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Forum "VK 60: Analysis" - Übungsserie 3, Aufgabe 4
Übungsserie 3, Aufgabe 4 < VK 60: Ana < Universität < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
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Übungsserie 3, Aufgabe 4: Aufgabe 4
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 11:08 Mo 13.02.2012
Autor: Blackwolf1990

Aufgabe
III-4: Beweisen Sie: Für [mm] z\in \IC [/mm] gilt: |z+1|>|z-1| genau dann, wenn Re(z)>0 ist.
Zeigen Sie weiterhin für [mm] z\neq [/mm] 0: es gilt [mm] Re(z+\bruch{1}{z})=0 [/mm] genau dann, wenn Re(z)=0 ist   und  es gilt [mm] Im(z+\bruch{1}{z})=0 [/mm] genau dann, wenn Im(z)=0 oder |z|=1 ist.

Dies ist eine Übungsaufgabe für den Vorkurs "Analysis" hier im Forum, die von allen Teilnehmern (und Interessenten) beantwortet werden kann. (Es handelt sich also um kein gewöhnliches Hilfegesuch!)

        
Bezug
Übungsserie 3, Aufgabe 4: ( i )
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:46 Sa 03.03.2012
Autor: Kimmel

Behauptung: $| z + 1 | > | z - 1 | [mm] \Rightarrow [/mm] Re(z) > 0$

Beweis?:
Sei $z = x + yi$, wobei $x = Re(z)$ und $y = Im(z)$

[mm] \begin{matrix} |z+1|&>& |z-1| \\ \\ \ \sqrt{(z+1)\overline{(z+1)}}&>& \sqrt{(z-1)\overline{(z-1)}} \\ \\ \ \sqrt{z \overline{z} + z + \overline{z} + 1} &>& \sqrt{z \overline{z} - z - \overline{z} + 1} \\ \\ \ \sqrt{x^2+y^2 + x + iy + x - iy + 1} &>& \sqrt{x^2+y^2 - x - iy - x + iy + 1} \\ \\ \ \sqrt{x^2 + y^2 + 2x + 1} &>& \sqrt{x^2 + y^2 - 2x + 1} \end{matrix} [/mm]

[mm] $\Rightarrow [/mm] 2x > -2x$
[mm] $\Rightarrow [/mm] x > 0$, also $Re(z) > 0$

Behauptung: $Re(z) > 0 [mm] \Rightarrow [/mm] | z + 1 | > | z - 1 |$

Beweis?:

Sei $z = x + yi$, wobei $x = Re(z)$ und $y = Im(z)$

[mm] \begin{matrix} |z+1|&?& |z-1| \\ \\ \ \sqrt{(z+1)\overline{(z+1)}}&?& \sqrt{(z-1)\overline{(z-1)}} \\ \\ \ \sqrt{z \overline{z} + z + \overline{z} + 1} &?& \sqrt{z \overline{z} - z - \overline{z} + 1} \\ \\ \ \sqrt{x^2+y^2 + x + iy + x - iy + 1} &?& \sqrt{x^2+y^2 - x - iy - x + iy + 1} \\ \\ \ \sqrt{x^2 + y^2 + 2x + 1} &?& \sqrt{x^2 + y^2 - 2x + 1} \end{matrix} [/mm]

Da Re(z) bzw. x > 0 ist, gilt:
[mm] $\sqrt{x^2 + y^2 + 2x + 1} [/mm] &>& [mm] \sqrt{x^2 + y^2 - 2x + 1}$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow [/mm] |z+1|&>& |z-1|$

Bezug
                
Bezug
Übungsserie 3, Aufgabe 4: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:17 So 04.03.2012
Autor: leduart

Hallo
deine Rechnung ist richtig, aber wenn du siehst, dass |z-1| der Abstand von z zu +1, |z+1| der abstand zu -1 ist, dann ist direkt klar, dass alle Punkte der Halbebene x>0 einen größeren abstand zu -1 als zu +1 haben.
In mathe hilft nachdenken oft  gegen lange Rechnereien.
Gruss leduart

Bezug
        
Bezug
Übungsserie 3, Aufgabe 4: (ii) Re
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:11 Sa 03.03.2012
Autor: Kimmel

Behauptung: [mm] $Re(z+\frac{1}{z})=0 \Rightarrow [/mm] Re(z)=0$

Beweis?:

Sei wieder $z = x + yi$ mit $x = Re(z)$, $y = Im(z)$

[mm] $Re(z+\frac{1}{z})= [/mm] Re(z) + [mm] Re(\frac{1}{z})$ [/mm]

[mm] $\frac{1}{z} [/mm] = [mm] \frac{1}{x+yi} [/mm] = [mm] \frac{x-yi}{x^2+y^2} [/mm] = [mm] \frac{x}{x^2+y^2} [/mm] - [mm] \frac{y}{x^2+y^2}i$ [/mm]

[mm] $Re(\frac{1}{z}) [/mm] = [mm] \frac{x}{x^2+y^2}$ [/mm]

$Re(z) + [mm] Re(\frac{1}{z}) [/mm] = x + [mm] \frac{x}{x^2+y^2} [/mm] = 0$

[mm] $\gdw x^3 +xy^2+x [/mm] = 0$
[mm] $\gdw x(x^2+y^2+1) [/mm] = 0$

1.Fall:

$x = 0$

2.Fall:

[mm] $x^2+y^2+1 [/mm] = 0$
[mm] $\gdw x^2+y^2 [/mm] = -1$

Keine Lösung in [mm] $\IR$ [/mm]

Daher ist $x = 0$

[mm] $\Rightarrow [/mm] Re(z) = 0$


Behauptung: $Re(z) = 0 [mm] \Rightarrow Re(z+\frac{1}{z})=0$ [/mm]

Beweis?:

$Re(z) + [mm] Re(\frac{1}{z}) [/mm] = x + [mm] \frac{x}{x^2+y^2} [/mm] $

$Re(z) = x = 0$

$ [mm] \Rightarrow Re(z+\frac{1}{z}) [/mm] = 0 + [mm] \frac{0}{0^2+y^2} [/mm] = 0 $

Bezug
                
Bezug
Übungsserie 3, Aufgabe 4: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:21 So 04.03.2012
Autor: leduart

Hallo
auch hier die richtige Rechnung, aber mit [mm] z=r(cos\phi+isin\phi), 1/z=1/r*(cos(-\phi)+isin(-\phi)=1/r(cos\phi-1/r*sin\phi) [/mm]
kann man beide falle, Im und Re  und hin und rückrichtung in 2 zeilen machen.
gruss leduart

Bezug
                        
Bezug
Übungsserie 3, Aufgabe 4: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:36 So 04.03.2012
Autor: Kimmel

Das hatten wir in Ana 1 noch nicht behandelt
(also die trigonometrische Darstellung).

Daher kann ich damit noch nicht hantieren...

Und danke, dass du trotz der unnötigen Rechnungen drüberschaust.

Bezug
        
Bezug
Übungsserie 3, Aufgabe 4: (ii) Im
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:45 Sa 03.03.2012
Autor: Kimmel

Behauptung: [mm] $Im(z+\frac{1}{z})=0 \Rightarrow [/mm] Im(z)=0$ oder $|z| = 1$

Beweis?:

Sei wieder $z = x + yi$ mit $x = Re(z)$, $y = Im(z)$

[mm] $Im(z+\frac{1}{z})= [/mm] Im(z) + [mm] Im(\frac{1}{z})$ [/mm]

[mm] $\frac{1}{z} [/mm] = [mm] \frac{1}{x+yi} [/mm] = [mm] \frac{x-yi}{x^2+y^2} [/mm] = [mm] \frac{x}{x^2+y^2} [/mm] - [mm] \frac{y}{x^2+y^2}i$ [/mm]

[mm] $Im(\frac{1}{z}) [/mm] = [mm] -\frac{y}{x^2+y^2}$ [/mm]

$Im(z) + [mm] Im(\frac{1}{z}) [/mm] = y - [mm] \frac{y}{x^2+y^2} [/mm] = 0$

[mm] $\gdw yx^2 [/mm] + [mm] y^3 [/mm] - y = 0$
[mm] $\gdw y(x^2+y^2-1) [/mm] = 0$

1.Fall:

$y = 0$

2.Fall:

[mm] $x^2+y^2-1 [/mm] = 0$
[mm] $\gdw x^2+y^2 [/mm] = -1$
[mm] $\gdw x^2+y^2 [/mm] = 1$
[mm] $\gdw \sqrt{x^2+y^2} [/mm] = 1 $
[mm] $\gdw [/mm] |z| = 1$



Behauptung: [mm]Im(z)= 0 [/mm] oder [mm]|z| = 1[/mm] [mm] \Rightarrow Im(z+\frac{1}{z})=0$ [/mm]

Beweis?:


[mm] $Im(z+\frac{1}{z})= [/mm] Im(z) + [mm] Im(\frac{1}{z})$ [/mm]

$Im(z + [mm] \frac{1}{z}) [/mm] = y [mm] -\frac{y}{x^2+y^2}$ [/mm]

1.Fall:

$Im(z) = y = 0$

$ [mm] \Rightarrow Im(z+\frac{1}{z}) [/mm] = 0 - [mm] \frac{0}{0^2+x^2} [/mm] = 0 $

2.Fall:

[mm] |z| = 1 [/mm]

$ [mm] \Rightarrow [/mm] y - [mm] \frac{y}{1} [/mm] = 0$

Bezug
                
Bezug
Übungsserie 3, Aufgabe 4: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:23 So 04.03.2012
Autor: leduart

Hallo
rechnungen richtig.
Gruss leduart

Bezug
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