier reicht das denke ich noch nicht aus. Wie kann ich zeigen, dass der Grenzwert 0 ist? Ich habe schon die Regel von l'Hospital versucht, anzuwenden, doch bisher ohne Erfolg.

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Seite 3:
[Dateianhang nicht öffentlich]

Großen Dank schon einmal,

Gruß,
Sandro


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Übungsaufgabenkorrektur: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:29 Do 31.12.2015
Autor: leduart

Hallo
keine Lösungen zu sehen!
Gruß leduart

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Übungsaufgabenkorrektur: Uploadfehler
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:47 Do 31.12.2015
Autor: sandroid

Danke für den Hinweis. Es gab ein Problem mit dem Upload (Langsame Verbindung). Jetzt sollten die Bilder aber online sein.

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Übungsaufgabenkorrektur: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:09 Do 31.12.2015
Autor: abakus

In Aufgabe c) liegt keine Differenzierbarkeit vor, denn der zu berechnende Grenzwert ist wahlweise 1 bzw. -1 (je nach Richtung der Annäherung von h an 0).

Bezug
        
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Übungsaufgabenkorrektur: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:22 Do 31.12.2015
Autor: M.Rex

Hallo

Aufgaben a) und b)
Hier ist f(x) an der Stelle [mm] x_{0}=-1 [/mm] nicht einmal stetig, daher auch nicht differenzierbar.


In c) berechne mal
[mm] \lim_{h\to0}\frac{f(3+h)-f(3)}{h} [/mm]
und
[mm] \lim_{h\to0}\frac{f(3-h)-f(3)}{h} [/mm]
Dann siehst du, dass diese Grenzwerte unterschiedlich sind, wie abakus schon erwähnte.

In Aufgabe d) ist mir leider gerade nicht ganz klar, was du tun möchtest.

Aufgabe e) ist wieder ok.

Marius

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Übungsaufgabenkorrektur: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:42 Do 31.12.2015
Autor: sandroid

Vielen Dank für die Korrekturen!

a) und b): Genau, das hatte ich ja.

c) Oh, das stimmt. Ich dachte erst, durch das $h*|h|$ würde das Vorzeichen entfallen, aber natürlich ist dem nicht so, das heißt, linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert unterscheiden sich, dann existiert kein beidseitiger Grenzwert, also keine Differenzierbarkeit.

d) Ich wollte mal unsere ursprüngliche Definition der Differenzierbarkeit "zur Abwechslung" einsetzen. Diese war bei uns in den Vorlesungen so, dass $f$ genau dann in [mm] $x_{0}$ [/mm] differenzierbar ist, wenn $f$ an der Stelle [mm] $x_{0}$ [/mm] linear approximiert werden kann, d.h. wenn ein $m [mm] \in \mathbb{R}$ [/mm] existiert und ein "relativer Fehler" $R: [mm] \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ [/mm] existiert mit

$f(x) = [mm] f(x_{0}) [/mm] + [mm] m(x-x_{0}) [/mm] + R(x)$ und [mm] $\limes_{x \to x_{0}}\bruch{R(x)}{x-x_{0}}=0$ [/mm]

Durch göttliche Einsicht vermute ich $m=0$. Dann folgt daraus $R(x)=f(x)$. Dann berechne ich [mm] $\limes_{x \to x_{0}}\bruch{R(x)}{x-x_{0}}$ [/mm] und erhalte als Ergebnis wie (per Definition) gefordert 0. Nur eben der genaue Nachweis dieses Grenzwertes ist mir noch unklar. Würde ich statt dieser Definition der Differenzierbarkeit wie gewohnt den Differenzenquotienten verwenden, käme ich auf das gleiche Problem der Berechnung dieses Grenzwertes.

e) Gut :)

Ich wünsche schon einmal vorsorglich ein schönes neues Jahr.

Gruß,
Sandro



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Übungsaufgabenkorrektur: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:44 Fr 01.01.2016
Autor: fred97

Zu d): es geht also um den GW


[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{1}{x*e^{1/x^2}} [/mm]

Für positives a ist [mm] e^a>a [/mm] (das sieht man mit der Exponentialreihe), somit ist


  [mm] e^{1/x^2}>\bruch{1}{x^2} [/mm]

und daher

    [mm] x*e^{1/x^2}>\bruch{1}{x} [/mm]

für x>0. Das liefert

   [mm] \limes_{x\rightarrow 0+0}\bruch{1}{x*e^{1/x^2}}=0. [/mm]

Nun begründe Du , warum auch

  [mm] \limes_{x\rightarrow 0-0}\bruch{1}{x*e^{1/x^2}}=0 [/mm]

ist.

Ein gutes neues Jahr wünscht

FRED

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Übungsaufgabenkorrektur: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:45 Fr 01.01.2016
Autor: sandroid

Danke Fred, das hat mir sehr geholfen. Der linksseitige Grenzwert ist dann auch ganz einfach.

Gruß und frohes Neues,
Sandro

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