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Forum "Sonstiges" - v. Induktion & Geometrie
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v. Induktion & Geometrie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:48 Mo 07.02.2011
Autor: Martinius

Aufgabe
Beweise durch vollständige Induktion. Für alle n [mm] \in \IN [/mm]  gilt:

...

c) Die Winkelsumme eines n-Ecks (ohne stumpfe Innenwinkel) beträgt $(n-2)*180$° .


Hallo,

die vollständige Induktion habe ich wahrscheinlich richtig (?) - wenn jemand freundlicherweise mal schauen könnte; ich verstehe aber den Satz in Klammern nicht.


I.A.  n = 3  

      (3-2)*180° = 180°

Die Aussage ist wahr für ein Dreieck; die Summe der Innenwinkel beträgt 180°.


I.V.  Für ein beliebiges $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt:

      Die Winkelsumme in einem n-Eck  
      beträgt:  $(n-2)*180$° .

D.h., ein n-Eck lässt sich durch Diagonalen in (n-2) Dreiecke zerlegen.


I.S.  Ein (n+1)-Eck lässt sich durch eine Diagonale in ein Dreieck und ein n-Eck zerlegen.

Nach I.V. beträgt die Winkelsumme im n-Eck (n-2)*180°.

Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180°.

Also beträgt die Winkelsumme des (n+1)-Ecks (n-1)*180°,

also ((n+1)-2)*180°.


Was ich nicht verstanden habe ist der Satz in Klammern: n-Eck (ohne stumpfe Innenwinkel) ...

Ein stumpfer Innenwinkel hat 180° < [mm] \varphi [/mm] < 90° .

Also wären ab einem Fünfeck stumpfe Innenwinkel vorhanden?

Vielen Dank für eine Erklärung.


LG, Martin

        
Bezug
v. Induktion & Geometrie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:27 Mo 07.02.2011
Autor: abakus


> Beweise durch vollständige Induktion. Für alle n [mm]\in \IN[/mm]  
> gilt:
>  
> ...
>  
> c) Die Winkelsumme eines n-Ecks (ohne stumpfe Innenwinkel)

Hallo,
damit ist bestimmt gemeint: "ohne überstumpfe Innenwinkel". Das erspart eine Menge Fallunterscheidungen. Ein (n+1)-Eck entsteht, wenn du an ein n-Eck noch ein zusätzliches Dreieck "anbaust".
Gruß Abakus

> beträgt [mm](n-2)*180[/mm]° .
>  
> Hallo,
>  
> die vollständige Induktion habe ich wahrscheinlich richtig
> (?) - wenn jemand freundlicherweise mal schauen könnte;
> ich verstehe aber den Satz in Klammern nicht.
>  
>
> I.A.  n = 3  
>
> (3-2)*180° = 180°
>  
> Die Aussage ist wahr für ein Dreieck; die Summe der
> Innenwinkel beträgt 180°.
>  
>
> I.V.  Für ein beliebiges [mm]n \in \IN[/mm] gilt:
>  
> Die Winkelsumme in einem n-Eck  
> beträgt:  [mm](n-2)*180[/mm]° .
>  
> D.h., ein n-Eck lässt sich durch Diagonalen in (n-2)
> Dreiecke zerlegen.
>  
>
> I.S.  Ein (n+1)-Eck lässt sich durch eine Diagonale in ein
> Dreieck und ein n-Eck zerlegen.
>  
> Nach I.V. beträgt die Winkelsumme im n-Eck (n-2)*180°.
>  
> Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180°.
>  
> Also beträgt die Winkelsumme des (n+1)-Ecks (n-1)*180°,
>  
> also ((n+1)-2)*180°.
>  
>
> Was ich nicht verstanden habe ist der Satz in Klammern:
> n-Eck (ohne stumpfe Innenwinkel) ...
>  
> Ein stumpfer Innenwinkel hat 180° < [mm]\varphi[/mm] < 90° .
>
> Also wären ab einem Fünfeck stumpfe Innenwinkel
> vorhanden?
>  
> Vielen Dank für eine Erklärung.
>  
>
> LG, Martin


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