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Übungsserie 2, Aufgabe 3: Aufgabe 3
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 19:13 So 11.03.2012
Autor: Blackwolf1990

Aufgabe
II-3: Sei $G$ eine endliche Gruppe und [mm] $\phi \in \operatorname{Aut} [/mm] G$ fixpunktfrei, d.h. aus [mm] $\phi(a) [/mm] = a$ für ein $a [mm] \in [/mm] G$ folgt $a = e$. Zeigen Sie: zu jedem $a [mm] \in [/mm] G$ ex. genau ein [mm] $b\in [/mm] G$ mit $a = [mm] b^{-1} \phi(b)$. [/mm]
Hinweis: Zeigen Sie zuerst [mm] $\psi [/mm] : [mm] b\mapsto b^{-1} \phi(b)$ [/mm] ist injektiv.



Dies ist eine Übungsaufgabe für den Vorkurs "Algebra" hier im Forum, die von allen Teilnehmern (und Interessenten) beantwortet werden kann. (Es handelt sich also um kein gewöhnliches Hilfegesuch!)

        
Bezug
Übungsserie 2, Aufgabe 3: Lösung
Status: (Frage) für Interessierte Status 
Datum: 18:39 So 26.07.2015
Autor: HJKweseleit

Injektivität von [mm] \psi: [/mm]

[mm] \psi(b)=\psi(c) [/mm]  
[mm] \Rightarrow b^{-1}\phi(b)=c^{-1}\phi(c) [/mm]  
[mm] \Rightarrow \phi(b)=bc^{-1}\phi(c) [/mm]
[mm] \Rightarrow \phi(b)\phi(c)^{-1}= bc^{-1} [/mm]
[mm] \Rightarrow \phi(b)\phi(c^{-1})= bc^{-1} [/mm]
[mm] \Rightarrow \phi(bc^{-1})= bc^{-1} [/mm]
[mm] \Rightarrow bc^{-1}=e [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm]   b=c

Da die Gruppe endlich ist, folgt aus der Injektivität die Surjektivität.

[mm] \Rightarrow [/mm]  Zu jedem [mm] a\in [/mm] G existiert ein [mm] b\in [/mm] G mit [mm] a=\psi(b)=b^{-1}\phi(b). [/mm]

Gäbe es zu irgendeinem a noch zusätzlich ein c mit
[mm] a=\psi(c)=c^{-1}\phi(c), [/mm] so wäre [mm] a=\psi(b)=\psi(c) [/mm] und [mm] \psi [/mm] nicht injektiv, was aber oben gezeigt wurde.

Also stimmt die Behauptung.





Bezug
        
Bezug
Übungsserie 2, Aufgabe 3: Frage (für Interessierte)
Status: (Frage) für Interessierte Status 
Datum: 00:13 Mo 12.03.2012
Autor: diddy449

Zeige, dass [mm] $\psi:G\to [/mm] G$ mit [mm] $\psi(b):=b^{-1}*\phi(b)$ [/mm] injektiv ist. Denn dann ist [mm] \psi [/mm] auch surjektiv, da G eine endliche Grundmenge ist, und damit wäre alles gezeigt.

[mm] $\psi$ [/mm] injektiv


[mm] \psi(a)=\psi(b) [/mm]
[mm] \Rightarrow e_G= \psi(a)*\psi(b)^{-1} [/mm] = [mm] a^{-1}*\phi(a)*(b^{-1}*\phi(b))^{-1} [/mm] = [mm] a^{-1}*\phi(a)*\phi(b^{-1})*b [/mm] = [mm] a^{-1}*\phi(a*b^{-1})*b [/mm]
[mm] \Rightarrow \phi(a*b^{-1})*b [/mm] = a
[mm] \Rightarrow \phi(a*b^{-1}) [/mm] = [mm] a*b^{-1} [/mm]
[mm] \Rightarrow a*b^{-1} [/mm] = [mm] e_G [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] a = b $


Bezug
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