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Forum "VK 60: Analysis" - Übungsserie 2, Aufgabe 4
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Übungsserie 2, Aufgabe 4: Aufgabe 4
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Date: 19:18 So 05/02/2012
Author: Blackwolf1990

Aufgabe
II-4: Untersuchen Sie, ob die Mengen M nach oben/unten beschränkt sind und bestimmen Sie ggf. sup M und inf M:

a) M := {x [mm] \in \IR [/mm] | x = 1 - [mm] \bruch{(-1)^{n}}{n} [/mm] , n [mm] \in \IN [/mm] }

b) M := {x [mm] \in \IR [/mm] | x = t + [mm] \bruch{1}{t} [/mm] , 0 < t [mm] \le [/mm] 10, t [mm] \in \IR [/mm] }

Dies ist eine Übungsaufgabe für den Vorkurs "Analysis" hier im Forum, die von allen Teilnehmern (und Interessenten) beantwortet werden kann. (Es handelt sich also um kein gewöhnliches Hilfegesuch!)



        
Bezug
Übungsserie 2, Aufgabe 4: 4a)
Status: (Question) answered Status 
Date: 22:45 Di 07/02/2012
Author: Kimmel

Behauptung:

[mm] sup(M) = max (M) = 2 [/mm]
[mm] inf(M) = min (M) = \frac{1}{2} [/mm]

Beweis:

Sei [mm]a_n := 1 - \frac{(-1)^n}{n} [/mm]

Aufteilung in zwei Teilfolgen:

[mm] a_{2n} = 1 - \frac{1}{2n} [/mm]
[mm] a_{2n-1} = 1 + \frac{1}{2n-1} [/mm]

Man zeigt, dass [mm] a_{2n} [/mm] streng monoton wächst (was ich hier jetzt nicht tue, weil das zuviel Tipparbeit wäre)

Somit besitzt es ein Minimum/Infimum bei n = 1 => [mm] \frac{1}{2} [/mm]

Es besitzt auch ein Supremum:
[mm] \lim_{n \to \infty}a_{2n} [/mm] = 1

Desweiteren ist [mm] a_{2n-1} [/mm] streng mon. fallend

=> Max/Sup bei n = 1 => 2

Infimum bei: [mm] \lim_{n \to \infty}a_{2n - 1} [/mm] = 1

Damit besitzt die gesamte Folge ein Sup/Max bei 2 und ein Inf/Min bei [mm] \frac{1}{2} [/mm]

Und die Folge/Menge ist beschränkt, da [mm] \left| 1 - \frac{(-1)^n}{n}\right| \le [/mm] 2 [mm] \forall [/mm] n

Bezug
                
Bezug
Übungsserie 2, Aufgabe 4: Korrektur
Status: (Answer) finished Status 
Date: 17:02 Do 09/02/2012
Author: Blackwolf1990

Das ist so korrekt! (und die eingesparte Tipparbeit sei verziehn ;-) )

Bezug
                        
Bezug
Übungsserie 2, Aufgabe 4: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 15:23 Fr 10/02/2012
Author: Kimmel

Man dankt :)

Bezug
        
Bezug
Übungsserie 2, Aufgabe 4: b)
Status: (Question) answered Status 
Date: 17:50 Fr 24/02/2012
Author: Kimmel

Behauptung:

Supremum existiert nicht und Infimum ist 2.

Beweis:

Sei f: [mm] \begin{cases} (0,10] &\to \IR \\ t &\mapsto f(t) := t + \frac{1}{t} \end{cases} [/mm]

$f'(t) = 1 - [mm] \frac{1}{t^2}$ [/mm]

[mm] $t_1 [/mm] = 1, [mm] t_2 [/mm] = -1$

$f''(t) = [mm] \frac{2}{t^3}$ [/mm]

$f''(1) > 0$
=> Tiefpunkt

$f''(-1) < 0$
=> Hochpunkt

Das Minimum/Infimum ist also bei x = 1 und besitzt den Wert 2.

[mm] $\limes_{t\rightarrow 0} [/mm] f(t) = [mm] \infty$ [/mm]

=> Supremum ist nicht existent.

Bezug
                
Bezug
Übungsserie 2, Aufgabe 4: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 18:25 Fr 24/02/2012
Author: leduart

Hallo Kimmel
richtig, aber eigentlich müsstest du noch den Randpunkt t=10 ansehen, der hier aber weder min noch max ist
Gruss leduart

Bezug
                        
Bezug
Übungsserie 2, Aufgabe 4: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 19:31 Fr 24/02/2012
Author: Kimmel

Hallo leduart,

oh, okay. Ich hab gedacht, dass sei nicht nötig, weil der linke Rand gegen unendlich läuft.
Aber das werde ich beim nächsten Mal, hinschreiben.
Danke!



Bezug
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