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Forum "VK 60: Analysis" - Übungsserie 4, Aufgabe 3
Übungsserie 4, Aufgabe 3 < VK 60: Ana < Universität < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
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Übungsserie 4, Aufgabe 3: Aufgabe 3
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 13:03 Mo 27.02.2012
Autor: Blackwolf1990

Aufgabe
IV-3: a) Untersuchen Sie auf Konvergenz und bestimmen Sie evtl. den Grenzwert:  (i)  [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{n} [/mm]     sowie    (ii)  die rekursiv def. Folge mit  [mm] a_{1}=\wurzel{2} [/mm] und  [mm] a_{n+1}=\wurzel{2+a_{n}}. [/mm]
b) Bestimmen Sie den Grenzwert: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] { [mm] \bruch{1}{n^{2}}+\bruch{2}{n^{2}}+...+\bruch{n}{n^{2}} [/mm] }

Dies ist eine Übungsaufgabe für den Vorkurs "Analysis" hier im Forum, die von allen Teilnehmern (und Interessenten) beantwortet werden kann. (Es handelt sich also um kein gewöhnliches Hilfegesuch!)

        
Bezug
Übungsserie 4, Aufgabe 3: a) (i)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:45 Fr 09.03.2012
Autor: Kimmel

Setze [mm] $b_n [/mm] = [mm] \wurzel[n]{n} [/mm] - 1$

Es gilt [mm] b_n \ge [/mm] 0

(Binomi)
$ n = [mm] (1+b_n)^n= \sum_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} b^k_n \ge \vektor{n \\ 2} b^2_n [/mm] = [mm] \frac{n(n-1)}{2} b^2_n$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow [/mm] 0 [mm] \le b_n \le \wurzel{\frac{2}{n-1}}$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow b_n \to [/mm] 0$ für $n [mm] \to \infty$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow a_n \to [/mm] 1$ für $n [mm] \to \infty$ [/mm]

Bezug
                
Bezug
Übungsserie 4, Aufgabe 3: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:34 Fr 09.03.2012
Autor: schachuzipus

Hallo Kimmel,


> Setze [mm]b_n = \wurzel[n]{n} - 1[/mm]
>  
> Es gilt [mm]b_n \ge[/mm] 0

Grund?

>  
> (Binomi)
>  [mm]n = (1+b_n)^n= \sum_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} b^k_n \ge \vektor{n \\ 2} b^2_n = \frac{n(n-1)}{2} b^2_n[/mm] [ok]
>  
> [mm]\Rightarrow 0 \le b_n \le \wurzel{\frac{2}{n-1}}[/mm] [ok]
>  
> [mm]\Rightarrow b_n \to 0[/mm] für [mm]n \to \infty[/mm] [ok]
>  
> [mm]\Rightarrow a_n \to 1[/mm] für [mm]n \to \infty[/mm]  [ok]

Passt!

Gruß

schachuzipus


Bezug
        
Bezug
Übungsserie 4, Aufgabe 3: a) (ii)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:26 Fr 09.03.2012
Autor: Kimmel

Behauptung: Die Folge ist durch 2 nach oben beschränkt.

Beweis?:

IA: [mm] $a_1 [/mm] = [mm] \wurzel{2} \le [/mm] 2$

Passt.

IV: Die Behauptung gelte für ein $n [mm] \in \IN$ [/mm]

IS: [mm] $a_{n+1} [/mm] = [mm] \wurzel{2+a_n} \stackrel{IV}{\le} \wurzel{2+2} [/mm] = [mm] \wurzel{4} [/mm] = 2$

Behauptung: Eine untere Schranke ist 0.

IA: [mm] $a_1 [/mm] = [mm] \wurzel{2} \ge [/mm] 0$

IV: Die Behauptung gelte für ein $n [mm] \in [/mm] N$

IS: [mm] $a_{n+1} [/mm] = [mm] \wurzel{2+a_n} \stackrel{IV}{\ge} \wurzel{2+0} [/mm] = [mm] \wurzel{2} \ge [/mm] 0$

Monotonienachweis:

[mm] $a_{n+1} [/mm] - [mm] a_n [/mm] = [mm] \wurzel{2 + a_n} [/mm] - [mm] a_n [/mm] = [mm] \frac{2+a_n-a_n^2}{\wurzel{2+a_n}+a_n} \stackrel{0 \le a_n \le 2}{\ge} \frac{2+2-2^2}{\wurzel{2+2}+2} [/mm] = 0$

Der Nenner ist immer positiv.
Der Zähler hat bei $ \ -1$ und $ \ 2$ eine Nullstelle.
Der Zähler wird für [mm] $a_n [/mm] < - 1$ oder [mm] $a_n [/mm] > 2$ negativ.
Da die Folge im Intervall $ \ [0,2] $ bleibt, so ist der Zähler auch positiv für alle n.

Die Folge wächst also monoton.

Grenzwert:

[mm] $a_n [/mm] = [mm] \wurzel{2+a_n}$ [/mm]

$ [mm] \gdw a_n^2 [/mm] - [mm] a_n [/mm] -2 = 0 $

[mm] $a_{n_1} [/mm] = 2, [mm] a_{n_2} [/mm] = -1$

[mm] $a_{n_2} [/mm] = -1$ kann nicht sein, da die Folge bei [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] beginnt und monoton wächst.

Also ist der Grenzwert bei 2

Bezug
                
Bezug
Übungsserie 4, Aufgabe 3: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:40 Fr 09.03.2012
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> Behauptung: Die Folge ist durch 2 nach oben beschränkt.
>  
> Beweis?:
>  
> IA: [mm]a_1 = \wurzel{2} \le 2[/mm]
>  
> Passt.
>  
> IV: Die Behauptung gelte für ein n [mm]\in \IN[/mm]
>  
> IS: [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]\wurzel{2+a_n} \le \wurzel{4}[/mm]

Das solltest du etwas genauer schreiben, das ist ja der entscheidende Schritt

> = 2
>  
>
> Monotonienachweis:
>  
> [mm]a_{n+1} - a_n = \wurzel{2 + a_n} - a_n = \frac{2+a_n-a_n^2}{\wurzel{2+a_n}+a_n} \ge 0[/mm]
> (Beschränkheit ausgenutzt)

Aha?! Das solltest du auch kleinschrittiger machen (bzw. genauer begründen), das nimmt dir so kaum ein Korrektor ab ...

Entscheidende Stellen darfst du nicht so nonchalant umschiffen ;-)

>
> Die Folge wächst also monoton.
>  
> Grenzwert:
>  
> [mm]a_n = \wurzel{2+a_n}[/mm]
>  
> [mm]\gdw a_n^2 - a_n -2 = 0[/mm]
>  
> [mm]a_{n_1} = 2, a_{n_2} = -1[/mm]
>  
> [mm]a_{n_2} = -1[/mm] kann nicht sein, da die Folge bei [mm]\sqrt{2}[/mm]
> beginnt und monoton wächst.
>  
> Also ist der Grenzwert bei 2 [ok]

Letzteres stimmt, wenn die ersten beiden Sachen gelten, da solltest du noch etwas an der Begründung feilen

Gruß

schachuzipus


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Übungsserie 4, Aufgabe 3: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:48 Fr 09.03.2012
Autor: Kimmel

Okay, mache ich gleich.

Danke schachuzipus (dein Nickname ist schwer zu merken^^)

Bezug
                
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Übungsserie 4, Aufgabe 3: Korrekturen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:21 Di 13.03.2012
Autor: Loddar

Hallo Kimmel!



> Behauptung: Die Folge ist durch 2 nach oben beschränkt.
>  
> Beweis?:
>  
> IA: [mm]a_1 = \wurzel{2} \le 2[/mm]
>  
> Passt.
>  
> IV: Die Behauptung gelte für ein [mm]n \in \IN[/mm]
>  
> IS: [mm]a_{n+1} = \wurzel{2+a_n} \stackrel{IV}{\le} \wurzel{2+2} = \wurzel{4} = 2[/mm]

[ok]


> Behauptung: Eine untere Schranke ist 0.
>  
> IA: [mm]a_1 = \wurzel{2} \ge 0[/mm]
>  
> IV: Die Behauptung gelte für ein [mm]n \in N[/mm]
>  
> IS: [mm]a_{n+1} = \wurzel{2+a_n} \stackrel{IV}{\ge} \wurzel{2+0} = \wurzel{2} \ge 0[/mm]

[ok]


> Monotonienachweis:
>  
> [mm]a_{n+1} - a_n = \wurzel{2 + a_n} - a_n = \frac{2+a_n-a_n^2}{\wurzel{2+a_n}+a_n} \stackrel{0 \le a_n \le 2}{\ge} \frac{2+2-2^2}{\wurzel{2+2}+2} = 0[/mm]

Der letzte Schritt mit dem Einsetzen der Abschätzung passt nicht, da Du hier gleichzeitig nach oben und unten abschätzt, was nie klappt.


> Der Nenner ist immer positiv.

[ok]


>  Der Zähler hat bei [mm]\ -1[/mm] und [mm]\ 2[/mm] eine Nullstelle.

[ok] Du kannst hier den Zähler also schreiben als: [mm]-(a_n-2)*(a_n+1) \ = \ (2-a_n)*(1+a_n)[/mm]

Nun mit den Schranken für diese beiden Klammern argumentieren, so dass hier jeweils [mm]... \ > \ 0[/mm] herauskommt.


> Grenzwert:

Wie gesagt: der folgende Ansatz gilt nur, da bereits die Konvergenz nachgewiesen wurde mit Beschränktheit und Monotonie. Das solltest Du auch erwähnen!


> [mm]a_n = \wurzel{2+a_n}[/mm]
>  
> [mm]\gdw a_n^2 - a_n -2 = 0[/mm]
>  
> [mm]a_{n_1} = 2, a_{n_2} = -1[/mm]
>  
> [mm]a_{n_2} = -1[/mm] kann nicht sein, da die Folge bei [mm]\sqrt{2}[/mm]
> beginnt und monoton wächst.

Oder als Begründung: ... da [mm]a_n \ > \ 0[/mm] .


> Also ist der Grenzwert bei 2

[ok]


Gruß
Loddar


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Übungsserie 4, Aufgabe 3: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:02 Di 13.03.2012
Autor: Kimmel

Dankeschön, Loddar!

> Du kannst hier den Zähler also schreiben als:
> [mm]-(a_n-2)*(a_n+1) \ = \ (2-a_n)*(1+a_n)[/mm]
>  
> Nun mit den Schranken für diese beiden Klammern
> argumentieren, so dass hier jeweils [mm]... \ > \ 0[/mm]
> herauskommt.

Da $ 0 [mm] \le a_n \le [/mm] 2 $ gilt, sind die beiden Ausdrücke jeweils [mm] $\ge [/mm] 0$.
Also teilen wir eine Zahl $ [mm] \ge [/mm] 0$ durch eine Zahl $\ > 0$.
Somit ist dann der gesamte Bruch $ [mm] \ge [/mm] 0$, also monoton wachsend.



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Übungsserie 4, Aufgabe 3: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:08 Di 13.03.2012
Autor: fred97


> Dankeschön, Loddar!
>  
> > Du kannst hier den Zähler also schreiben als:
> > [mm]-(a_n-2)*(a_n+1) \ = \ (2-a_n)*(1+a_n)[/mm]
>  >  
> > Nun mit den Schranken für diese beiden Klammern
> > argumentieren, so dass hier jeweils [mm]... \ > \ 0[/mm]
> > herauskommt.
>  
> Da [mm]0 \le a_n \le 2[/mm] gilt, sind die beiden Ausdrücke jeweils
> [mm]\ge 0[/mm].
>  Also teilen wir eine Zahl [mm]\ge 0[/mm] durch eine Zahl [mm]\ > 0[/mm].
>  
> Somit ist dann der gesamte Bruch [mm]\ge 0[/mm], also monoton
> wachsend.

So ist es

FRED

>  
>  


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Bezug
Übungsserie 4, Aufgabe 3: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:31 Di 13.03.2012
Autor: Kimmel

Danke, fred

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Übungsserie 4, Aufgabe 3: b)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:46 Fr 09.03.2012
Autor: Kimmel

Ich bräuchte da einen Tipp zu dieser Aufgabe.

Komme da auf keine Idee, wie ich den Grenzwert berechnen soll...


Bezug
                
Bezug
Übungsserie 4, Aufgabe 3: kleiner Gauß
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:52 Fr 09.03.2012
Autor: Loddar

Hallo Kimmel!


Klammere mal [mm]\bruch{1}{n^2}[/mm] aus bzw. schreibe alle Terme auf einen gemeinsamen Bruchstrich.

Dann haben wir:  [mm]\bruch{1+2+3+...+n}{n^2} \ = \ \bruch{\summe_{k=1}^{n}k}{n^2}[/mm]

Und für den Ausdruck im Zähler solltest Du eine explizite Formel kennen (Stichwort: "kleiner Gauß").


Gruß
Loddar


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Bezug
Übungsserie 4, Aufgabe 3: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:12 Fr 09.03.2012
Autor: Kimmel

Hallo Loddar,

dankeschön.

Ich probiere das gleich mal aus.

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Übungsserie 4, Aufgabe 3: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:24 Fr 09.03.2012
Autor: Kimmel

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + ... + \frac{n}{n^2} \right) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{1+2+3+...+n}{n^2} \right) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{\summe_{k=1}^{n}k}{n^2} \right) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \frac{n(n+1)}{2n^2} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \frac{n+1}{n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} 1+\frac{1}{n} [/mm] = 1

Bezug
                                
Bezug
Übungsserie 4, Aufgabe 3: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:46 Fr 09.03.2012
Autor: MathePower

Hallo Kimmel,

> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + ... + \frac{n}{n^2} \right)[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{1+2+3+...+n}{n^2} \right)[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{\summe_{k=1}^{n}k}{n^2} \right)[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \frac{n(n+1)}{2n^2}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \frac{n+1}{n}[/mm] =


Hier ist der Faktor [mm]\bruch{1}{2}[/mm] verlorengegangen.

[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \blue{\bruch{1}{2}}\frac{n+1}{n}[/mm]


> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} 1+\frac{1}{n}[/mm] = 1


Gruss
MathePower

Bezug
                                        
Bezug
Übungsserie 4, Aufgabe 3: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:53 Fr 09.03.2012
Autor: Kimmel

Danke MathePower,

habs jetzt geändert.

Bezug
                        
Bezug
Übungsserie 4, Aufgabe 3: b) Versuch 2
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:52 Fr 09.03.2012
Autor: Kimmel

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + ... + \frac{n}{n^2} \right) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{1+2+3+...+n}{n^2} \right) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{\summe_{k=1}^{n}k}{n^2} \right) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \frac{n(n+1)}{2n^2} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \frac{n+1}{2n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{2}+\frac{1}{2n} [/mm] = [mm] \frac{1}{2} [/mm]

Bezug
                                
Bezug
Übungsserie 4, Aufgabe 3: fast perfekt
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:48 Fr 09.03.2012
Autor: Loddar

Hallo Kimmel!


Beim letzten [mm]\lim[/mm] noch eine Klammernpaar setzen, dann ist es perfekt! [ok]


Gruß
Loddar


Bezug
                                        
Bezug
Übungsserie 4, Aufgabe 3: v2.5
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:13 Fr 09.03.2012
Autor: Kimmel

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + ... + \frac{n}{n^2} \right) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{1+2+3+...+n}{n^2} \right) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{\summe_{k=1}^{n}k}{n^2} \right) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \frac{n(n+1)}{2n^2} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \frac{n+1}{2n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{1}{2}+\frac{1}{2n} \right) [/mm] = [mm] \frac{1}{2} [/mm]

So,jetzt aber.

Danke Loddar.

Bezug
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