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unlösbares GS mit nsolver: nsover mit mehreren Variablen
Status: (Question) answered Status 
Date: 11:49 Fr 23/01/2015
Author: PatrikR

Hallo Zusammen:
Das unten stehende Gleichungssystem beschreibt eine Normalverteilte Zufallsvariable.

[Dateianhang nicht öffentlich]

Es ist analytisch nicht lösbar. Der offensichtlichste Lösungsweg bestünde über eine Standardisierung der Zufallsvariable. Allerdings möchte ich das Gleichungssystem mit dem Taschenrechner Ti-nspire cx cas lösen. Der normale Solver kann das natürlich nicht. Mit einem nummerischen Solver (nsolve) müsste es aber theoretisch möglich sein, insbesondere wenn man für beide Variablen ein Intervall angeben kann. Im Benutzerhandbuch wird der nsolver für eine Unbekannte erklärt, wie man damit ein GS mit mehreren Unbekannten löst, bleibt aber offen. Geht das überhaupt?
Besten Dank für eure Antwort.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


attachments:
Attachment # 1 (Type: JPG) [nicht öffentlich]
        
Bezug
unlösbares GS mit nsolver: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 12:28 Fr 23/01/2015
Author: Al-Chwarizmi


> Hallo Zusammen:
>  Das unten stehende Gleichungssystem beschreibt eine
> Normalverteilte Zufallsvariable.
>  
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>  
> Es ist analytisch nicht lösbar. Der offensichtlichste
> Lösungsweg bestünde über eine Standardisierung der
> Zufallsvariable. Allerdings möchte ich das
> Gleichungssystem mit dem Taschenrechner Ti-nspire cx cas
> lösen. Der normale Solver kann das natürlich nicht. Mit
> einem nummerischen Solver (nsolve) müsste es aber
> theoretisch möglich sein, insbesondere wenn man für beide
> Variablen ein Intervall angeben kann. Im Benutzerhandbuch
> wird der nsolver für eine Unbekannte erklärt, wie man
> damit ein GS mit mehreren Unbekannten löst, bleibt aber
> offen. Geht das überhaupt?


Hallo PatrikR

          [willkommenmr]

soweit ich weiß, bietet der angegebene Rechner keine
direkte Möglichkeit, beliebige Gleichungssysteme mit
mehreren Unbekannten rein numerisch zu lösen.
Mir käme dabei in den Sinn, es stattdessen etwa mit
den Mitteln zu lösen, die Arndt Brünner auf seinen
Seiten bietet:   []Gleichungssysteme


Wenn ich nun aber sehe, welches "Gleichungssystem"
du wirklich lösen möchtest, kommen aber ganz andere
Ideen ins Spiel. Mit "numerischem Lösen eines Glei-
chungssystems" hat das dann kaum mehr etwas zu tun.
Es geht darum, dass man diese beiden Integralgleichungen
zunächst inhaltlich interpretieren und dann mittels
der Kenntnisse über Normalverteilungen auch
zur Lösung kommen kann.

Deiner Idee, diese Aufgabe nicht in der angepassten
Weise mit der darauf zugeschnittenen Theorie, sondern
stattdessen als rein numerische Aufgabe mit gewaltigem
Rechenaufwand (für immer wieder neu numerisch zu berechnende
uneigentliche Integrale) lösen zu wollen, kann ich
herzlich wenig abgewinnen ...

LG  ,   Al-Chwarizmi

Bezug
                
Bezug
unlösbares GS mit nsolver: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 13:08 Fr 23/01/2015
Author: PatrikR

Hoi Al-Chwarizmi
Danke erstmals für deine rasche Antwort. Ich bin mir bewusst, dass das numerische lösen dieser Gleichung nicht "der feine Weg" ist. Deshalb habe ich auch explizit auf einen machbaren analytischen Ansatz hingewiesen.

Eine nummerische Lösung ist aber ein (für den Anwender) relativ simpler Weg, welcher auch für andere, nicht ohne weiteres lösbare GS eine Lösung liefern würde. Die Rechenzeit ist dann natürlich eine ganz andere Frage. Insofern wird sich ein nsolver für mehrere Variablen früher oder später sowieso als nützlich erweisen.
Schade also, dass der TI nicht über eine ensprechende Funktion zu verfügen scheint.

Bezug
                        
Bezug
unlösbares GS mit nsolver: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 13:25 Fr 23/01/2015
Author: Al-Chwarizmi


> Eine nummerische Lösung ist aber ein (für den Anwender)
> relativ simpler Weg, welcher auch für andere, nicht ohne
> weiteres lösbare GS eine Lösung liefern würde. Die
> Rechenzeit ist dann natürlich eine ganz andere Frage.
> Insofern wird sich ein nsolver für mehrere Variablen
> früher oder später sowieso als nützlich erweisen.


Das Hauptproblem bei dem vorliegenden "Gleichungssystem"
ist, dass ja gar nicht zwei explizite Gleichungen
vorliegen, sondern dass in jeder noch zusätzlich
eine Integrationsaufgabe (und zwar noch mit ins
Unendliche reichenden Integrationsintervallen)
steckt. Neben der simultanen Lösung des Gleichungs-
systems durch schrittweise Approximationen wären
also zusätzlich noch für jeden Integralwert immer
wieder die Approximationsprozesse für diese
uneigentlichen Integrale erforderlich. Damit
würde der numerische Aufwand für die gesamte
Rechnerei wirklich ins Astronomische steigen ...

LG ,   Al-Chw.

Bezug
                                
Bezug
unlösbares GS mit nsolver: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 21:57 Sa 24/01/2015
Author: PatrikR

Hoi Al-Chwarizmi
Ja, da hast du natürlich Recht. Der Rechenaufwand steigt, so auf den ersten Blick, mit der Anzahl Variablen im Exponenten. Das wird gerade für einen Taschenrechner relativ schnell schwierig. Danke aber für dein Programm, das wird sich sicher als hilfreich erweisen. Sieht so aus, als gäbe es hier keinen (schnellen) Königsweg. Seit Euklid leider keine Fortschritte :-)
War aber interessant mit dir zu diskutieren. Besten Dank.
LG Patrik


Bezug
                                        
Bezug
unlösbares GS mit nsolver: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 22:39 Sa 24/01/2015
Author: Al-Chwarizmi


> Hoi Al-Chwarizmi
>  Ja, da hast du natürlich Recht. Der Rechenaufwand steigt,
> so auf den ersten Blick, mit der Anzahl Variablen im
> Exponenten. Das wird gerade für einen Taschenrechner
> relativ schnell schwierig. Danke aber für dein Programm,
> das wird sich sicher als hilfreich erweisen. Sieht so aus,
> als gäbe es hier keinen (schnellen) Königsweg. Seit
> Euklid leider keine Fortschritte :-)

Wie Euklid selber das beurteilen würde, wissen wir ja
nicht. Ich kann mir vorstellen, dass er schon über den
primitivsten Taschenrechner gewaltig staunen würde,
aber auch darüber, dass wir nach über 2200 Jahren
noch seinen Namen kennen


LG ,   Al-Chw.

Bezug
        
Bezug
unlösbares GS mit nsolver: Func invgauss(x)
Status: (Answer) finished Status 
Date: 13:13 Fr 23/01/2015
Author: Al-Chwarizmi

Hallo Patrik,

hier bin ich nochmal. Gerade habe ich deine Aufgabe
auf dem "Standardweg" gelöst.
Dafür müsste man "normalerweise" eine Tabelle der
Standardnormalverteilung benützen und dort die passenden
z-Werte zu den Werten  [mm] $\Phi_1\ [/mm] =\ 0.05$  und  [mm] $\Phi_2\ [/mm] =\ 1-0.25=0.75$
herauslesen.
Vor längerer Zeit habe ich mir mal eine Funktion
für den Rechner TI Voyage 200 geschrieben, die mir
diese Art von Tabellenablesungen zur Standardnormal-
verteilung abnimmt. Mittels dieser Funktion "invgauss"
habe ich nun die beiden Werte bestimmt, nämlich

    $\ [mm] z_1\ [/mm] =\ invgauss(0.05)\ [mm] \approx [/mm] -1.645$
    $\ [mm] z_2\ [/mm] =\ invgauss(0.75)\ [mm] \approx [/mm] 0.674$

Da dein Rechner auf demselben CAS basiert, gebe
ich dir hier meinen Programmcode an, mit dem du
deine Aufgabe in ein mit deinem Rechner lösbares
Problem umsetzen könntest:


:invgauss(x)
:Func
:Local u,z,t
:Define  z = when(x < .5 , 1-x ,x)
:ln(1-z) [mm] \to [/mm] u
:.211747*u - 1.42248 + .345415*√((u-37.3825)*(u+.151076)) [mm] \to [/mm] t
:when(x < .5 , -t , t)
:EndFunc

Diese Funktion hat mir schon oft bei Aufgaben zu
Normalverteilungen gute Dienste geleistet.
Sie ist zwar längst nicht so genau wie andere Algo-
rithmen, die demselben Zweck dienen. Für den
Bereich normaler Anwendungs- und Schulaufgaben
liefert sie aber etwa ebensogute Werte (3 signifikante
Dezimalen) wie eine der normalerweise verwendeten
Tabellen. Ihr großer Vorteil ist der, dass ihre zentrale
Näherungsformel sich, wie man oben sieht, in eine
einzige Programmzeile für ein TR-Programm stecken
lässt.

LG ,   Al-Chwarizmi



    

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